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沪教版八年级数学辅导讲义第14讲四边形的复习(讲义)原卷版+解析
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这是一份沪教版八年级数学辅导讲义第14讲四边形的复习(讲义)原卷版+解析，共46页。
第14讲 四边形的复习 本章节的内容相对综合，主要考察了多边形的概念，平行四边形的判定和性质，特殊的平行四边形的判定和性质以及梯形的相关概念和性质，最后一节讲解到了平面向量的相关基础，灵活性比较强，综合性也较高，是在三角形的基础上对几何图形更高的把控，对学生的逻辑思维能力及空间想象能力的要求都较高，也是初中阶段对于几何证明及计算的重难点，是非常重要的章节．本节课就常出现的题型做一总结，帮助学生能够更好的掌握本章的内容． 一、选择题 1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（2019·上海金山区·八年级期中）如图，一辆汽车由点出发向前行驶100米到处，向左转45度，继续向前行驶同样的路程到处，再向左转45度，按这样的行驶方法，回到点总共行驶了（ ） A．600米 B．700米 C．800米 D．900米 3．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）在平行四边形ABCD中，AC=10，BD=6，则边长AB，AD的可能取值为（ ）． A．AB=4，AD=4 B．AB=4，AD=7 C．AB=9，AD=2 D．AB=6，AD=2 4．（2018·上海市文来中学八年级月考）如图，E 是平行四边形 ABCD 中的边 AB 的中点，AC 和 DE 相交于点 F，则图中面积等于平行四边形ABCD 面积一半的三角形共有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2019·上海市西延安中学八年级期中）一个多边形的内角和是外角和的1.5倍，则这个多边形是（ ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 6．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如果多边形的每一个内角都是150°，那么这个多边形的边数是（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 7．（2019·上海）过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）若多边形的边数由3增加到n（n为整数，且n＞3）则其外角和的度数（ ） A．增加 B．不变 C．减少 D．不能确定 9.若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 10.下列条件中不能判断四边形ABCD不是平行四边形的是（ ） A．∠A=∠C；∠B=∠D B．AB∥CD；AB=CD C．AB=CD；AD∥BC D．AB∥CD；AD∥BC 11.已知菱形ABCD的两条对角线之和为l，面积为S，则它的边长为 （ ） A． B． C． D． 12.下列命题中是假命题的是 （ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 13.下列性质中，正方形具有而菱形不具有的性质（ ） A．对角线互相垂直平分 B．内角之和为360° C．对角线平分内角 D．对角线相等 14.下列条件中能判定一个四边形是矩形的条件是（ ） A．四边形的对角线互相平分 B．四边形的对角线相等且垂直 C．四边形的对角线相等且互相平分 D．四边形的对角线互相垂直且平分 15.下列命题中错误的是 （ ） A．零向量与任何向量都是平行的 B．若∥ C．两个起点相同的向量不相等，其终点也有可能是相同的 D．如果两个向量所在的直线重合，这两个向量一定平行 16.在平行四边形中，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 17.已知平面上不共线的四点A、B、C、D满足，则下列命题正确的是（ ） A．四边形ABCD是平行四边形 B．四边形ABDC是平行四边形 C．四边形ADBC是平行四边形 D．四边形ACDB是平行四边形 18.已知四边形ABCD，过点A、C分别作BD的平行线，过B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是 （ ） A．矩形 B．菱形 C．AC=BD的任意四边形 D．平行四边形 19.用两个全等的直角三角形拼成下列图形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定可以拼成的图形是 （ ） A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤ 20.如果顺次连接四边形四边的中点所得的四边形是菱形，那么这个四边形是 （ ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不一定是以上图形 21.在正三角形、矩形、直角梯形、平行四边形中，不是轴对称图形，但是中心对称图形的有（ ） A．0 B．1 C． 2 D．3 22.等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为4，则该梯形的面积为（ ） A．16 B．32 C．64 D．512 23.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，F、E分别是AC、BD的中点，AD=2，BC=10，则EF的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．