还剩20页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
沪教版数学八年级下册第22章四边形（单元基础卷）含解析答案
展开
这是一份沪教版数学八年级下册第22章四边形（单元基础卷）含解析答案，共23页。
第22章�四边形（单元基础卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是【 】
A．∠BDC =∠BCD B．∠ABC =∠DAB C．∠ADB =∠DAC D．∠AOB =∠BOC
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
5．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为【 】
A． B． C． D．
6．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
评卷人
得分
二、填空题
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是正方形．
8．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=．
其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．
9．如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC,AE=1，连接BE，则tanE= .
10．如图，点在正方形的边上．若的面积为8，，则线段的长为 ．
11．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是 ．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为 ．
12．如图，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，则下底BC的长为 ．
13．如图，ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件 （只添一个即可），使ABCD是矩形．
14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED= 度．
15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为 ．
16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD= 度．
17．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）．
18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，E是边AD的中点，若AC＝10，DC＝，则BO＝ ，∠EBD的大小约为 度 分．（参考数据：tan26°34′≈）
评卷人
得分
三、解答题
19．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作交DE延长线于点F，连接AD，BF．
(1)求证：△AEF≌△BED．
(2)若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形．
21．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．
22．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．
（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．
23．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，
求证：四边形BCDE是矩形．
24．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
25．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等，并说明理由．
参考答案：
1．D
【详解】A、对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，故本选项错误；
B、对角线相等的梯形才是等腰梯形，故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项错误；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确．
故选D．
2．C
【详解】试题分析：根据等腰梯形的判定，逐一作出判断：
A.由∠BDC =∠BCD只能判断△BCD是等腰三角形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形；
B.由∠ABC =∠DAB和AD∥BC，可得∠ABC =∠DAB=900，是直角梯形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形；
C.由∠ADB =∠DAC，可得AO=OD，由AD∥BC，可得∠ADB =∠DBC，∠DAC =∠ACB，从而得到∠DBC =∠ACB，所以OB=OC，因此AC=DB，根据对角线相等的梯形是等腰梯形可判定梯形ABCD是等腰梯形；
D.由∠AOB =∠BOC只能判断梯形ABCD的对角线互相垂直，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形．
故选C．
3．D
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF；
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF；
∴四边形BECF是菱形．
当BC=AC时，∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠EBC=45°；
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°．
∴菱形BECF是正方形．
故选项A不符合题意．
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B不符合题意．
当BD=DF时，BC=EF，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C不符合题意．
当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D符合题意．
故选D．
4．B
【详解】A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选B．
5．D
【详解】∵四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，∴DM=DC=1．
∴．∴ME=MC=
∴ED=EM－DM=．
∵四边形EDGF是正方形，∴DG=DE=．
故选D．
6．A
【详解】平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
【点睛】特殊四边形的性质
7．∠BAD＝90°(答案不唯一)
【详解】试题分析：根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴当∠BAD=90°时，四边形ABCD为正方形．
故答案为∠BAD=90°．
8．①②④
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD．
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF．
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD，AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
∴BE=DF．
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF．
∴CE=CF．
∴①说法正确．
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形．
∴∠CEF=45°．
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°．
∴②说法正确．
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF．
∵∠CAD≠∠DAF，
∴DF≠FG．
∴BE+DF≠EF．
∴③说法错误．
∵EF=2，
∴CE=CF=．
设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，，解得，
