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第21章 一元二次方程章末复习-人教版数学九年级上册同步精品讲义
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第08课 一元二次方程章末复习 知识点01 一元二次方程相关概念 知识点02 一元二次方程的相关应用 【1】握手（送礼）问题 解题技巧：有2种类型 ①握手问题，设有x个人，两人之间握一次手，则一共的握次数为； ①送礼问题，设有x个人，任意两人之间互相送一个礼物，则一共的送礼次数为； 【2】传染问题 解题技巧：有2种类型 （1）个体传播一轮后，依旧传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。 发现规律：传播人数：b=a（1+p）n，与增长率问题公式一致。 【3】平均增长率问题 解题技巧：设a为增长（下降）基础数量，b为增长（下降）后的数量，n为增长（下降）的次数，p为增长（下降）率。 发现规律：①增长时：b=a（1+p）n； ②减少时：b=a（1-p）n 注：①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数n为2； ②通常设增长（下降）率为x； ③例求解得x=0.1，则表示增长（下降）10%。 【4】图形问题 考法01 一元二次方程相关概念与解法 1．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ） A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2＋4x＝3 D．x2＋2x＝5 【答案】C 【解析】 解：A、因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意； B、将该方程的二次项系数化为1，得x2-2x=，此方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意； C、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项符合题意； D、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意； 故选：C． 2．若是方程的一个根，则a的值为（ ） A．-1 B．0 C．11 D．2 【答案】B 【解析】 解：将代入方程中，可得 即 故选：B． 3．已知方程有一个根是（），则下列代数式的值恒为1的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：设该方程的另外一个解为， ， ， 将代入可得：， ， 故选：. 4．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，则x2+3x的值为（ ） A．-3或1 B．-3 C．1 D．不能确定 【答案】C 【解析】 设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2+2y-3＝0 解得：y1＝﹣3，y2＝1 当x2﹣3x＝-3，即x2﹣3x+3=0时 方程无解 则x2+3x的值为1 故选C 5．方程化成一般形式为_____________，二次项系数是_____________，一次项系数是_____________，常数项是_____________． 【答案】 1 【解析】 解： 方程整理得：即为 ∴二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为-4， 故答案为： ①；② 1；③ -5；④-4. 6．解方程： (1)x2﹣4x﹣5＝0； (2)3x2﹣1＝2x+2 【答案】(1)x1＝5，x2＝﹣1(2) 【解析】 (1)解：x2﹣4x﹣5＝0 （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， 所以x1＝5，x2＝﹣1； (2)解：3x2﹣2x﹣3＝0， a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3， Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴， ∴． 7．解方程 (1)x2﹣4x＝0； (2)4x2﹣25＝0； (3)2x(x﹣3)+x＝3． 【答案】(1)x1＝0，x2＝4；(2)x1＝﹣2.5，x2＝2.5；(3)x1＝3，x2＝ 【解析】 (1)解：x2﹣4x＝0 x（x﹣4）＝0； x＝0或x﹣4＝0； 所以x1＝0，x2＝4； (2)解：4x2﹣25＝0 （2x+5）（2x﹣5）＝0， 2x+5＝0或2x﹣5＝0， 所以x1＝-2.5，x2＝2.5； (3)解：2x(x﹣3)+x＝3 将方程整理得2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0； （x﹣3）（2x+1）＝0； x﹣3＝0或2x+1＝0； 所以x1＝3，x2． 8．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），；（7），；（8）， 【解析】 解：（1）196x2－1 ＝ 0， 移项，得196x2＝ 1， 直接开平方，得14x＝， x＝， ∴原方程的解为，． （2）， 原方程化为， ， ∴或， ∴，． （3）， ∵，，， ∴>0， ∴， ，． （4）， 原方程化为， ∵，，， ∴>0， ∴ ， ∴，． （5），原方程化为， 因式分解，得， ∴或， ∴，． （6）， 原方程化为， ∴或， ∴，． （7）原方程化为， ∵，，， ∴>0， ∴， ∴，． （8）， 原方程化为， ∴或， ∴，． 9．