12 24.如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是( ) A．15 B．12 C．11 D．10 二、填空题 25．（2021·上海八年级期中）如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有____条对角线． 26．（2020·上海浦东新区·八年级月考）已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm． 27．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，则FC的长为_____． 28．（2021·上海八年级期中）八边形的内角和为________度． 29．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果直角三角形的斜边长为36，那么这条边上的中线长=___________． 30．（2020·上海嘉定区·）已知四边形，点是对角线与的交点，且，请再添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，那么添加的条件可以是_____________．（用数学符号语言表达） 31．（2018·上海金山区·八年级期中）如图，已知的周长是，和相交于点，的周长比的周长小，那么________． 32．（2018·上海金山区·八年级期中）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是_________． 33．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）的对角线，相交于点，，，，则的周长是________． 34．（2019·上海普陀区·八年级期中）已知梯形的中位线长为，上底长，那么下底的长是_________． 35．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）如果一个多边形的边数是12，那么这个多边形的外角和为________ 36．（2019·上海上外附中八年级月考）梯形的上，下底分别为，，一条腰长，则另一条腰的长度的范围是__________ 37．（2019·上海上外附中八年级月考）如图，平行四边形中，对角线，且，，则和之间的距离是________ 38．（2019·上海上外附中八年级月考）平行四边形周长为，对角线的交点为，的周长比的周长大，则_________ 39．（2019·上海上外附中八年级月考）边形的内角和是外角和的三倍，则_________ 40．（2018·上海虹口区·八年级期中）在平行四边形ABCD中，两邻角的度数比是7：2，那么较小角的度数为______度． 41．（2017·上海闵行区·八年级期末）一个多边形的内角和是 1440°，则这个多边形是__________边形． 42．（2019·上海上外附中八年级期中）如果一个多边形的内角和为，那么这个多边形的边数是__________，它的对角线有__________条． 43．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是_________________． 44．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）在四边形中，如果，那么这个四边形__________是平行四边形，(填“一定”或“一定”或“一定不”) 45．（2018·上海市西南模范中学八年级期中）已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的度数是_____． 46．（2019·上海浦东新区·八年级期末）在五边形中，若，则__________. 47．（2021·上海八年级期中）如图，□的周长为，，相交于点，交于，则的周长为__________． 48．（2018·上海静安区·八年级期末）已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是_______. 49．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB＝_____． 50．（2018·上海八年级期中）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 51．（2019·上海市民办新和中学八年级月考）一个n边形的内角和为1080°，则n=________. 52.一个多边形每一个内角等于144°，那么这个多边形是______边形，有_______条对角线，外角和是______，每个外角是________． 53.梯形的上底长为3cm，中位线长为5cm，则它的下底长为_______cm． 54.平行四边形ABCD中，∠A-∠B=40°，则∠C=________度． 55.矩形ABCD中，AC与BD交于点O，AC=10cm，BC=8cm，则△ABO的周长为_________cm． 56.直角梯形的两底分别为3和7，斜腰与底边的夹角为60°，则该梯形的面积是_______． 57.菱形的两个内角的度数之比为1:5，菱形的高为2cm，则这个菱形的周长是________cm． 58.菱形的周长是24cm，一条较短的对角线是6cm，则该菱形的面积是______． 59.等腰梯形两底差为12cm，高为6cm，则该梯形的底角的度数分别是_______． 60.（1） ； （2），方向向西，，方向向东，则= ． 61.如右图，梯形中，，点在上，，则 ． 62.已知平行四边形ABCD的周长是28，自顶点A分别作于点E、F，若AE=3，AF=4，则CD-CB=_______． 63.