2023-2024学年天津市河东区第五十四中学高一上学期第二次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市河东区第五十四中学高一上学期第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(    )A. 第二象限角比第一象限角大B. 60°角与600°角是终边相同角C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角D. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为π32.cos7π6的值为(    )A. 12 B. −12 C. 32 D. − 323.已知函数f(x)=2x+1，则(    )A. f(x)的图象经过点(0,1) B. f(x)在R上的增函数C. f(x)的图象关于y轴对称 D. f(x)的值域是(0,+∞)4.若a=30.3，b=log30.3，c=log133，则a，b，c的大小关系为(    )A. blogb13>0，则a、b之间的大小关系是(    )A. 10,a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上，则b=          13.函数y= 1−log6(3+2x)的定义域是          14.函数f(x)=x2−2,x≤0−6+lnx,x>0的零点个数是          三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)计算：(1)2log32−log3329+log38−25log53；(2)21412−(−7.8)0−33823+23−2．(3)sin−14π3−cos−29π6+tan−53π6+sin19π2−cos25π16.(本小题12分)已知sinα=45，且α为第二象限角．(1)求cosα，tanα的值；(2)化简cosπ+αcos(−α)sinπ−αcosπ2−α，并求值．17.(本小题12分)已知sinθ+cosθ=15，θ∈0,π，求下列各式值．(1)tanθ；(2)sinθ−cosθ18.(本小题12分)求函数y=3−x2+2x+3的定义域、值域和单调区间．19.(本小题12分)已知函数f(x)=log2x2−8log2 x−3，x∈[1,8]，求f(x)的值域以及取得最值时x的值．答案和解析1.【答案】D 【解析】【分析】举反例说明A错误；由终边相同角的概念说明B错误；由三角形的内角的范围说明C错误；求出分针转过的角的弧度数说明D正确．【详解】对于A，120°是第二象限角，420°是第一象限角，120° <420°，故A错误；对于B，600°=360°+240°，与60°终边不同，故B错误；对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或y轴正半轴上的角，故C错误；对于D，分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，将分针拨慢是逆时针旋转，∴钟表拨慢10分钟，则分针所转过的弧度数为16×2π=π3，故D正确．故选：D．2.【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值求解作答．【详解】依题意，cos7π6=cos(π+π6)=-cosπ6=- 32．故选：D3.【答案】B 【解析】【分析】计算得到A错误，根据指数函数单调性知B正确，举反例得到C错误，函数值域为(1,+∞)，D错误，得到答案．【详解】对选项A：f(x)=2x+1，f(0)=2，错误；对选项B：f(x)在R上的增函数，正确；对选项C：f(1)=3，f(−1)=32，f(1)≠f(−1)，错误；对选项D：f(x)的值域是(1,+∞)，错误；故选：B．4.【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可．【详解】∵13>0.3，∴log30.3< -1，∴b< -1，c=log133=-1，a>0，∴blogb13>0，−loga3> -logb3>0,loga3lgb，由于y=lgx在(0,+∞)上递增，所以a>b>0，综上所述，得00；f(3)=9−4+ln3=5+ln3>0；f(4)=16−4+ln4=12+ln4>0∵f(1)⋅f(2)<0    ∴f(x)零点所在区间为(1,2)∴方程x2=4−lnx的解所在区间为(1,2)故选B【点睛】本题考查方程根所在区间的求解，关键是能将方程根所在区间问题转化为函数零点所在区间的求解，考查了零点存在定理的应用，属于基础题．7.【答案】D 【解析】【解析】根据三角函数的定义及诱导公式即可求解．【详解】因为角θ的终边过点(−3,4)，所以cosθ=-35，cos(π−θ)=-cosθ=35．故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于容易题．8.【答案】D 【解析】【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合对数函数、二次函数的单调性、对数的定义进行求解即可．【详解】由对数的定义可知：x2−2x−8>0⇒x>4或x< -2，二次函数y=x2−2x−8的对称轴为x=1，所以该二次函数的单调递增区间为(1,+∞)，所以f(x)=lnx2−2x−8的单调递增区间是(4,+∞)，故选：D9.