求下列方程两个根的和与积： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【解析】 解：（1）设方程的两根为，，则， ． （2）设方程的两根为，，则，． （3）原方程化为，设方程的两根为，，则，． （4）原方程化为，设方程的两根为，，则，． 10．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）x1＝0，x2＝－1；（2）x1＝0，x2＝2；（3）x1＝x2＝1；（4）x1＝，x2＝；（5）x1＝，x2＝；（6）x1＝1，x2＝3 【解析】 解：（1）x（x＋1）＝0， x＝0或x＋1＝0， ∴x1＝0，x2＝−1； （2）， ， x＝0或＝0， ∴x1＝0，x2＝2； （3）， ， ， ∴x1＝x2＝1； （4）（2x＋11）（2x−11）＝0， 2x＋11＝0或2x−11＝0， ∴x1＝，x2＝； （5）（2x＋1）（3x−2）＝0， 2x＋1＝0或3x−2＝0， ∴x1＝，x2＝； （6）（x−4＋5−2x）（x−4−5＋2x）＝0， （1−x）（3x−9）＝0， 1−x＝0或3x−9＝0， ∴x1＝1，x2＝3． 11．填空： （1）+______=（x+________）2； （2）+______=（x-________）2； （3）+______=（x+________）2； （4）+______=（x-________）2． 【答案】 25 5 36 6 【解析】 解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为25；5；36；6；；；；． 12．如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 _____． 【答案】 【解析】 x2＋2x－3＝0 m是方程x2＋2x－3＝0的实根 或 故答案为：． 13．若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________ ． 【答案】k＜9，且 【解析】 解：∵关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴， ， ∴k＜9且． 故答案为：k＜9，且 考法02 一元二次方程的实际应用 14．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】14 【解析】 解：， （x-2）（x-6）=0， x1=2，x2=6， 当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去； 当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系， 则周长为：6+6+2=14， 故答案为：14． 15．将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第n个图形中“〇”的个数是78，则n的值是_____． 【答案】12 【解析】 解：第1个图象有1个小圆， 第2个图象有1+2＝3个小圆， 第3个图象有1+2+3＝6个小圆， 第4个图象有1+2+3+4＝10个小圆， 第n个图象有1+2+3+…+n＝个小圆， ∵第n个图形中“〇”的个数是78， ∴＝78， 解得n＝12，或n＝﹣13（不符合题意，舍去） 故答案为12． 16．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 【答案】24 【解析】 解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2）， 根据题意得：3x（x+2）=10x+（x+2）， 整理得：3x2-5x-2=0， 解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去）， ∴x+2=4， ∴这个两位数为24． 17．一个矩形的长和宽相差，面积是．求这个矩形的长和宽． 【答案】这个矩形的长为4 cm，宽为l cm 【解析】 解：设矩形的宽为cm，则长为（） cm 由矩形面积公式可知， 整理得， 解得，． 因为矩形的边长不能是负数，所以不符合题意，舍去， 所以． 所以． 答：这个矩形的长为4 cm，宽为1cm ． 18．向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率． 【答案】10%． 【解析】 解：设这两年的平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），． 答：这两年的平均增长率为10%． 19．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？ 【答案】用20m长的篱笆围成一个长为10 m，宽为5 m的矩形（其中一边长10m，另两边长5 m） 【解析】 解：设与墙垂直的篱笆长为m，则与墙平行的篱笆长为m， 根据题意，得， 整理得，， 解得， ． 答：用20m长的篱笆围成一个长为10 m，宽为5 m的矩形（其中一边长10m，另两边长5 m）． 20．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】6 【解析】 设应邀请x支球队参加比赛，根据题意得 解得 (舍去)，答：邀请6支球队参加比赛. 21．一个长方体的长与宽的比为5∶2，高为，表面积为，画出这个长方体的展开图． 【答案】见解析 【解析】 解：设这个长方体的长为cm，则宽为cm，得， 整理，得， 解得，． 因为长方体的棱长不能为负数，所以不符合题意，舍去，所以， 所以这个长方体的长为（cm），宽为（cm）． 这个长方体的展开图如图所示（单位：cm）． 22．一个直角梯形的下底比上底长，高比上底短，面积是．画出这个梯形． 【答案】见解析 【解析】 解；设梯形的上底长为cm，则下底长为（）cm．高为（）cm， 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 因为梯形的边长不能为负数，所以不符合题意，舍去， 所以，，． 