2020-2021年高中数学新人教A版必修第一册 第5章 二倍角的正弦余弦正切公式 学案

这是一份2020-2021年高中数学新人教A版必修第一册 第5章 二倍角的正弦余弦正切公式 学案，共8页。

在S(α＋β)、C(α＋β)及T(α＋β)中，令β＝α，则上述公式会有什么变化？
对于cs 2α的等式能否可以变成只含有sin α或cs α的式子？
知识点 倍角公式
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式
(2)余弦的二倍角公式的变形
cs 2α＝1－2sin2α＝2cs2α－1.
倍角公式中的“倍角”只指α与2α吗？
[提示] 不是．“倍角”是相对而言的．如4α是2α的二倍．“α＋β”是“eq \f(α＋β,2)”的二倍等等．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)对于任意的角α，cs 2α＝2cs α都不成立．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2.若sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)，则sin 2α＝________，cs 2α＝________，tan 2α＝________.
eq \f(24,25) eq \f(7,25) eq \f(24,7) [∵sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)，∴sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＝eq \f(24,25)，cs 2α＝2cs2α－1＝2×eq \f(16,25)－1＝eq \f(7,25).
tan 2α＝eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(\f(24,25),\f(7,25))＝eq \f(24,7).]
类型1 给角求值问题
【例1】 求下列各式的值：
(1)cs415°－sin415°＝________；
(2)1－2sin275°＝________；
(3)eq \f(1－tan275°,tan 75°)＝________；
(4)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)＝________；
(5)cs eq \f(π,7)cs eq \f(3π,7)cs eq \f(5π,7)＝________.
(1)eq \f(\r(3),2) (2)－eq \f(\r(3),2) (3)－2eq \r(3) (4)4 (5)－eq \f(1,8) [(1)cs415°－sin415°＝(cs215°－sin215°)·(cs215°＋sin215°)＝cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
(2)1－2sin275°＝cs 150°＝－cs 30°＝－eq \f(\r(3),2).
(3)eq \f(1－tan275°,tan 75°)＝2×eq \f(1－tan275°,2tan 75°)
＝2×eq \f(1,tan 150°)＝－2eq \r(3).
(4)eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°,2sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4sin 20°,sin 20°)＝4.
(5)∵cseq \f(3π,7)＝－cseq \f(4π,7)，cseq \f(5π,7)＝－cseq \f(2π,7)，
∴cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)＝cseq \f(π,7)cseq \f(2π,7)cseq \f(4π,7)＝eq \f(8sin\f(π,7)cs\f(π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(4sin\f(2π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))
＝eq \f(2sin\f(4π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(sin\f(8π,7),8sin\f(π,7))＝－eq \f(1,8).]
对于给角求值问题，一般有2类：
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角的正弦公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．求下列各式的值
(1)cs 72°cs 36°；
(2)eq \f(1,sin 50°)＋eq \f(\r(3),cs 50°).
[解] (1)cs 36°cs 72°＝eq \f(2sin 36°cs 36°cs 72°,2sin 36°)＝eq \f(2sin 72°cs 72°,4sin 36°)＝eq \f(sin 144°,4sin 36°)＝eq \f(1,4).
(2)原式＝eq \f(cs 50°＋\r(3)sin 50°,sin 50°cs 50°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 50°＋\f(\r(3),2)sin 50°)),\f(1,2)×2sin 50°cs 50°)
＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 100°)＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 80°)＝4.
类型2 给值求值问题
【例2】 已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0所给的角“eq \f(π,4)－x”与待求角“eq \f(π,4)＋x”是什么关系？如何借助诱导公式实现“2x”与“eq \f(π,4)±x”之间的三角转换？
[解] 原式＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))
＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)).
∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))＝eq \f(5,13)，
且0∴eq \f(π,4)＋x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝eq \f(12,13)，
∴原式＝2×eq \f(12,13)＝eq \f(24,13).
解决条件求值问题的方法
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
(2)当遇到“eq \f(π,4)±x”这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．
cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
类似的变换还有：
cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))，
sin 2x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1，
sin 2x＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))等．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．(1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，则sin 2α的值为( )
A．－eq \f(8,9)B．eq \f(8,9)
C．－eq \f(7,9)D．eq \f(7,9)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(\r(2),3)，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))等于( )
A．－eq \f(5,9)B．－eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(2),3)D．eq \f(5,9)
(1)C (2)A [(1)sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－1
＝2×eq \f(1,9)－1＝－eq \f(7,9).故选C.
