高中人教A版 (2019)8.2 立体图形的直观图精品课后测评

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知识精讲
知识点01 水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
【即学即练1】 下列结论正确的是
A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等
C．水平放置的三角形的直观图是三角形D．水平放置的菱形的直观图是菱形
【答案】C
【详解】对于A，相等的角在直观图中不一定相等，如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故错误；
对于B，相等的线段在直观图中不一定相等，如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，故错误；
对于C，三角形的直观图仍然是三角形，正确．
对于D，菱形的直观图不一定是菱形，也可能是矩形，故错误．
综上，正确的命题是C,
故选C．
反思感悟
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
知识点02 空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法步骤
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
【即学即练2】如图所示，为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下列选项中的( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直观图和原图的关系分析得解.
【详解】由直观图知，该梯形中一边与y轴平行，即为直角梯形．故答案为C
能力拓展
考法01 水平放置的平面图形的直观图的画法
【典例1】如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
【变式训练】已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，
其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC是一个
A．等边三角形B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形
【答案】A
【详解】原△ABC中，BO=OC=1，BC=2.AO SKIPIF 1 < 0 BC,且AO=2 A′O′= SKIPIF 1 < 0 .在直角△ABO和△ACO中AB= SKIPIF 1 < 0 .AC=2.故△ABC等边三角形
考法02 空间几何体的直观图的画法
【典例2】．下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意知，应看到正方体的上面、前面和右面，
由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知选A.
反思感悟 空间几何体的直观图的画法
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．
(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．
考法03 直观图的还原与计算
【典例3】已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】如图①②所示的实际图形和直观图.
由斜二测画法可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在图②中作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【变式训练】已知正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积为4，其直观图是四边形 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积是____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】按照斜二测画法，边长为2的正方形的直观图是邻边分别为2和1，一个内角为 SKIPIF 1 < 0 的平行四边形，其面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式训练】如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________．
【答案】8
【分析】根据斜二测画法，还原出原图，根据原图与直观图的关系，求得边长，即可得答案.
【详解】根据直观图，还原原图可得OABC，如图所示：
根据原图与直观图的关系可得， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以原图形OABC的周长为3+1+3+1=8，
故答案为：8
反思感悟
由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由此可得：直观图面积是原图形面积的eq \f(\r(2),4)倍．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（ ）
A．五棱锥B．三棱柱C．三棱台D．四棱台
【答案】D
【解析】根据几何体的结构判断．
【详解】四棱台有8个顶点，不符合题意.，其他都是6个顶点．
故选：D．
2．若水平放置的四边形 SKIPIF 1 < 0 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则原四边形中 SKIPIF 1 < 0 的长度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，求出直观图中 SKIPIF 1 < 0 的长度即得解.
【详解】解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，所以原四边形中 SKIPIF 1 < 0 的长度为2 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．已知边长为1的菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】根据直观图和原图面积关系，求得这个菱形的直观图的面积.
【详解】若原图的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，直观图的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
原图为菱形，面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直观图的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查斜二测画法面积的有关计算.
4．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．8D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．
【详解】还原直观图为原图形如图所示，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，还原回原图形后，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以原图形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
5．如图， SKIPIF 1 < 0 是水平放置的 SKIPIF 1 < 0 的斜二测直观图， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，其中 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用勾股定理可求得 SKIPIF 1 < 0 ，可还原 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求得结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 如图所示，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图 SKIPIF 1 < 0 的面积为4，则该平面图形的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由原图的面积是直观图面积的 SKIPIF 1 < 0 倍即可求解.
【详解】已知直观图 SKIPIF 1 < 0 的面积为4,
所以原图的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
【点睛】本题主要考查了斜二测画法，切要掌握原图的面积是直观图面积的 SKIPIF 1 < 0 倍，属于基础题.
二、多选题
7．利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形B．正方形的直观图是正方形
C．菱形的直观图是菱形D．平行四边形的直观图是平行四边形
【答案】AD
【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，逐项判定，即可求解.
