人教A版高一上南海区统考复习分段函数&函数图象（答案版）

六、分段函数的计算题举例

（1）分段函数单调性求参问题

例1、已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是______.

【详解】由题设在R上递减，结合一次函数和反比例函数性质，

所以，可得.故答案为：

（2）分段函数的作图及性质

例2、已知函数.

解：（1）时，函数为二次函数，当时，函数为一次函数，画出分段函数图象，注意一次函数与轴交点为空心；

（2）结合（1）中所画的函数图象，得到函数值域；

（3）分与两种情况，解不等式，求出实数x的取值范围.

（1）

（3）分段函数的分类讨论计算问题

例3、已知函数    (1)求，，的值；    

(2)若，求实数a的值；  (3)若，求实数m的取值范围．

解：（1）由题可得，，

因为，所以；

（2）①当时，，解得，不合题意，舍去；

②当时，，即，解得或，

因为，，所以符合题意；

③当时，，解得，符合题意；

综合①②③知，当时，或；

（3）由，得或或，

解得或，故所求m的取值范围是.

习题

1、 已知函数是增函数，求实数a的取值范围。

解：由解得：

2、已知函数      ①求，      ②若，求的值

【解】函数，①，．

②当时，，解得，成立；

当时，，解得或（舍）；

当时，，解得（舍去）．故的值为或1．

3、若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是__________．

解：a⊙b＝实质上是“取小”，画图象即得

f(x)＝x⊙(2－x)==，

由图象可知：当x=1是

4、已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者).

(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；

(2)求函数φ(x)的定义域，值域．

解　(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.

由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.

令－x2＋2＝x得x＝－2或x＝1.

结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝

(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1].

5、（2020年南海区统考19）若函数f（x）＝|x﹣2|．

（1）在给定的平面直角坐标系中画出函数f（x）图象；

（2）写出函数f（x）的值域、单调区间；

（3）在①，②x﹣3，③x+2这三个式子中任选出一个使其等于h（x），

求不等式f（x）＞h（x）的解集．

解：（1）由f（x）＝|x﹣2|＝，图象如图所示；

（2）由图象可得函数的值域为[0，+∞），在（﹣∞，2）上为减函数，在[2，+∞）上为增函数；

（3）若选①，则|x﹣2|＞x+2，即或，解得x＞5或x＜0，

即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（5，+∞），

若选②，则|x﹣2|＞x﹣3，即或，

解得x≥2或x＜2，即不等式的解集为R，

若选③，|x﹣2|＞x+2，即或，

解得x＜2，即不等式的解集为（﹣∞，2）．

解：（1）当0＜t≤1时，2       （1分）

当1＜t≤2时，    当t＞2时，                 

所以    

（2）画图象，如图：（其中图形，规范1分）

（3）当0＜t≤1时，，由，解得

因为0＜t≤1，所以，即                          

当时，直线y＝at过点，这两点都在f（t）的图象上

当时，直线y＝at与射线有一个交点    

当1＜t≤2时，直线y＝a（）逆时针旋转时与f（t）图象有两个交点，相切时有一个交点，且与射线无交点．此时，所以 ，

所以，解得或．

当时，，所以在（1，2]内．

当．时不在（1，2]内，

当a≤0或a时，直线y＝at与f（t）的图象无交点，所以．

7、已知函数的最小值为.

(1)求的值；    (2)若，，且，求的最小值.

解：（1）由题可得，然后根据函数的单调性进而即得；

（2）由题可得，然后根据基本不等式即得.

（1）由题意可得，

则在上单调递减，在上单调递增，故，即；

（2）由（1）可知，则，因为，

所以，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.