∴．
∴．
∴④说法正确．
综上所述，正确的序号是①②④．
9．
【详解】如图，延长CA使AF=AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=45°．∴∠BAF=135°．
∵AE⊥AC，∴∠BAE=135°．∴∠BAF=∠BAE．
∵在△BAF和△BAE中，，∴△BAF≌△BAE（SAS）．
∴∠E=∠F．
∵四边形ABCD是正方形，BG⊥AC，∴G是AC的中点．∴BG=AG=2．
在Rt△BGF中，，即tanE=．
10．5
【分析】根据正方形的性质，可以得到AB=AD=BC，AB⊥AD，再根据△ABE的面积为8，可以得到AB、AD、BC的长，然后根据CE=3和勾股定理，可以求得BE的长，本题得以解决．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，AB⊥AD，
∵△ABE的面积为8，
∴，
∴AB=AD=4，
∵CE=3，∠C=90°，BC=4，
∴BE=，
故答案为：5．
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11． 菱形 24cm2
【详解】解：在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=BD．
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC．
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE．
∴四边形EFGH为菱形．
∴这个花园的面积是×6×8=24m2．
故答案是：菱形，24m2．
12．7
【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，分别利用解直角三角形的知识得出BE、CF的长，继而可得出答案．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB＝4，∠B＝60°，
∴∠BAE＝60°，
∴BE＝2，
同理可得CF＝2，
故BC的长＝BE+EF+FC＝4+AD＝7．
故答案为：7
【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，解答本题的关键是求出BE及CF的长度，要求我们熟练记忆等腰梯形的几个性质．
13．AC=BD（答案不唯一）
【详解】试题分析：根据矩形的判定定理推出即可：
添加，由对角线相等的平行四边形是矩形可判定ABCD是矩形；
添加∠ABC=90°等，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定ABCD是矩形．
14．45
【分析】根据正三角形和正方形的性质可得∠EAB=150°,AE=AB，从而得出∠AEB的大小,进而得出∠BED的大小．
【详解】∵四边形ABCD是正方形,△AED是正三角形
∴∠EAD=60°,∠AED=60°,∠DAB=90°,AE=AD=AB
∴△AEB是等腰三角形,∠EAB=150°
∴∠AEB=∠ABE=15°
∴∠BED=45°
故答案为：45°
【点睛】本题考查正方形和正三角形的性质，解题关键利用正三角形和正方形的性质，得出∠AEB=∠ABE．
15．（）n﹣1
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC=；
同理可求：AE=，HE=，…，
∴第n个正方形的边长an=．
故答案为．
16．
【详解】如图，在Rt△ADF和Rt△AEF中，
AD=AE，AF=AF，
∴≌（），
故，
因为是正方形的对角线，
故，
故∠FAD=22.5°，
故答案为22.5.
17．∠ABC=90°或AC=BD．
【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，
故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为∠ABC=90°或AC=BD．
18． 5 18 26
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AC=10，
∴BD=AC=10，
∴BO=BD=5，
∵DC=，
∴AD==，
∴tan∠DAC==，
∵tan26°34′≈，
∴∠DAC≈26°34′，
∴∠OAB=∠OBA=90°﹣∠DAC=63°26′，
∵E是AD的中点，
∴AE=AB=，
∴∠ABE=∠AE=45°，
∴∠EBD=∠OBA﹣∠ABE=18°26′．
故答案为5，18，26．
19．见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
【详解】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由ASA证全等即可；
（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB＝90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．
【详解】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EDB，
∵E为AB的中点，
∴EA＝EB，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（ASA）；
（2）∵△AEF≌△BED，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BD，
∴四边形AFBD是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．
21．( 1）证明见解析；（2）30°．
【分析】（1）由正方形和等边三角形的性质得出AB=AE，DC=DE，∠BAE=150°，∠CDE=150°，可证ΔBAE≌ΔCDE，即可证出BE=CE；
（2）由（1）知：∠AEB=∠CED=15°，从而可求∠BEC的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ ADC=90°
∵△ADE为等边三角形
∴ AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
∴ΔBAE≌ΔCDE
∴BE=CE
解：（2）∵AB=AD， AD=AE，
∴AB=AE
∴∠ABE=∠AEB
又 ∵∠BAE=150°
∴∠ABE=∠AEB=15°
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=600－15°×2=30°
【点睛】本题考查等边三角形及全等三角形的判定和性质，也考查了等腰三角形等边对等角的性质，熟记相关性质定理是本题的解题关键．
22．（1）证明见解析．
（2）图形（即反例）见解析．
（3）不唯一，如点F在正方形ABCD内．
【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；
（2）当α=180°时，DF=BF；
（3）利用正方形的性质和△DAF≌△BAF即可证得是真命题．
【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，
∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，
∴DG=BE，
在△DGF和△BEF中，
，
∴△DGF≌△BEF（SAS），
∴DF=BF；
（2）图形（即反例）如图2，
∵AG=AE，AD=AB，
∴DG=BE，
在△DGF和△BEF中，
，
∴△DGF≌△BEF（SAS），
∴DF=BF；
（3）补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；
即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．如图3，连接CF，
在△DAF和△BAF中，
，
∴△DAF≌△BAF（SSS），
∴∠DAF=∠BAF=45°．
∵∠AAF=∠EAF=45°，
∴AG与AD重合，
即旋转角α=0°．
23．见解析
【详解】分析：证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，AE=AD，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴BE=CD．
又∵DE=BC，∴四边形BCDE为平行四边形．
如图，连接BD,CE,
在△ACE和△ABD中，
∵AC=AB，AE=AD，∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE=BD．
∴四边形BCED为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
24．（1）证明见解析；（2）12.