如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，，OE//AD，判断OE与AB的数量和位置关系分别是__________． 64.如图，矩形ABCD沿AE折叠使点D落在BC边上的F处，如果，那么=______． 65.如图，正方形ABCD的边长为，E是AD的中点，BM⊥EC于点M，则BM的长为__________． 66.如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________． 67.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为______________． 三、解答题 68.在梯形ABCD中，AB∥DC，P是AB上一点，，，． （1）用表示和； （2）在图中作出． 一艘船要过河，它总是走最短的路线，又知道河水由上游往下游流，速度为3km/h． （1）若船头向上游偏45°，则船速要为多少? （2）若船头向上游偏30°，则船速要为多少? （3）若船头正对着岸，问：船也没有可能走最短路线? 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E在AD上，CE=AE，F是AE的中点，AD=8，DC=4． （1）求线段DE的长； （2）求线段OF的长． 71.如图所示，已知菱形中在上，且，交于，试说明． 72.如图，已知长方形，过点引的平分线的垂线，垂足为，交于，连接． （1）求证：；（2）求证：． 73.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O． 求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形； （2）． 74.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=BC=6，∠B=60°，点P、Q分别是射线BC、CD上的一个动点，且∠PAQ =60°，设PB=x，PQ=y． （1）求证：△APQ是等边三角形． （2）求y关于x的函数解析式及定义域； （3）如果PD⊥AQ，求BP的值． 75.如图，点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上，已知的周长等于正方形ABCD周长的一半，求的度数． 76.如图，在平面直角坐标系中，四边形是等腰梯形，∥，，，，动点从点出发，在梯形的边上运动，路径为，到达点时停止，作直线． （1）求梯形的面积； （2）当直线把梯形的面积分成相等的两部分时，求直线的解析式； （3）当△是等腰三角形时，请写出点的坐标． 第14讲 四边形的复习 本章节的内容相对综合，主要考察了多边形的概念，平行四边形的判定和性质，特殊的平行四边形的判定和性质以及梯形的相关概念和性质，最后一节讲解到了平面向量的相关基础，灵活性比较强，综合性也较高，是在三角形的基础上对几何图形更高的把控，对学生的逻辑思维能力及空间想象能力的要求都较高，也是初中阶段对于几何证明及计算的重难点，是非常重要的章节．本节课就常出现的题型做一总结，帮助学生能够更好的掌握本章的内容． 一、选择题 1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n． 根据题意得：（n-2）×180°=360°， 解得：n=4．故选：B． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键． 2．（2019·上海金山区·八年级期中）如图，一辆汽车由点出发向前行驶100米到处，向左转45度，继续向前行驶同样的路程到处，再向左转45度，按这样的行驶方法，回到点总共行驶了（ ） A．600米 B．700米 C．800米 D．900米 【答案】C 【分析】根据题意可知该汽车所走的路程正好是一个外角为45°的多边形的周长，求出多边形的周长即可． 【详解】解：根据题意得：360°÷45°＝8， 则他走回点A时共走的路程是8×100＝800米． 故回到A点共走了800米． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是360°． 3．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）在平行四边形ABCD中，AC=10，BD=6，则边长AB，AD的可能取值为（ ）． A．AB=4，AD=4 B．AB=4，AD=7 C．AB=9，AD=2 D．AB=6，AD=2 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质知，平行四边形的对角线互相平分，再结合三角形三边关系分别进行分析即可． 【详解】解：因为：平行四边形ABCD，AC=10，BD=6，所以：OA=OC=5，OB=OD=3， 所以：，所以：C，D错误， 又因为：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC、∵AD=4， ∴BC=4， ∵AB=4，AC=10， ∴AB+BC＜AC，∴不能组成三角形，故此选此选项错误； 因为：AB=4，AD=7，所以： 三角形存在． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质及三角形的三边关系，掌握平行四边形的性质和三角形三边关系是解题关键． 4．（2018·上海市文来中学八年级月考）如图，E 是平行四边形 ABCD 中的边 AB 的中点，AC 和 DE 相交于点 F，则图中面积等于平行四边形ABCD 面积一半的三角形共有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行四边形及三角形的面积的求法即可解答． 