【详解】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的线段长度不变，平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的线段长度减半.
对于A中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A正确；
对于B中，正方形的直角，在直观图中变为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，不是正方形，所以B错误；
对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为 SKIPIF 1 < 0 ，所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；
对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确.
故选：AD.
8．如图， SKIPIF 1 < 0 是水平放置的 SKIPIF 1 < 0 的直观图， SKIPIF 1 < 0 ，则在原平面图形 SKIPIF 1 < 0 中，有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】将直观图 SKIPIF 1 < 0 还原为原平面图形 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】解：在直观图 SKIPIF 1 < 0 中，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以利用斜二测画法将直观图 SKIPIF 1 < 0 还原为原平面图形 SKIPIF 1 < 0 ，如图
SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
又 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A、C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确；
故选：BD.
三、填空题
9．如图， SKIPIF 1 < 0 是用斜二测画法得到的 SKIPIF 1 < 0 的直观图，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则AB的长度为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】在原图形中作出 SKIPIF 1 < 0 ，然后由勾股定理计算．
【详解】如图，在原图形中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10．一个腰长为5，底边长为8的等腰三角形的直观图的面积为______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据直观图与原图形的面积关系直接求得.
【详解】一个腰长为5，底边长为8的等腰三角形的面积为： SKIPIF 1 < 0 ，
即原图形的面积为12.
由 SKIPIF 1 < 0 得：直观图的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的面积是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由直观图可知，在直观图中,正方形的对角线长为 SKIPIF 1 < 0 ，由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图形如图所示
所以原图图形为平行四边形，底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，位于 SKIPIF 1 < 0 轴的对角线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以原来图形的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则原多边形面积为____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】根据所给的直观图中直角梯形的数据求出梯形面积，根据原来的平面图形面积是直观图面积的 SKIPIF 1 < 0 倍，求出平面图形的面积.
【详解】因为直角梯形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以直观图的面积是 SKIPIF 1 < 0
因为原来的平面图形面积是直观图面积的 SKIPIF 1 < 0 倍，
所以平面图形的面积是 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
13．如图的长方体 SKIPIF 1 < 0 .
（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
（2）用平面 SKIPIF 1 < 0 把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）根据棱柱的定义判断；
（2）根据棱柱的定义判断．
【详解】(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义.
(2)截面 SKIPIF 1 < 0 右侧部分是三棱柱，它的底面是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
侧棱是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，截面左侧部分是四棱柱，
它的底面是四边形 SKIPIF 1 < 0 与四边形 SKIPIF 1 < 0 ，侧棱是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
14．如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．
【答案】见解析
【分析】由题意，得到该几何体是底面为正方形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，根据题中数据，结合斜二测画法的原则，即可得出其直观图.
【详解】
由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，
其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示.
【点睛】本题主要考查由几何体的平面展开图画出几何体的直观图，熟记简单几何体的结构特征，以及斜二测画法的原则即可，属于常考题型.
15．画图中水平放置的直角三角形的直观图．
【答案】作图见解析
【分析】根据斜二测画法作图即可.
【详解】如图所示．
,
去掉作图痕迹，如图，
题组B 能力提升练
一、单选题
1．如果一个正方形的边长为4，那么用斜二测画法画出其直观图的面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．8D．16
【答案】B
【解析】由斜二测画法的原则：横等纵半，即得直观图面积为原几何图形的 SKIPIF 1 < 0 ，写出直观图面积即可.
【详解】若斜二测画法所得正方形如下图A’B’C’D’，根据横等纵半知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直观图的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
2．如图，平行四边形 SKIPIF 1 < 0 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，则原图形的面积是（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】求出直观图的面积，再根据原平面图形的面积与直观图的面积比为 SKIPIF 1 < 0 ，计算即可.
【详解】解：平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以原平面图形的面积是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3．如图， SKIPIF 1 < 0 是斜二测画法画出的水平放置的 SKIPIF 1 < 0 的直观图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的长度大于 SKIPIF 1 < 0 的长度B． SKIPIF 1 < 0 的长度等于 SKIPIF 1 < 0 的长度
C． SKIPIF 1 < 0 的面积为1D． SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形，即可判断.