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得．
（2）根据勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，
∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°．
∵四边形ADBE是平行四边形．
∴平行四边形ADBE是矩形．
（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，
∴BD=DC=6×=3．
在Rt△ACD中，，
∴S矩形ADBE=BD•AD=3×4=12．
25．（1）证明见解析；（2）相等，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可．
（2）作AF∥PM，BE∥NQ，则四边形AMPF、BNQE都是平行四边形，所以，MP=AF，NQ=BE，由（1）AF=BE，即得MP=NQ．
【详解】解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°．
∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°．
∴∠ABE=∠DAF．
∵在△ABE和△DAF中，，
∴△ABE≌△DAF（ASA）．
∴AF=BE．
（2）MP与NQ相等，
理由：作AF∥PM，BE∥NQ，
∵正方形ABCD，
∴AM∥FP，BN∥EQ，
∴四边形AMPF和四边形BNQE都是平行四边形，
∴AF=MP，BE=NQ，
又∵MP⊥QN，
∴BE⊥AF，
∵（1）结论知AF=BE，
∴MP=NQ．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
第22章�四边形（单元基础卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是【 】
A．∠BDC =∠BCD B．∠ABC =∠DAB C．∠ADB =∠DAC D．∠AOB =∠BOC
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
5．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为【 】
A． B． C． D．
6．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
评卷人
得分
二、填空题
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是正方形．
8．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=．
其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．
9．如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC,AE=1，连接BE，则tanE= .
10．如图，点在正方形的边上．若的面积为8，，则线段的长为 ．
11．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是 ．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为 ．
12．如图，在梯形ABCD中，，AD＝3，AB＝CD＝4，∠A＝120°，则下底BC的长为 ．
13．如图，ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件 （只添一个即可），使ABCD是矩形．
14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED= 度．
15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为 ．
16．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD= 度．
17．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）．
18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，E是边AD的中点，若AC＝10，DC＝，则BO＝ ，∠EBD的大小约为 度 分．（参考数据：tan26°34′≈）
评卷人
得分
三、解答题
19．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作交DE延长线于点F，连接AD，BF．
(1)求证：△AEF≌△BED．
(2)若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形．
21．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．
22．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．
（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．
23．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，
求证：四边形BCDE是矩形．
24．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
25．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等，并说明理由．
参考答案：
1．D
【详解】A、对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，故本选项错误；
B、对角线相等的梯形才是等腰梯形，故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项错误；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确．
故选D．
2．C
【详解】试题分析：根据等腰梯形的判定，逐一作出判断：
A.由∠BDC =∠BCD只能判断△BCD是等腰三角形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形；
B.由∠ABC =∠DAB和AD∥BC，可得∠ABC =∠DAB=900，是直角梯形，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形；
C.由∠ADB =∠DAC，可得AO=OD，由AD∥BC，可得∠ADB =∠DBC，∠DAC =∠ACB，从而得到∠DBC =∠ACB，所以OB=OC，因此AC=DB，根据对角线相等的梯形是等腰梯形可判定梯形ABCD是等腰梯形；
D.由∠AOB =∠BOC只能判断梯形ABCD的对角线互相垂直，而不能判断梯形ABCD是等腰梯形．