画出这个直角梯形如图所示． 23．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 【答案】1.8，1.4 【解析】 解：封面的长宽之比是，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7，设中央的矩形的长和宽分别是和，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 ． 设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央的矩形的长为，宽为．由题意得： ． 整理，得． 解方程，得． ∴上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为． 24．一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长． 【答案】这两条直角边为，． 【解析】 解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，得： x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8． 当x1=6时，14﹣x=8； 当x2=8时，14﹣x=6； 答：两条直角边的长分别为，． 25．两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数． 【答案】－14，－12或12，14． 【解析】 解：设两个相邻偶数中较小的一个是x，则另一个是x＋2．根据题意，得： x(x＋2)＝168， ∴x2＋2x－168＝0， ∴ x1＝－14，x2＝12． 当x＝－14时，x+2＝－12； 当x＝12时，x+2＝14． 答：这两个偶数分别是－14，－12或12，14． 26．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 【答案】9． 【解析】 解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91， 解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去）， 答：每个支干长出9小分支． 27．一个菱形两条对角线长的和是，面积是．求菱形的周长． 【答案】菱形的周长是cm． 【解析】 解：设菱形的一条对角线长为xcm，则另一条对角线长为(10－x)cm，由菱形的性质可知： (10－x)＝12，整理，得x2－10x＋24＝0， 解得x1＝4，x2＝6． 当x＝4时，10－x＝6；当x＝6时，10－x＝4， 所以这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm． 由菱形的性质和勾股定理得菱形的边长为＝(cm)，所以菱形的周长为cm． 答：菱形的周长是cm． 28．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛90场．共有多少个队参加比赛？ 【答案】共有10个队参加比赛． 【解析】 设共有x个队参加比赛， 根据题意得：2×x（x﹣1）＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）． 故共有10个队参加比赛． 29．青山村种的水稻2010年平均每公顷产，2012年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率． 【答案】水稻每公顷产量的年平均增长率为． 【解析】 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则有： 7200(1＋x)2＝8450． 解得x＝或x＝（舍）． 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为． 30．要为一幅长，宽的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】镜框边的宽度约是1.5cm． 【解析】 解：设镜框边的宽度应是xcm，根据题意，得： (29＋2x)(22＋2x)－22×29＝×29×22， 整理，得8x2＋204x－319＝0， 解得x＝， 所以，， 因x＝<0，不符合题意，舍去， 所以x ＝≈1.5； 答：镜框边的宽度约是1.5cm． 31．如图，线段的长为1． （1）线段上的点C满足关系式，求线段的长度； （2）线段上的点D满足关系式，求线段的长度； （3）线段上的点E满足关系式，求线段的长度．上面各小题的结果反映了什么规律？ 【答案】（1）；（2）；（2）．规律：若为线段上一点，且满足，则．也叫做黄金比，点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点． 【解析】 解：(1)设线段AC的长度为，则， ∵， ∴， ， ， 解得， （舍）， ∴； (2)设线段的长度为，则线段， ∵， ∴， ， 解得，（舍）， ∴ ； (3) 设线段的长度为，则线段， ∵, ∴， 解得，(舍)， ∴； 规律：若为线段上一点，且满足，则．也叫做黄金比，点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点． 32．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润； (2)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 【答案】(1)450 kg；6750元；(2)80元 【解析】 (1)55-50=5元 500-5×10=450 kg (55-40)×450=6750元 答：当销售单价定为每千克55元时，销售量为450 kg，月销售利润为6750元． (2) 设涨价x元，则销售量减少10xkg，则 (50-40+x)(500-10x)=8000 解得x1=10，x2=30 又因为40×(500-10x)≤10000 解得x≥25 所以x=30，x+50=80 答：销售单价应为80元． 