【详解】解：图中面积等于平行四边形ABCD 面积一半的三角形有△ABC，△ADC，△DEC，共3个，故答案为：C． 【点睛】本题考查了平行四边形与三角形的面积的关系，解题的关键是熟知平行四边形的性质． 5．（2019·上海市西延安中学八年级期中）一个多边形的内角和是外角和的1.5倍，则这个多边形是（ ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 【答案】B 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是1.5×360°=540°．设这个多边形是n边形，内角和是（n-2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n-2）×180°=1.5×360°， 解得：n=5．即这个多边形为五边形．故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n-2）•180°． 6．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如果多边形的每一个内角都是150°，那么这个多边形的边数是（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是360度求出n的值即可． 【详解】解：∵多边形的各个内角都等于150°，∴每个外角为30°， 设这个多边形的边数为n，则30°×n＝360°，解得n＝12．故选：C． 【点睛】本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角和是360°这一关键． 7．（2019·上海）过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 试题分析：根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成（n-2）个三角形，依此可得n的值． 解：从n边形的一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成（n-2）个三角形， 即可得n-2=6，解得：n=8．故选D． 考点：多边形的对角线． 8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）若多边形的边数由3增加到n（n为整数，且n＞3）则其外角和的度数（ ） A．增加 B．不变 C．减少 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，利用多边形的外角和特征即可得到结果． 【详解】因为任意多边形的外角和均为． 故选B. 【点睛】本题考查多边形外角和，熟记任意多边形外角和为360度是关键. 9.若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【难度】★ 【答案】D 【解析】设n边形，由题意可得，解得：n=12． 【总结】本题考查n边形内角和与外角和公式的运用． 10.下列条件中不能判断四边形ABCD不是平行四边形的是（ ） A．∠A=∠C；∠B=∠D B．AB∥CD；AB=CD C．AB=CD；AD∥BC D．AB∥CD；AD∥BC 【难度】★ 【答案】C 【解析】A：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C：平行四边形或梯形 D：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【总结】本题考查平行四边形的判定定理的运用． 11.已知菱形ABCD的两条对角线之和为l，面积为S，则它的边长为 （ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】D 【解析】设两条对角线的一半分别是x和y，则可得， 则，故选D． 【总结】本题考查菱形对角线性质与完全平方公式的应用． 12.下列命题中是假命题的是 （ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【难度】★ 【答案】B 【解析】对角线相等的平行四边形是矩形． 【总结】本题主要考查平行四边形与特殊平行四边形的判定方法． 13.下列性质中，正方形具有而菱形不具有的性质（ ） A．对角线互相垂直平分 B．内角之和为360° C．对角线平分内角 D．对角线相等 【难度】★ 【答案】D 【解析】正方形对角线互相平分且相等，菱形对角线垂直互相平分． 【总结】本题考查正方形和菱形对角线的性质． 14.下列条件中能判定一个四边形是矩形的条件是（ ） A．四边形的对角线互相平分 B．四边形的对角线相等且垂直 C．四边形的对角线相等且互相平分 D．四边形的对角线互相垂直且平分 【难度】★ 【答案】C 【解析】对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 【总结】本题考查矩形的判定方法． 15.下列命题中错误的是 （ ） A．零向量与任何向量都是平行的 B．若∥ C．两个起点相同的向量不相等，其终点也有可能是相同的 D．如果两个向量所在的直线重合，这两个向量一定平行 【难度】★ 【答案】C 【解析】两个向量不相等，起点相同，终点不同． 【总结】本题考查向量的基本性质． 16.在平行四边形中，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】D 【解析】方向相反，大小相等的向量和为零向量． 【总结】本题考查向量的基本运算． 17.已知平面上不共线的四点A、B、C、D满足，则下列命题正确的是（ ） A．四边形ABCD是平行四边形 B．四边形ABDC是平行四边形 C．四边形ADBC是平行四边形 D．四边形ACDB是平行四边形 【难度】★★ 【答案】C 【解析】由题意知，线段AD=BC，AD//BC，故四边形ADBC是平行四边形，选C． 