故选C．
3．D
【详解】解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF；
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF；
∴四边形BECF是菱形．
当BC=AC时，∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠EBC=45°；
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°．
∴菱形BECF是正方形．
故选项A不符合题意．
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B不符合题意．
当BD=DF时，BC=EF，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C不符合题意．
当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D符合题意．
故选D．
4．B
【详解】A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选B．
5．D
【详解】∵四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，∴DM=DC=1．
∴．∴ME=MC=
∴ED=EM－DM=．
∵四边形EDGF是正方形，∴DG=DE=．
故选D．
6．A
【详解】平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
【点睛】特殊四边形的性质
7．∠BAD＝90°(答案不唯一)
【详解】试题分析：根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴当∠BAD=90°时，四边形ABCD为正方形．
故答案为∠BAD=90°．
8．①②④
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD．
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF．
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD，AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
∴BE=DF．
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF．
∴CE=CF．
∴①说法正确．
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形．
∴∠CEF=45°．
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°．
∴②说法正确．
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF．
∵∠CAD≠∠DAF，
∴DF≠FG．
∴BE+DF≠EF．
∴③说法错误．
∵EF=2，
∴CE=CF=．
设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，，解得，
∴．
∴．
∴④说法正确．
综上所述，正确的序号是①②④．
9．
【详解】如图，延长CA使AF=AE，连接BF，过B点作BG⊥AC，垂足为G，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=45°．∴∠BAF=135°．
∵AE⊥AC，∴∠BAE=135°．∴∠BAF=∠BAE．
∵在△BAF和△BAE中，，∴△BAF≌△BAE（SAS）．
∴∠E=∠F．
∵四边形ABCD是正方形，BG⊥AC，∴G是AC的中点．∴BG=AG=2．
在Rt△BGF中，，即tanE=．
10．5
【分析】根据正方形的性质，可以得到AB=AD=BC，AB⊥AD，再根据△ABE的面积为8，可以得到AB、AD、BC的长，然后根据CE=3和勾股定理，可以求得BE的长，本题得以解决．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，AB⊥AD，
∵△ABE的面积为8，
∴，
∴AB=AD=4，
∵CE=3，∠C=90°，BC=4，
∴BE=，
故答案为：5．
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11． 菱形 24cm2
【详解】解：在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=BD．
同理FG=BD，HG=AC，EF=AC．
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE．
∴四边形EFGH为菱形．
∴这个花园的面积是×6×8=24m2．
故答案是：菱形，24m2．
12．7
【分析】分别过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，分别利用解直角三角形的知识得出BE、CF的长，继而可得出答案．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB＝4，∠B＝60°，
∴∠BAE＝60°，
∴BE＝2，
同理可得CF＝2，
故BC的长＝BE+EF+FC＝4+AD＝7．
故答案为：7
【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，解答本题的关键是求出BE及CF的长度，要求我们熟练记忆等腰梯形的几个性质．
13．AC=BD（答案不唯一）
【详解】试题分析：根据矩形的判定定理推出即可：
添加，由对角线相等的平行四边形是矩形可判定ABCD是矩形；
添加∠ABC=90°等，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定ABCD是矩形．
14．45
【分析】根据正三角形和正方形的性质可得∠EAB=150°,AE=AB，从而得出∠AEB的大小,进而得出∠BED的大小．
【详解】∵四边形ABCD是正方形,△AED是正三角形
∴∠EAD=60°,∠AED=60°,∠DAB=90°,AE=AD=AB
∴△AEB是等腰三角形,∠EAB=150°
∴∠AEB=∠ABE=15°
∴∠BED=45°
故答案为：45°
【点睛】本题考查正方形和正三角形的性质，解题关键利用正三角形和正方形的性质，得出∠AEB=∠ABE．
15．（）n﹣1
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC=；
同理可求：AE=，HE=，…，
∴第n个正方形的边长an=．
故答案为．
16．
【详解】如图，在Rt△ADF和Rt△AEF中，
AD=AE，AF=AF，
∴≌（），
故，
因为是正方形的对角线，
故，
故∠FAD=22.5°，
故答案为22.5.