课程标准（1）梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识. （2）能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题. （3）列一元二次方程解决实际问题. （4）进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用.a一元二次方程的概念①含有1个未知数 ②最高次为2次 ③整式方程b一元二次方程一般形式 c一元二次方程如何验根将x的值代入方程d一元二次方程的解法①直接开方法 ②配方法 ③公式法 ④因式分解法e若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1,x2，求根公式① ② f根与系数的关系是：① ②g判别一个一元二次方程是否有实根当时， 方程有两个不等的实数根; 当时， 方程有两个相等的实数根; 当时， 方程没有实数根.h列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步审、设、列、解、验、答传播轮次传播前人数传染人数传播后总人数1aapa+ap=a（1+p）2a（1+p）a（1+p）pa（1+p）+a（1+p）p=a（1+p）23a（1+p）2a（1+p）2pa（1+p）2+a（1+p）2x=a（1+p）3增长（下降）次数增长（下降）前数量增长（下降）量增长（下降）后数量1aapa±ap=a（1±p）2a（1±p）a（1±p）pa（1±p）±a（1±p）p=a（1±p）23a（1±p）2a（1±p）2pa（1+p）2±a（1±p）2x= a（1±p）3类型图形面积表示1、内挖类型如图所示的矩形ABCD长为a,宽为b,空白部分宽均为x,则阴影的面积可表示为 .2、外扩类型如图所示的阴影部分矩形的长为a,宽为b,空白部分宽均为x,则矩形ABCD的面积可表示为 .3、开路问题如图所示矩形的长为a,宽为b,在矩形中挖四条等宽的小路，路宽均为x,则剩余部分（绿色阴影）面积可表示为 .4、围栏问题①如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为 ；②如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，中间还有一道篱笆EF，篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为 ；③如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，并开一个宽度为b的门，篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为 ；
第08课 一元二次方程章末复习 知识点01 一元二次方程相关概念 知识点02 一元二次方程的相关应用 【1】握手（送礼）问题 解题技巧：有2种类型 ①握手问题，设有x个人，两人之间握一次手，则一共的握次数为； ①送礼问题，设有x个人，任意两人之间互相送一个礼物，则一共的送礼次数为； 【2】传染问题 解题技巧：有2种类型 （1）个体传播一轮后，依旧传染。设a为传播前基础人数，b为传播后的人数，n为传播的轮次，p为传播过程中，平均一人传染的人数。 发现规律：传播人数：b=a（1+p）n，与增长率问题公式一致。 【3】平均增长率问题 解题技巧：设a为增长（下降）基础数量，b为增长（下降）后的数量，n为增长（下降）的次数，p为增长（下降）率。 发现规律：①增长时：b=a（1+p）n； ②减少时：b=a（1-p）n 注：①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数n为2； ②通常设增长（下降）率为x； ③例求解得x=0.1，则表示增长（下降）10%。 【4】图形问题 考法01 一元二次方程相关概念与解法 1．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ） A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2＋4x＝3 D．x2＋2x＝5 【答案】C 【解析】 解：A、因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意； B、将该方程的二次项系数化为1，得x2-2x=，此方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意； C、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项符合题意； D、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意； 故选：C． 2．若是方程的一个根，则a的值为（ ） A．-1 B．0 C．11 D．2 【答案】B 【解析】 解：将代入方程中，可得 即 故选：B． 3．已知方程有一个根是（），则下列代数式的值恒为1的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：设该方程的另外一个解为， ， ， 将代入可得：， ， 故选：. 4．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，则x2+3x的值为（ ） A．-3或1 B．-3 C．1 D．不能确定 【答案】C 【解析】 设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2+2y-3＝0 解得：y1＝﹣3，y2＝1 当x2﹣3x＝-3，即x2﹣3x+3=0时 方程无解 则x2+3x的值为1 故选C 5．