浙教版-2023年八年级上册数学举一反三系列 专题6.1 期中期末专项复习之三角形的初步知识二十大必考点（学生版+教师版）

这是一份浙教版-2023年八年级上册数学举一反三系列 专题6.1 期中期末专项复习之三角形的初步知识二十大必考点（学生版+教师版），文件包含浙教版-2023年八年级上册数学举一反三系列专题61期中期末专项复习之三角形的初步知识二十大必考点教师版docx、浙教版-2023年八年级上册数学举一反三系列专题61期中期末专项复习之三角形的初步知识二十大必考点学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共168页， 欢迎下载使用。

专题6.1 三角形的初步知识二十大必考点 【浙教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc7064" 【考点1 三角形的三边关系的运用】  PAGEREF _Toc7064 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc10615" 【考点2 根据三角形的中线求面积或长度】  PAGEREF _Toc10615 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc27685" 【考点3 与三角形内角和有关的计算问题】  PAGEREF _Toc27685 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc20586" 【考点4 三角形的外角性质的运用】  PAGEREF _Toc20586 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc2844" 【考点5 利用全等图形求网格中的角度和】  PAGEREF _Toc2844 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc7992" 【考点6 将已知图形分割成几个全等的图形】  PAGEREF _Toc7992 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc26172" 【考点7 添加条件使三角形全等】  PAGEREF _Toc26172 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc22365" 【考点8 灵活选用判定方法证明全等】  PAGEREF _Toc22365 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc227" 【考点9 尺规作图与全等的综合运用】  PAGEREF _Toc227 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc24391" 【考点10 证明全等的常见辅助线的作法】  PAGEREF _Toc24391 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc32296" 【考点11 证一条线段等于两条线段的和（差）】  PAGEREF _Toc32296 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc21130" 【考点12 全等中的倍长中线模型】  PAGEREF _Toc21130 \h 15  HYPERLINK \l "_Toc25795" 【考点13 全等中的旋转模型】  PAGEREF _Toc25795 \h 17  HYPERLINK \l "_Toc22699" 【考点14 全等中的垂线模型】  PAGEREF _Toc22699 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc13094" 【考点15 全等中的其他模型】  PAGEREF _Toc13094 \h 21  HYPERLINK \l "_Toc8014" 【考点16 全等三角形的动点问题】  PAGEREF _Toc8014 \h 22  HYPERLINK \l "_Toc19831" 【考点17 尺规作图作角平分线】  PAGEREF _Toc19831 \h 23  HYPERLINK \l "_Toc31437" 【考点18 角平分线的判定与性质的综合求值】  PAGEREF _Toc31437 \h 25  HYPERLINK \l "_Toc23627" 【考点19 角平分线的判定与性质的综合证明】  PAGEREF _Toc23627 \h 26  HYPERLINK \l "_Toc2172" 【考点20 角平分线的实际应用】  PAGEREF _Toc2172 \h 28  【考点1 三角形的三边关系的运用】 【例1】（2022·全国·八年级课时练习）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|． 【变式1-1】（2022·四川·渠县第二中学七年级阶段练习）下列各组三条线段中，不是三角形三边长的是（    ） A．2cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，10cm C．三条线段之比为 1：2：3 D．3a，5a，4a（a＞0） 【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证： (1)BD＋CD＜AB＋AC； (2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC． 【变式1-3】（2022·全国·八年级专题练习）一个三角形的3边长分别是、，，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点2 根据三角形的中线求面积或长度】 【例2】（2022·山东·新泰市羊流镇初级中学七年级阶段练习）如图，在△ABC中，已知点D、E分别为边BC、AD上的中点，且4，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0.5 D．0.25 【变式2-1】（2022·山东·宁阳县第十一中学七年级阶段练习）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是__________． 【变式2-2】（2022·四川·麓山师大一中七年级期中）如图，在中、为上的点，且为的中点，，连接，是的中点，连接、、，若，则的面积是______． 【变式2-3】（2022·江苏·宜兴外国语学校七年级阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，若S5=则a的值为（    ） A．1 B．2 C．6 D．3 【考点3 与三角形内角和有关的计算问题】 【例3】（2022·江苏·涟水县麻垛中学七年级阶段练习）【认识概念】 如图1，在△ABC中，若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则AD，AE叫做∠BAC的“三分线”．其中，AD是“近AB三分线”，AE是“远AB三分线”． 【理解应用】 (1)在△ABC中，，若∠A的三分线AD与∠B的角平分线BE交于点P，则∠APB＝____________； (2)如图2，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC的近AB三分线和∠ACB近AC三分线，若BO⊥CO，求∠A的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC的远BC三分线和∠ACB远BC三分线，且，直线PQ过点O分别交AC、BC于点P、Q，请直接写出∠1﹣∠2的度数（用含m的代数式表示）. 【变式3-1】（2022·广东韶关实验中学七年级期中）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE． (1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME； (2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数． (3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝∠ECH请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系． 【变式3-2】（2022·江苏南通·七年级期末）在中，CD平分交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作交直线CD于点F，的角平分线所在的直线与射线CD交于点G． (1)如图1，点E在线段AD上运动． ①若，，则______°； ②若，求的度数； (2)若点E在射线DB上运动时，探究与之间的数量关系，请直接写出答案． 【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图1，三角形中，．点E是边上的定点，点D在边上运动．沿折叠三角形，点C落在点G处． （1）如图2，若，求的度数． （2）如图3，若，求的度数． （3）当三角形的三边与三角形的三边有一组边平行时，直接写出的度数 【考点4 三角形的外角性质的运用】 【例4】（2022·四川·渠县第二中学七年级阶段练习）如图，在△ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点，得；∠和∠的平分线交于点，得∠；……；∠和的平分线交于点，得∠，若∠A＝，则 ∠=_________.