【总结】本题考查相等向量与平行四边形判定方法的综合运用． 18.已知四边形ABCD，过点A、C分别作BD的平行线，过B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是 （ ） A．矩形 B．菱形 C．AC=BD的任意四边形 D．平行四边形 【难度】★★ 【答案】C 【解析】由平行四边形性质可得AC、BD分别与菱形边长相等，∴AC=BD 【总结】本题考查菱形性质，解得本题的关键是注意邻边相等． 19.用两个全等的直角三角形拼成下列图形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定可以拼成的图形是 （ ） A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤ 【难度】★★ 【答案】D 【解析】画图即可 【总结】本题考查了全等三角形的拼接问题，理解全等三角形的性质和特殊三角形，特殊四 边形的判定，会解决一些简单的拼接计算问题，可用三角板动手操作． 20.如果顺次连接四边形四边的中点所得的四边形是菱形，那么这个四边形是 （ ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不一定是以上图形 【难度】★★ 【答案】D 【解析】利用中位线知识可得这个四边形对角线相等即可． 【总结】本题考查特殊四边形判定方法，中位线定理的运用． 21.在正三角形、矩形、直角梯形、平行四边形中，不是轴对称图形，但是中心对称图形的有（ ） A．0 B．1 C． 2 D．3 【难度】★★ 【答案】B 【解析】平行四边形是中心对称，不是轴对称；正三角形是轴对称，不是中心对称； 矩形既是轴对称又是中心对称． 【总结】本题考查特殊四边形的对称性． 22.等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为4，则该梯形的面积为（ ） A．16 B．32 C．64 D．512 【难度】★★ 【答案】A 【解析】平移一条对角线，形成等腰直角三角形，从而将等腰梯形的面积转化为等腰直角三 角形的面积，即可求出面积为16． 【总结】本题考查梯形辅助线—平移对角线的添加及运用． 23.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，F、E分别是AC、BD的中点，AD=2，BC=10，则EF的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．12 【难度】★★ 【答案】B 【解析】取CD中点G，连接EG、FG ∵F、E分别是AC、BD的中点， ∴，，，． ∴EF=EGGF=4． 【总结】本题考查梯形性质与中位线定理的综合运用． 24.如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是( ) A．15 B．12 C．11 D．10 【难度】★★ 【答案】B 【解析】∵FCE=90°，∴DCF=ECB， ∵正方形ABCD， ∴BC=DC，． ∴△CFD≌△CBE，∴CF=20，CD=16，∴DF=BE=12，故选B． 【总结】本题考查正方形性质与全等三角形的综合运用． 二、填空题 25．（2021·上海八年级期中）如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有____条对角线． 【答案】6 【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数． 【详解】解：设此多边形的边数为x，由题意得：（x-2）×180=1260， 解得；x=9， 从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9-3=6，故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n-2）． 26．（2020·上海浦东新区·八年级月考）已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm． 【答案】20 【分析】由▱ABCD的周长为56cm，根据平行四边形的性质，即可求得AB+BC＝28cm，又由AB：BC＝2：5，即可求得答案． 【详解】解：∵▱ABCD的周长为56cm，∴AB+BC＝28cm， ∵AB：BC＝2：5，∴AD＝BC＝×28＝20（cm）；故答案为：20． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对边相等的性质的应用是解此题的关键． 27．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，则FC的长为_____． 【答案】5 【分析】分析题意，△FBE为△ABE的翻折后的三角形，则△FBE≌△ABE，利用全等三角形各对应边相等、平行四边形的性质及线段间的等量关系可求解FC的长． 【详解】解：根据题意得△FBE≌△ABE，∴EF＝AE，BF＝AB． ∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝DC． ∵△FDE的周长为8，即DF+DE+EF＝8，∴DF+DE+AE＝8，即DF+AD＝8． ∵△FCB的周长为18，即FC+BC+BF＝18，∴FC+AD+DC＝18，即2FC+AD+DF＝18． ∴2FC+8＝18，∴FC＝5．故答案为5． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，已知折叠问题就是已知图形的全等，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化． 28．