方程化成一般形式为_____________，二次项系数是_____________，一次项系数是_____________，常数项是_____________． 【答案】 1 【解析】 解： 方程整理得：即为 ∴二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为-4， 故答案为： ①；② 1；③ -5；④-4. 6．解方程： (1)x2﹣4x﹣5＝0； (2)3x2﹣1＝2x+2 【答案】(1)x1＝5，x2＝﹣1(2) 【解析】 (1)解：x2﹣4x﹣5＝0 （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， 所以x1＝5，x2＝﹣1； (2)解：3x2﹣2x﹣3＝0， a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3， Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴， ∴． 7．解方程 (1)x2﹣4x＝0； (2)4x2﹣25＝0； (3)2x(x﹣3)+x＝3． 【答案】(1)x1＝0，x2＝4；(2)x1＝﹣2.5，x2＝2.5；(3)x1＝3，x2＝ 【解析】 (1)解：x2﹣4x＝0 x（x﹣4）＝0； x＝0或x﹣4＝0； 所以x1＝0，x2＝4； (2)解：4x2﹣25＝0 （2x+5）（2x﹣5）＝0， 2x+5＝0或2x﹣5＝0， 所以x1＝-2.5，x2＝2.5； (3)解：2x(x﹣3)+x＝3 将方程整理得2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0； （x﹣3）（2x+1）＝0； x﹣3＝0或2x+1＝0； 所以x1＝3，x2． 8．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），；（7），；（8）， 【解析】 解：（1）196x2－1 ＝ 0， 移项，得196x2＝ 1， 直接开平方，得14x＝， x＝， ∴原方程的解为，． （2）， 原方程化为， ， ∴或， ∴，． （3）， ∵，，， ∴>0， ∴， ，． （4）， 原方程化为， ∵，，， ∴>0， ∴ ， ∴，． （5），原方程化为， 因式分解，得， ∴或， ∴，． （6）， 原方程化为， ∴或， ∴，． （7）原方程化为， ∵，，， ∴>0， ∴， ∴，． （8）， 原方程化为， ∴或， ∴，． 9．求下列方程两个根的和与积： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【解析】 解：（1）设方程的两根为，，则， ． （2）设方程的两根为，，则，． （3）原方程化为，设方程的两根为，，则，． （4）原方程化为，设方程的两根为，，则，． 10．解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）x1＝0，x2＝－1；（2）x1＝0，x2＝2；（3）x1＝x2＝1；（4）x1＝，x2＝；（5）x1＝，x2＝；（6）x1＝1，x2＝3 【解析】 解：（1）x（x＋1）＝0， x＝0或x＋1＝0， ∴x1＝0，x2＝−1； （2）， ， x＝0或＝0， ∴x1＝0，x2＝2； （3）， ， ， ∴x1＝x2＝1； （4）（2x＋11）（2x−11）＝0， 2x＋11＝0或2x−11＝0， ∴x1＝，x2＝； （5）（2x＋1）（3x−2）＝0， 2x＋1＝0或3x−2＝0， ∴x1＝，x2＝； （6）（x−4＋5−2x）（x−4−5＋2x）＝0， （1−x）（3x−9）＝0， 1−x＝0或3x−9＝0， ∴x1＝1，x2＝3． 11．填空： （1）+______=（x+________）2； （2）+______=（x-________）2； （3）+______=（x+________）2； （4）+______=（x-________）2． 【答案】 25 5 36 6 【解析】 解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为25；5；36；6；；；；． 12．如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 _____． 【答案】 【解析】 x2＋2x－3＝0 m是方程x2＋2x－3＝0的实根 或 故答案为：． 13．若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________ ． 【答案】k＜9，且 【解析】 解：∵关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴， ， ∴k＜9且． 故答案为：k＜9，且 考法02 一元二次方程的实际应用 14．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】14 【解析】 解：， （x-2）（x-6）=0， x1=2，x2=6， 当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去； 当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系， 则周长为：6+6+2=14， 故答案为：14． 15．将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第n个图形中“〇”的个数是78，则n的值是_____． 【答案】12 【解析】 解：第1个图象有1个小圆， 第2个图象有1+2＝3个小圆， 第3个图象有1+2+3＝6个小圆， 第4个图象有1+2+3+4＝10个小圆， 第n个图象有1+2+3+…+n＝个小圆， ∵第n个图形中“〇”的个数是78， ∴＝78， 解得n＝12，或n＝﹣13（不符合题意，舍去） 故答案为12． 