【详解】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，
据此分析选项：
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：D．
4．用斜二测画法画水平放置的 SKIPIF 1 < 0 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 .已知点 SKIPIF 1 < 0 是斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 边上的高为（ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】在直观图中 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 轴，可知原图形中 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 轴，故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求直观图中 SKIPIF 1 < 0 的长即可求解.
【详解】∵直观图是等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，根据直观图中平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的长度变为原来的一半,
∴△ SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上的高 SKIPIF 1 < 0 .故选D.
【点睛】本题主要考查了斜二测直观图的画法，属于中档题.
5．若水平放置的四边形 SKIPIF 1 < 0 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则原四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积（ ）
A．12B．6C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，由此计算原图形的面积．
【详解】解：由斜二测画法的直观图知，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
所以原图形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以梯形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
6．已知某几何体的一条棱的长为 SKIPIF 1 < 0 ，该棱在正视图中的投影长为 SKIPIF 1 < 0 ，在侧视图与俯视图中的投影长为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】根据三视图的定义，构造一个长方体，利用长方体的边长关系，求得m的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】如图：构造长方体
设 SKIPIF 1 < 0 ，在长方体中，DE为正视图中投影，BE为侧视图中投影，AC为俯视图的投影，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
故选：C.
【点睛】解题的关键是构造长方体，利用三视图的定义，得到对应的投影，再根据边长的关系求解，考查利用基本不等式求最值问题，综合性较强，属中档题.
二、多选题
7．如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．四边形ABCD的周长为 SKIPIF 1 < 0
D．四边形ABCD的面积为6 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【分析】利用斜二测画法的规则，逐个求解边长，根据选项可得答案.
【详解】由已知等腰梯形中， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由斜二测画法得，在原图直角梯形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ．∠BAD= SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形ABCD的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：ACD.
8．长方体 SKIPIF 1 < 0 的长、宽、高分别为3，2，1，则（ ）
A．长方体的表面积为20
B．长方体的体积为6
C．沿长方体的表面从A到 SKIPIF 1 < 0 的最短距离为 SKIPIF 1 < 0
D．沿长方体的表面从A到 SKIPIF 1 < 0 的最短距离为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】由题意，可利用柱体体积公式和多面体表面积公式进行计算，沿表面最短距离可将临近两个面侧面展开图去计算，即可求解正确答案.
【详解】长方体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，A错误.长方体的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确.如图（1）所示，长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面 SKIPIF 1 < 0 和侧面 SKIPIF 1 < 0 展开，

则有 SKIPIF 1 < 0 ，即经过侧面 SKIPIF 1 < 0 和侧面 SKIPIF 1 < 0 时的最短距离是 SKIPIF 1 < 0 ；如图（3）所示，将侧面 SKIPIF 1 < 0 和底面 SKIPIF 1 < 0 展开，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即经过侧面 SKIPIF 1 < 0 和底面 SKIPIF 1 < 0 时的最短距离是 SKIPIF 1 < 0 ；如图（4）所示，将侧面 SKIPIF 1 < 0 和底面 SKIPIF 1 < 0 展开，

则有 SKIPIF 1 < 0 ，即经过侧面 SKIPIF 1 < 0 和底面 SKIPIF 1 < 0 时的最短距离是 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以沿长方体表面由A到 SKIPIF 1 < 0 的最短距离是 SKIPIF 1 < 0 ，C正确，D不正确.
故选：BC.
【点睛】本题考查长方体体积公式、表面积公式和沿表面的最短距离，考查空间想象能力，属于基础题.
三、填空题
9．已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据直观图面积是原图形面积的 SKIPIF 1 < 0 倍即可得出结果.