【答案】二 【解析】【分析】变换−960°=-360°×3+120°，得到答案．【详解】−960°=-1080°+120°=-360°×3+120°，故−960°是第二象限角．故答案为：二10.【答案】1 【解析】【分析】利用弧长公式及扇形的面积公式即可求解．【详解】设该扇形的半径为rcm，则扇形的弧长为l=4rcm，因为扇形的面积为2cm2，所以12lr=12×4r×r=2，解得r=1cm．所以该扇形的半径是1cm．故答案为：1．11.【答案】−15 【解析】【详解】∵cos(π−α)=15∴-cosα=15sin(α+π2)=cosα=-1512.【答案】−109 【解析】【分析】根据对数函数性质确定A(−2,-1)，代入计算得到答案．【详解】y=loga(x+3)−1(a>0,a≠1)，当x=-2时，y=loga1−1=−1，故A(−2,-1)，f(−2)=3−2+b=-1，解得b=-109．故答案为：−109．13.【答案】−32,32 【解析】【分析】确定1−log6(3+2x)≥0，得到0<3+2x≤6，解得答案．【详解】函数y= 1−log6(3+2x)的定义域满足1−log6(3+2x)≥0，故0<3+2x≤6，解得−320两种情况，取f(x)=0计算得到答案．【详解】当x≤0时，f(x)=x2−2=0，解得x=- 2或x= 2(舍)；当x>0时，f(x)=-6+lnx=0，解得x=e6；综上所述：函数有2个零点．故答案为：215.【答案】(1)2log32−log3329+log38−25log53=log34−log3329+log38−5log59=log34×932×8−9=2−9=−7 ；(2)21412−(−7.8)0−33823+23−2=9412−(−7.8)0−27823+23−2=32−1−94+94=12；(3)sin−14π3−cos−29π6+tan−53π6+sin19π2−cos25π=sin−5π+π3−cos−5π+π6+tan−9π+π6+sin10π−π2−cos25π=-sinπ3+cosπ6+tanπ6−sinπ2+cos0=- 32+ 32+ 33−1+1= 33． 【解析】(1)根据对数的运算法则直接计算得到答案．(2)根据指数幂的运算法则直接计算得到答案．(3)根据三角函数的运算法则直接计算得到答案．16.【答案】(1)sinα=45，α为第二象限角，故cosα=- 1−sin2α=-35，tanα=sinαcosα=-43．(2)cosπ+αcos(−α)sinπ−αcosπ2−α=−cosα⋅cosαsinα⋅sinα=-cos2αsin2α=-1tan2α=-916． 【解析】(1)直接根据同角三角函数关系结合角度范围得到答案．(2)化简得到原式=-cos2αsin2α，代入数据计算得到答案．17.【答案】(1)sinθ+cosθ=15，故sinθ+cosθ2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=125，sinθcosθ=-1225，θ∈0,π，故sinθ>0，则cosθ<0，θ∈π2,π，故tanθ<0，sinθ+cosθ=15，则sinθ> -cosθ，故tanθ< -1，即sinθcosθsin2θ+cos2θ=−1225，即tanθtan2θ+1=-1225，解得tanθ=-43或tanθ=-34(舍)．故tanθ=-43．(2)sinθ−cosθ>0，故sinθ−cosθ= sinθ+cosθ2−4sinθcosθ= 125+4825=75． 【解析】(1)平方得到sinθcosθ=-1225，确定tanθ< -1，根据齐次式得到tanθtan2θ+1=-1225，解得答案．(2)确定sinθ−cosθ>0，sinθ−cosθ= sinθ+cosθ2−4sinθcosθ，计算得到答案．18.【答案】根据题意，函数的定义域显然为(–∞,+∞)．令u=f(x)=–x2+2x+3=4–(x–1)2≤4.∴y=3u是u的增函数，当x=1时，ymax=81，而y=3−x2+2x+3>0．∴0<3u≤34，即值域为(0,81]．当x≤1时，u=f(x)为x的增函数，y=3u是u的增函数，∴即原函数单调增区间为(–∞,1]；证明如下：任取x1，x2∈(–∞,1]，且令x10，∴(x1–x2)(2–x1–x2)<0，∴3x1−x2x1+x2+2<1，∴f(x1)1时，u=f(x)为x的减函数，y=3u是u的增函数，∴即原函数单调减区间为[1,+∞)． 【解析】根据函数的解析式求函数定义域，利用换元法求函数值域，根据复合函数的单调性确定其单调区间即可．【点睛】本题主要考查了复合函数的值域，单调性，属于中档题．19.【答案】f(x)=log2x2−8log2 x−3=log2x2−8log2x12−3=log2x2−4log2x−3，令t=log2x,t∈[0,3]，则y=t2−4t−3=(t−2)2−7，函数y=t2−4t−3的对称轴为t=2，开口向上，由二次函数的性质知，函数y=t2−4t−3在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增；所以当t=2，即2=log2x，解得x=4时，f(x)min=(2−2)2−7=-7；当t=0，即0=log2x，解得x=1时，f(x)max=(0−2)2−7=-3；所以f(x)的值域是[−7,-3]，所以当x=4时，f(x)min=-7；当x=1时，f(x)max=-3． 【解析】利用对数的运算性质及换元法，结合二次函数的性质即可求解．