16．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 【答案】24 【解析】 解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2）， 根据题意得：3x（x+2）=10x+（x+2）， 整理得：3x2-5x-2=0， 解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去）， ∴x+2=4， ∴这个两位数为24． 17．一个矩形的长和宽相差，面积是．求这个矩形的长和宽． 【答案】这个矩形的长为4 cm，宽为l cm 【解析】 解：设矩形的宽为cm，则长为（） cm 由矩形面积公式可知， 整理得， 解得，． 因为矩形的边长不能是负数，所以不符合题意，舍去， 所以． 所以． 答：这个矩形的长为4 cm，宽为1cm ． 18．向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率． 【答案】10%． 【解析】 解：设这两年的平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），． 答：这两年的平均增长率为10%． 19．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？ 【答案】用20m长的篱笆围成一个长为10 m，宽为5 m的矩形（其中一边长10m，另两边长5 m） 【解析】 解：设与墙垂直的篱笆长为m，则与墙平行的篱笆长为m， 根据题意，得， 整理得，， 解得， ． 答：用20m长的篱笆围成一个长为10 m，宽为5 m的矩形（其中一边长10m，另两边长5 m）． 20．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 【答案】6 【解析】 设应邀请x支球队参加比赛，根据题意得 解得 (舍去)，答：邀请6支球队参加比赛. 21．一个长方体的长与宽的比为5∶2，高为，表面积为，画出这个长方体的展开图． 【答案】见解析 【解析】 解：设这个长方体的长为cm，则宽为cm，得， 整理，得， 解得，． 因为长方体的棱长不能为负数，所以不符合题意，舍去，所以， 所以这个长方体的长为（cm），宽为（cm）． 这个长方体的展开图如图所示（单位：cm）． 22．一个直角梯形的下底比上底长，高比上底短，面积是．画出这个梯形． 【答案】见解析 【解析】 解；设梯形的上底长为cm，则下底长为（）cm．高为（）cm， 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 因为梯形的边长不能为负数，所以不符合题意，舍去， 所以，，． 画出这个直角梯形如图所示． 23．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 【答案】1.8，1.4 【解析】 解：封面的长宽之比是，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7，设中央的矩形的长和宽分别是和，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 ． 设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央的矩形的长为，宽为．由题意得： ． 整理，得． 解方程，得． ∴上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为． 24．一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长． 【答案】这两条直角边为，． 【解析】 解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，得： x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8． 当x1=6时，14﹣x=8； 当x2=8时，14﹣x=6； 答：两条直角边的长分别为，． 25．两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数． 【答案】－14，－12或12，14． 【解析】 解：设两个相邻偶数中较小的一个是x，则另一个是x＋2．根据题意，得： x(x＋2)＝168， ∴x2＋2x－168＝0， ∴ x1＝－14，x2＝12． 当x＝－14时，x+2＝－12； 当x＝12时，x+2＝14． 答：这两个偶数分别是－14，－12或12，14． 26．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 【答案】9． 【解析】 解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91， 解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去）， 答：每个支干长出9小分支． 27．一个菱形两条对角线长的和是，面积是．求菱形的周长． 【答案】菱形的周长是cm． 【解析】 解：设菱形的一条对角线长为xcm，则另一条对角线长为(10－x)cm，由菱形的性质可知： (10－x)＝12，整理，得x2－10x＋24＝0， 解得x1＝4，x2＝6． 当x＝4时，10－x＝6；当x＝6时，10－x＝4， 所以这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm． 由菱形的性质和勾股定理得菱形的边长为＝(cm)，所以菱形的周长为cm． 答：菱形的周长是cm． 28．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛90场．