17．∠ABC=90°或AC=BD．
【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，
故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为∠ABC=90°或AC=BD．
18． 5 18 26
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AC=10，
∴BD=AC=10，
∴BO=BD=5，
∵DC=，
∴AD==，
∴tan∠DAC==，
∵tan26°34′≈，
∴∠DAC≈26°34′，
∴∠OAB=∠OBA=90°﹣∠DAC=63°26′，
∵E是AD的中点，
∴AE=AB=，
∴∠ABE=∠AE=45°，
∴∠EBD=∠OBA﹣∠ABE=18°26′．
故答案为5，18，26．
19．见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
【详解】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由ASA证全等即可；
（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB＝90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．
【详解】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EDB，
∵E为AB的中点，
∴EA＝EB，
在△AEF和△BED中，
，
∴△AEF≌△BED（ASA）；
（2）∵△AEF≌△BED，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BD，
∴四边形AFBD是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．
21．( 1）证明见解析；（2）30°．
【分析】（1）由正方形和等边三角形的性质得出AB=AE，DC=DE，∠BAE=150°，∠CDE=150°，可证ΔBAE≌ΔCDE，即可证出BE=CE；
（2）由（1）知：∠AEB=∠CED=15°，从而可求∠BEC的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ ADC=90°
∵△ADE为等边三角形
∴ AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
∴ΔBAE≌ΔCDE
∴BE=CE
解：（2）∵AB=AD， AD=AE，
∴AB=AE
∴∠ABE=∠AEB
又 ∵∠BAE=150°
∴∠ABE=∠AEB=15°
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=600－15°×2=30°
【点睛】本题考查等边三角形及全等三角形的判定和性质，也考查了等腰三角形等边对等角的性质，熟记相关性质定理是本题的解题关键．
22．（1）证明见解析．
（2）图形（即反例）见解析．
（3）不唯一，如点F在正方形ABCD内．
【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；
（2）当α=180°时，DF=BF；
（3）利用正方形的性质和△DAF≌△BAF即可证得是真命题．
【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，
∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，
∴DG=BE，
在△DGF和△BEF中，
，
∴△DGF≌△BEF（SAS），
∴DF=BF；
（2）图形（即反例）如图2，
∵AG=AE，AD=AB，
∴DG=BE，
在△DGF和△BEF中，
，
∴△DGF≌△BEF（SAS），
∴DF=BF；
（3）补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；
即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．如图3，连接CF，
在△DAF和△BAF中，
，
∴△DAF≌△BAF（SSS），
∴∠DAF=∠BAF=45°．
∵∠AAF=∠EAF=45°，
∴AG与AD重合，
即旋转角α=0°．
23．见解析
【详解】分析：证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，AE=AD，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴BE=CD．
又∵DE=BC，∴四边形BCDE为平行四边形．
如图，连接BD,CE,
在△ACE和△ABD中，
∵AC=AB，AE=AD，∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE=BD．
∴四边形BCED为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
24．（1）证明见解析；（2）12.
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得．
（2）根据勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，
∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°．
∵四边形ADBE是平行四边形．
∴平行四边形ADBE是矩形．
（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，
∴BD=DC=6×=3．
在Rt△ACD中，，
∴S矩形ADBE=BD•AD=3×4=12．
25．（1）证明见解析；（2）相等，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可．
（2）作AF∥PM，BE∥NQ，则四边形AMPF、BNQE都是平行四边形，所以，MP=AF，NQ=BE，由（1）AF=BE，即得MP=NQ．
【详解】解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°．
∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°．
∴∠ABE=∠DAF．
∵在△ABE和△DAF中，，
∴△ABE≌△DAF（ASA）．
∴AF=BE．
（2）MP与NQ相等，
理由：作AF∥PM，BE∥NQ，
∵正方形ABCD，
∴AM∥FP，BN∥EQ，
∴四边形AMPF和四边形BNQE都是平行四边形，
∴AF=MP，BE=NQ，
又∵MP⊥QN，
∴BE⊥AF，
∵（1）结论知AF=BE，
∴MP=NQ．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
相关资料
更多