（2021·上海八年级期中）八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【详解】解：八边形的内角和= 29．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果直角三角形的斜边长为36，那么这条边上的中线长=___________． 【答案】18 【分析】直接根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得答案． 【详解】因为“直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半”， 所以这条边上的中线长为18．故答案为18． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，熟记知识点是解题的关键． 30．（2020·上海嘉定区·）已知四边形，点是对角线与的交点，且，请再添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，那么添加的条件可以是_____________．（用数学符号语言表达） 【答案】 【分析】由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵OA=OC， 由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴可以是OB=OD（答案不唯一）． 故答案为：OB=OD（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，一般有几种方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 31．（2018·上海金山区·八年级期中）如图，已知的周长是，和相交于点，的周长比的周长小，那么________． 【答案】 【分析】根据平行四边形性质得出OA=OC，AB=CD，AD=BC，求出AB+BC=13，AB-BC=2，两式相减即可求出BC，从而求得AD． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC， ∵的周长是26cm，∴2AB+2BC=26，∴AB+BC=13①， ∵△OBC的周长比△OAB的周长小2cm，∴（AB+OA+OB）-（BC+OC+OB）=2，∴AB-BC=2②， ∵①-②得：2BC=11，∴AD=BC=cm．故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，关键是能根据题意得出AB+BC=13，AB-BC=2． 32．（2018·上海金山区·八年级期中）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是_________． 【答案】14 【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n-2）•180°=2160°， 解得：n=14．则这个多边形的边数是14．故答案为：14． 【点睛】本题考查多边行的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n-2）×180°解答． 33．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）的对角线，相交于点，，，，则的周长是________． 【答案】19 【分析】根据题意作图，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=5,CO=AC=6,OD=BD=8 ∴的周长为5+6+8=19 故答案为：19． 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的对角线互相平分． 34．（2019·上海普陀区·八年级期中）已知梯形的中位线长为，上底长，那么下底的长是_________． 【答案】12 【分析】根据梯形的中位线定理“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”，即可求解． 【详解】根据梯形的中位线定理，得：梯形的下底=中位线的2倍-上底． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了梯形的中位线定理，解题的关键是熟悉梯形的中位线的数量关系． 35．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）如果一个多边形的边数是12，那么这个多边形的外角和为________ 【答案】360° 【分析】根据任何多边形的外角和都是360°可得答案． 【详解】解：任何多边形的外角和都是360°，故答案为：360°． 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，熟知任何多边形的外角和都是360°是解题的关键． 36．（2019·上海上外附中八年级月考）梯形的上，下底分别为，，一条腰长，则另一条腰的长度的范围是__________ 【答案】 【分析】作交于点,则四边形是平行四边形，依据平行四边形的性质求出三角形DEC的两条边，依据三角形三角边关系，求出的取值范围. 【详解】解：如图梯形,,,,,, 作交于点, 则四边形是平行四边形， ∴,, ∴, ∵, ∵, 故答案为：. 【点睛】本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形三边的大小关系，解题的关键是运用三角形三边大小关系解决求线段范围的问题. 37．