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))
＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－1
＝2×eq \f(2,9)－1＝－eq \f(5,9).故选A.]
类型3 化简与证明
【例3】 (1)化简：eq \f(1,tan θ＋1)＋eq \f(1,tan θ－1)＝________.
(2)证明：eq \f(\r(3)tan 12°－3,sin 12°4cs212°－2)＝－4eq \r(3).
(1)－tan 2θ [原式＝eq \f(tan θ－1＋tan θ＋1,tan θ＋1tan θ－1)＝eq \f(2tan θ,tan2θ－1)＝－eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－tan 2θ.]
(2)[证明] 左边＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°－3cs 12°,cs 12°),2sin 12°2cs212°－1)
＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),2sin 12°cs 12°cs 24°)
＝eq \f(2\r(3)sin12°－60°,sin 24°cs 24°)
＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,\f(1,2)sin 48°)
＝－4eq \r(3)＝右边，
所以原等式成立．
1．证明三角恒等式的原则
观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次幂降幂，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
2．证明恒等式的一般步骤
(1)先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
(2)本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．求证：(1)cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B；
(2)cs2θ(1－tan2θ)＝cs 2θ.
[证明] (1)左边＝eq \f(1＋cs2A＋2B,2)－eq \f(1－cs2A－2B,2)
＝eq \f(cs2A＋2B＋cs2A－2B,2)
＝eq \f(1,2)(cs 2Acs 2B－sin 2Asin 2B＋cs 2Acs 2B＋sin 2Asin 2B)
＝cs 2Acs 2B＝右边，
∴等式成立．
(2)法一：左边＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))
＝cs2θ－sin2θ＝cs 2θ＝右边．
∴等式成立．
法二：右边＝cs 2θ＝cs2θ－sin2θ
＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))＝cs2θ(1－tan2θ)
＝左边．
∴等式成立.
1．已知sin α＝3cs α，那么tan 2α的值为( )
A．2 B．－2
C．eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
D [因为sin α＝3cs α，所以tan α＝3，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×3,1－32)＝－eq \f(3,4).]
2．下列各式中，值为eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin 15°cs 15°B．cs2 15°－sin2 15°
C．2sin215°D．sin215°＋cs215°
B [cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).故选B.]
3．若sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(3),3)，则cs α等于( )
A．－eq \f(2,3)B．－eq \f(1,3)
C．eq \f(1,3)D．eq \f(2,3)
C [cs α＝1－2sin2eq \f(α,2)＝1－2×eq \f(1,3)＝eq \f(1,3).故选C.]
4．已知sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)＝eq \f(2\r(3),3)，那么sin θ＝________，cs 2θ＝________.
eq \f(1,3) eq \f(7,9) [因为sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)＝eq \f(2\r(3),3)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)＋cs \f(θ,2)))2＝eq \f(4,3)，
即1＋2sin eq \f(θ,2)cs eq \f(θ,2)＝eq \f(4,3)，
所以sin θ＝eq \f(1,3)，
所以cs 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(7,9).]
5．设sin 2α＝－sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan 2α的值是________．
eq \r(3) [∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcs α＝－sin α.
由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))知sin α≠0，
∴cs α＝－eq \f(1,2)，∴α＝eq \f(2π,3)，
∴tan 2α＝taneq \f(4π,3)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3).]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何理解二倍角中的“倍角”含义？
[提示] 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是eq \f(3,2)α的二倍；eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍；eq \f(α,3)是eq \f(α,6)的二倍；eq \f(α,2n)是eq \f(α,2n＋1)(n∈N*)的二倍．
2．二倍角公式的常见变形有哪些？
[提示] (1)sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α；
(2)1±sin 2α＝(sin α±cs α)2；
(3)cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)等等．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)
2．能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(难点)
3．熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点)
1．通过公式的推导，培养逻辑推理素养．
2．借助运算求值，提升数学运算素养.
记法
公式
S2α
sin 2α＝2sin_αcs_α
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)