（ 用含的代数式表示） 【变式4-1】（2022·新疆·阿瓦提县拜什艾日克镇中学八年级阶段练习）如图，一副具有30°和45°角的直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（     ） A．40° B．45° C．65° D．75° 【变式4-2】（2022·江苏泰州·七年级期中）已知：如图1，在四边形中，是四边形的外角． (1)求的度数； (2)直线分别经点B，D，且分别平分， ①如图2，若，求的度数； ②若与相交于点M，设    ，试探究与的数量关系，并说明理由． 【变式4-3】（2022·江苏·阜宁县实验初级中学七年级阶段练习）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度数； 解：∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD ∴∠1=∠2，∠3=∠4 由（1）的结论得： ①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D ∴∠P =(∠B+∠D)=26°． ①【问题探究】 如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想的度数，并说明理由． ②【拓展延伸】 在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由． 【考点5 利用全等图形求网格中的角度和】 【例5】（2022·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【变式5-1】（2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度． 【变式5-2】（2022·江苏·八年级单元测试）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝__________度． 【变式5-3】（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在的正方形网格中，求______度． 【考点6 将已知图形分割成几个全等的图形】 【例6】（2022·全国·八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形． 【变式6-1】（2022·江苏·八年级专题练习）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 【变式6-2】（2022·江苏·八年级课时练习）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 【变式6-3】（2022·全国·八年级专题练习）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 【考点7 添加条件使三角形全等】 【例7】（2022·全国·八年级专题练习）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式7-1】（2022·重庆·中考真题）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（    ） A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD 【变式7-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点8 灵活选用判定方法证明全等】 【例8】（2022·湖南·八年级单元测试）具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是（      ）． A．有两个角对应相等的两个三角形 B．两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形 C．两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形 D．有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形 【变式8-1】（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式8-2】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【变式8-3】（2022·浙江·八年级单元测试）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（  ） A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45° C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45° 【考点9 尺规作图与全等的综合运用】 【例9】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：的根据是（    ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式9-2】（2022·广东·普宁市红领巾实验学校八年级阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______ 【变式9-3】（2022·北京·101中学九年级开学考试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的 ②当，时，可得到形状唯一确定的 ③当，时，可得到形状唯一确定的 其中所有正确结论的序号是______________． 【考点10 证明全等的常见辅助线的作法】 【例10】（2022·江苏·宿迁青华中学七年级阶段练习）（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明，再证明，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是　　． （2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由 （3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小． 【变式10-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式10-2】（2022·全国·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明） （2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若，求证：AD平分. 【变式10-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H． （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 【考点11 证一条线段等于两条线段的和（差）】 【例11】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD 【变式11-1】（2022·安徽淮北·八年级阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2022·山东烟台·七年级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F． 　　 (1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明． (3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系． 【变式11-3】（2022·全国·八年级专题练习）在中，AE，CD为的角平分线，AE，CD交于点F． （1）如图1，若． ①直接写出的大小； ②求证：． （2）若图2，若，求证：． 【考点12 全等中的倍长中线模型】 【例12】（2022·江西吉安·七年级期末）（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 　 　； （2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF； （3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明． 【变式12-1】（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现： 如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明． 【变式12-3】（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD． ①请证明△CED≌△ABD； ②中线BD的取值范围是 　 　． （2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由． 