（2019·上海上外附中八年级月考）如图，平行四边形中，对角线，且，，则和之间的距离是________ 【答案】 【分析】设和之间的距离为x，由条件可知▱ABCD的面积是的面积的2倍，建立关于x的等式并求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设和之间的距离为x， 则平行四边形ABCD的面积等于， 又∵， ∴， ， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理，由条件得到四边形ABCD的面积是的面积的2倍是解题的关键． 38．（2019·上海上外附中八年级月考）平行四边形周长为，对角线的交点为，的周长比的周长大，则_________ 【答案】2 【分析】根据平行四边形对边相等可得，根据的周长比的周长大6可得，组成方程组，求解即可． 【详解】解：平行四边形的周长为20， ∴, ∴， ∵的周长比的周长大6， ∴， 解得：． ∴, 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是平行四边行的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．列方程组是解题的关键. 39．（2019·上海上外附中八年级月考）边形的内角和是外角和的三倍，则_________ 【答案】8 【分析】根据“多边形的内角和是外角和的三倍”，结合边形的内角和公式和多边形的外角和为360°，列出关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：边形的内角和为：(−2)×180°，边形的外角和为：360°， 根据题意得：(−2)×180°=3×360°，解得：=8，故答案为：8． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，正确掌握多边形的内角和公式和多边形的外角和为360°是解题的关键． 40．（2018·上海虹口区·八年级期中）在平行四边形ABCD中，两邻角的度数比是7：2，那么较小角的度数为______度． 【答案】40 【分析】本题主要依据平行四边形的性质，得出两邻角之和180°，再有两邻角的度数比是7：2，得出较小角的度数． 【详解】解：设两邻角分别为， 则， 解得：， ∴较小的角为40°． 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的两邻角之和为180°． 41．（2017·上海闵行区·八年级期末）一个多边形的内角和是 1440°，则这个多边形是__________边形． 【答案】十 【分析】利用多边形的内角和定理：n边形的内角和为 便可得. 【详解】∵n边形的内角和为 ∴，. 故答案为：十边形. 【点睛】本题考查多边形的内角和公式，掌握n边形内角和定理为本题的关键. 42．（2019·上海上外附中八年级期中）如果一个多边形的内角和为，那么这个多边形的边数是__________，它的对角线有__________条． 【答案】10； 35 【分析】根据多边形内角和公式、对角线相关公式进行计算即可得解． 【详解】解：∵边形的内角和为， 边形的对角线条数为 ∴一个多边形的内角和为，则多边形的边数为10条，对角线有35条． 故答案是：（1）；（2） 【点睛】本题考查多边形内角和定理和多边形对角线条数，难度不大，熟记公式是解题的关键． 43．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是_________________． 【答案】360 【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：多边形的边数是：， 故答案为：360． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是360°是解题关键． 44．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）在四边形中，如果，那么这个四边形__________是平行四边形，(填“一定”或“一定”或“一定不”) 【答案】不一定 【分析】由题意得出，对角互补的四边形不一定是平行四边形． 【详解】解：如果，则， 那么这个四边形不一定是平行四边形； 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 45．（2018·上海市西南模范中学八年级期中）已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的度数是_____． 【答案】70° 【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠C=180°，由已知条件得出∠C-∠B=40°，解答即可． 【详解】如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°， ∵∠C-∠B=40°，解得：∠B=70°，故答案是：70°． 【点睛】考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 46．（2019·上海浦东新区·八年级期末）在五边形中，若，则__________. 【答案】130° 【分析】首先利用多边形的外角和定理求得正五边形的内角和，然后减去已知四个角的和即可． 【详解】解：正五边形的内角和为（5-2）×180°=540°， ∵∠A+∠B+∠C+∠D=410°， ∴∠E=540°-410°=130°， 故答案为：130°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 47．（2021·上海八年级期中）如图，□的周长为，，相交于点，交于，则的周长为__________． 