共有多少个队参加比赛？ 【答案】共有10个队参加比赛． 【解析】 设共有x个队参加比赛， 根据题意得：2×x（x﹣1）＝90， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）． 故共有10个队参加比赛． 29．青山村种的水稻2010年平均每公顷产，2012年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率． 【答案】水稻每公顷产量的年平均增长率为． 【解析】 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则有： 7200(1＋x)2＝8450． 解得x＝或x＝（舍）． 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为． 30．要为一幅长，宽的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】镜框边的宽度约是1.5cm． 【解析】 解：设镜框边的宽度应是xcm，根据题意，得： (29＋2x)(22＋2x)－22×29＝×29×22， 整理，得8x2＋204x－319＝0， 解得x＝， 所以，， 因x＝<0，不符合题意，舍去， 所以x ＝≈1.5； 答：镜框边的宽度约是1.5cm． 31．如图，线段的长为1． （1）线段上的点C满足关系式，求线段的长度； （2）线段上的点D满足关系式，求线段的长度； （3）线段上的点E满足关系式，求线段的长度．上面各小题的结果反映了什么规律？ 【答案】（1）；（2）；（2）．规律：若为线段上一点，且满足，则．也叫做黄金比，点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点． 【解析】 解：(1)设线段AC的长度为，则， ∵， ∴， ， ， 解得， （舍）， ∴； (2)设线段的长度为，则线段， ∵， ∴， ， 解得，（舍）， ∴ ； (3) 设线段的长度为，则线段， ∵, ∴， 解得，(舍)， ∴； 规律：若为线段上一点，且满足，则．也叫做黄金比，点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点． 32．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润； (2)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 【答案】(1)450 kg；6750元；(2)80元 【解析】 (1)55-50=5元 500-5×10=450 kg (55-40)×450=6750元 答：当销售单价定为每千克55元时，销售量为450 kg，月销售利润为6750元． (2) 设涨价x元，则销售量减少10xkg，则 (50-40+x)(500-10x)=8000 解得x1=10，x2=30 又因为40×(500-10x)≤10000 解得x≥25 所以x=30，x+50=80 答：销售单价应为80元． 课程标准（1）梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识. （2）能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题. （3）列一元二次方程解决实际问题. （4）进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用.a一元二次方程的概念①含有1个未知数 ②最高次为2次 ③整式方程b一元二次方程一般形式 c一元二次方程如何验根将x的值代入方程d一元二次方程的解法①直接开方法 ②配方法 ③公式法 ④因式分解法e若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根x1,x2，求根公式① ② f根与系数的关系是：① ②g判别一个一元二次方程是否有实根当时， 方程有两个不等的实数根; 当时， 方程有两个相等的实数根; 当时， 方程没有实数根.h列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步审、设、列、解、验、答传播轮次传播前人数传染人数传播后总人数1aapa+ap=a（1+p）2a（1+p）a（1+p）pa（1+p）+a（1+p）p=a（1+p）23a（1+p）2a（1+p）2pa（1+p）2+a（1+p）2x=a（1+p）3增长（下降）次数增长（下降）前数量增长（下降）量增长（下降）后数量1aapa±ap=a（1±p）2a（1±p）a（1±p）pa（1±p）±a（1±p）p=a（1±p）23a（1±p）2a（1±p）2pa（1+p）2±a（1±p）2x= a（1±p）3类型图形面积表示1、内挖类型如图所示的矩形ABCD长为a,宽为b,空白部分宽均为x,则阴影的面积可表示为 .2、外扩类型如图所示的阴影部分矩形的长为a,宽为b,空白部分宽均为x,则矩形ABCD的面积可表示为 .3、开路问题如图所示矩形的长为a,宽为b,在矩形中挖四条等宽的小路，路宽均为x,则剩余部分（绿色阴影）面积可表示为 .4、围栏问题①如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为 ；②如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，中间还有一道篱笆EF，篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为 ；③如图，靠着一面墙MN用篱笆建一个菜园ABCD，并开一个宽度为b的门，篱笆总长为a，设垂直于墙面的边CD长为x，则矩形BC边的长为 ，矩形ABCD的面积为 ；
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