【考点13 全等中的旋转模型】 【例13】（2022·全国·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【变式13-1】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【变式13-2】（2022·江苏·南京民办求真中学七年级阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【变式13-3】（2022·全国·八年级课时练习）综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 【考点14 全等中的垂线模型】 【例14】（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【变式14-1】（2022·陕西省西安爱知中学七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____． （2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积． （3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积． 【变式14-2】（2022·安徽·九年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC； （2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点． （3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果） 【变式14-3】（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 【考点15 全等中的其他模型】 【例15】（2022·重庆八中七年级期中）如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式15-1】（2022·全国·八年级单元测试）如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________． 【变式15-2】（2022·山西阳泉·八年级期末）有些数学题，表面上看起来无从下手，但根据图形的特点，可补全成为特殊的图形，然后根据特殊几何图形的性质去考虑，常常可以获得简捷解法．根据阅读，请解答问题：如图所示，已知△ABC的面积为16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为___________cm2． 【变式15-3】（2022·江苏南通·八年级期中）如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D. （1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； （2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 【考点16 全等三角形的动点问题】 【例16】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，则相应的x、t的值为（    ） A．x＝2，t＝ B．x＝2，t＝ 或x＝，t＝1 C．x＝2，t＝1 D．x＝2，t＝1或x＝，t＝ 【变式16-1】（2022·江苏·九华中学八年级阶段练习）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）． (1)AB与DE有什么关系？请说明理由． (2)线段AP的长为________（用含t的式子表示）． (3)连接PQ，当线段PQ经过点C时，t的值为_______． 【变式16-2】（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）长方形ABCD中，AB=6，AD=m，点P以每秒1个单位的速度从A向B运动，点Q同时以每秒2个单位的速度从A向D运动，点E为边CD上任意一点． (1)当m=8时，设P，Q两点运动时间为t， ①若Q为AD中点，求t的值； ②连接QE，若△APQ与△EDQ全等，求DE的长． (2)若在边AD上总存在点Q使得△APQ≌△DQE，求m的取值范围． 【变式16-3】（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图① ，在△ ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线．点M从点B出发，以4cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）． (1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为______s； (2)当△ ABM与△ MCN全等时，① 若点M、N的移动速度相同，求t的值； ② 若点M、N的移动速度不同，求a的值； (3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△ PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【考点17 尺规作图作角平分线】 【例17】（2022·四川广元·中考真题）观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（2022·江苏·八年级专题练习）利用作角平分线的方法，可以把一个已知角（    ） A．三等分 B．四等分 C．五等分 D．六等分 【变式17-2】（2022·四川天府新区教育科学研究院附属中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心，大于为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG=4，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．无法确定 【变式17-3】（2022·广西北海·八年级期中）如图，在中，，点D在AB的延长线上． (1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）； ①作的平分线BM； ②作边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F； (2)在（1）的前提下，猜测BF与边AC的位置关系，并写出证明过程． 【考点18 角平分线的判定与性质的综合求值】 【例18】（2022·广东汕头·八年级期末）如图，的三边，，长分别是，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则：：等于（   ） A．：： B．：： C．：： D．：： 【变式18-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式18-2】（2022·重庆江北·八年级期末）如图，已知和都是等腰三角形，，、交于点，连接．下列结论：①；②⊥；③平分；④．其中正确结论的是__________． 【变式18-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O． (1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC； (2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明． 【考点19 角平分线的判定与性质的综合证明】 【例19】（2022·全国·八年级专题练习）已知：如图1，在中，，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为，． 【思考说理】 （1）求证：． 【反思提升】 （2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明． 【变式19-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知，AE，BD是的角平分线，且交于点P． （1）求的度数． （2）求证：点在的平分线上． （3）求证：①； ②． 【变式19-2】（2022·四川成都·七年级期末）如图，在和中，，，，．连接，交于点O． (1)求证：； (2)求的度数： (3)小明同学对该题进行了进一步研究，他连接了，并提出了下面结论：平分．请给予证明． 【变式19-3】（2022·山东·北辛中学八年级阶段练习）（1）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；并证明． （3）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【考点20 角平分线的实际应用】 【例20】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，三条公路两两相交，现计划在△ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是△ABC（    ）的交点． A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高的交点 D．三条垂直平分线 【变式20-1】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由__________________________________________________． 【变式20-2】（2022·全国·八年级）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式20-3】（2022·黑龙江黑河·八年级期末）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处