【详解】由题意可知，原图形面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
又直观图面积是原图形面积的 SKIPIF 1 < 0 倍，所以直观图的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
10．已知四棱锥的底面是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，侧棱长均为 SKIPIF 1 < 0 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．
【详解】由题意四棱锥的底面是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，侧棱长均为 SKIPIF 1 < 0 ，借助勾股定理，可知四棱锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为 SKIPIF 1 < 0 ，故圆柱的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.
11．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为______.
【答案】4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.
【解析】通过1∶500的比例以及画直观图的规则，可得解.
【详解】由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高，应分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合直观图，与x,z轴平行的直线长度不变，与y轴平行的直线长度为原图的 SKIPIF 1 < 0 ，则图形的尺寸应为4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.
【点睛】本题考查了立体图形的直观图，考查了学生直观想象，数学运算的能力，属于基础题.
12．如图,一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是△ SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,则该直观图所表示的平面图形的面积为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据斜二测直观图的作图方法还原平面图，即可求出其平面图形的面积.
【详解】由题：在直观图中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
还原平面图：
SKIPIF 1 < 0 ，
所以直观图面积 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题组C 培优拔尖练
1．画出图中水平放置的四边形 SKIPIF 1 < 0 的直观图.
【答案】图见解析.
【分析】在四边形 SKIPIF 1 < 0 中，过 SKIPIF 1 < 0 作出 SKIPIF 1 < 0 轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图.
【详解】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A、C在对应点 SKIPIF 1 < 0 ，而B、D对应点 SKIPIF 1 < 0 位置不变，如下图示：
14．画长、宽、高分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长方体的直观图．
【答案】画图见解析
【分析】可根据斜二测画法的规则，画出底面长方形的直观图，并计算出各边长长度，然后分别作出相应平行与垂直等线段再连接即可.
【详解】根据斜二测画法的规则可知, 底面矩形的直观 图为平行四边形,
其中 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
作 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 , 在 SKIPIF 1 < 0 轴上截取 SKIPIF 1 < 0 ,
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 , 使 SKIPIF 1 < 0 , 过 SKIPIF 1 < 0 、
SKIPIF 1 < 0 分别作 SKIPIF 1 < 0 平行于 SKIPIF 1 < 0 且等于 SKIPIF 1 < 0 ,
连接 SKIPIF 1 < 0 可得长、宽、高 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长方体的直观图.
2．画出各条棱长都相等的正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图.
【答案】见解析
【解析】建立起 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴，首先画出底面正六边形的直观图；再过底面各顶点分别做 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线，分别截取线段长度等于棱 SKIPIF 1 < 0 的长，顺次连接 SKIPIF 1 < 0 ，再加以整理即可得到结果.
【详解】第一步：画 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
第二步：按 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴，画正六边形的直观图 SKIPIF 1 < 0
第三步：过 SKIPIF 1 < 0 各点分别作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 SKIPIF 1 < 0 都等于棱 SKIPIF 1 < 0 的长
第四步：顺次连接 SKIPIF 1 < 0 ，去掉辅助线及字母，将被遮挡的部分改为虚线，就得到所求作的正六棱柱的直观图.
平行关系得到几何体的各个侧棱.
3．如图所示，在边长为4的正三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，若将正三角形 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 所在直线旋转 SKIPIF 1 < 0 ，求阴影部分形成的几何体的表面积.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体，根据长度计算表面积得到答案.
【详解】旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
∴所求几何体的表面积 SKIPIF 1 < 0
4．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；
（2）圆柱的高 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.
【详解】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：
设 SKIPIF 1 < 0 ，在半圆⊙A中， SKIPIF 1 < 0 ， 弧长 SKIPIF 1 < 0 ，
这是圆锥的底面周长，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故圆锥的底面积为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设圆柱的高 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，圆柱的侧面积最大，
此时 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图．
1、通过阅读课本在 认识柱锥台体的图形的基础上，理解立体图形的直观图的画法。
2、熟练运用掌握平面图形的斜二测画法，理解例题图形的斜二测画法要领.
3、在认真学习的基础上，提升学生空间向量能力和数学分析能力，抽象思维能力.