【答案】15 【分析】根据平行四边形的性质，两组对边分别平行且相等，对角线相互平分，OE⊥AC可说明EO是线段AC的中垂线，中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等，则AE=CE，再利用平行四边形ABCD的周长为30可得AD+CD=15，进而可得△DCE的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，点O平分BD、AC，即OA=OC， 又∵OE⊥AC， ∴OE是线段AC的中垂线， ∴AE=CE， ∴AD=AE+ED=CE+ED， ∵▱ABCD的周长为， ∴CD+AD=15cm， ∴的周长= CE+ED +CD=AD+CD=15cm， 故答案为15． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，关键是掌握平行四边形平行四边形的对边相等．平行四边形的对角线互相平分． 48．（2018·上海静安区·八年级期末）已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是_______. 【答案】18 【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数＝边数可得答案． 【详解】解：多边形每一个内角都等于 多边形每一个外角都等于 边数 故答案为 【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补，外角和为360°． 49．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB＝_____． 【答案】9． 【分析】如图：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由△OAB的周长比△OBC的周长大3，可得AB﹣BC=3，又因为▱ABCD的周长是30，所以AB+BC=10；解方程组即可求得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD； 又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3， ∴AB+OA+OB﹣（BC+OB+OC）=3 ∴AB﹣BC=3， 又∵▱ABCD的周长是30， ∴AB+BC=15， ∴AB=9． 故答案为9． 50．（2018·上海八年级期中）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n-2）=3603 解得n=8. 所以这个多边形的边数是8. 51．（2019·上海市民办新和中学八年级月考）一个n边形的内角和为1080°，则n=________. 【答案】8 【分析】直接根据内角和公式计算即可求解. 【详解】（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8． 故答案为8． 【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：. 52.一个多边形每一个内角等于144°，那么这个多边形是______边形，有_______条对角线，外角和是______，每个外角是________． 【难度】★ 【答案】十边形，35，360°，36°． 【解析】每个内角144°，则每个外角36°，所以这个多边形是十边形． 【总结】本题考查多边形内角和与外角和公式及对角线公式的综合运用． 53.梯形的上底长为3cm，中位线长为5cm，则它的下底长为_______cm． 【难度】★ 【答案】7． 【解析】梯形中位线=（上底+下底）÷2． 【总结】本题考查梯形中位线定理的运用． 54.平行四边形ABCD中，∠A-∠B=40°，则∠C=________度． 【难度】★ 【答案】110． 【解析】∵平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，∠A-∠B=40°， ∴∠B=70°，∠A=110°，∴∠C=∠A=110°． 【总结】本题考查平行四边形性质的运用． 55.矩形ABCD中，AC与BD交于点O，AC=10cm，BC=8cm，则△ABO的周长为_________cm． 【难度】★ 【答案】16 【解析】矩形ABCD中，AC=BD=10，∴OA=OC=5． 直角△ABC中，AB=6，∴△ABO的周长=OA+OB+AB=16cm． 【总结】本题主要考查矩形的性质的运用． 56.直角梯形的两底分别为3和7，斜腰与底边的夹角为60°，则该梯形的面积是_______． 【难度】★ 【答案】． 【解析】设直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A=∠D=90°，∠C=60°，AB=3，CD=7 过点B作BE⊥CD，则矩形ABED中，AB=ED=3，CE=4 ∴BC=8，BE==AD， ∴． 【总结】本题考查直角梯形性质的运用． 57.菱形的两个内角的度数之比为1:5，菱形的高为2cm，则这个菱形的周长是________cm． 【难度】★ 【答案】16． 【解析】设菱形ABCD中，AE⊥BC，且AE=2 ∵B：A=1:5，A+B=180°，∴B=30°， ∴AB=2AE=4．∴菱形周长=16． 【总结】本题考查菱形性质与直角三角形性质的综合运用． 58.菱形的周长是24cm，一条较短的对角线是6cm，则该菱形的面积是______． 【难度】★ 【答案】． 【解析】∵菱形周长是24，∴菱形边长是6，∴另一条对角线长． ∴菱形面积=对角线乘积的一半=． 【总结】本题考查菱形面积公式的运用． 59.等腰梯形两底差为12cm，高为6cm，则该梯形的底角的度数分别是_______． 【难度】★ 【答案】45°，135°，45°，135°． 【解析】设等腰梯形ABCD，AD=BC，AB//CD，AB＜CD 作AE⊥CD，BF⊥CD，在矩形ABFE中，AB=EF ∵CD-AB=12，∴CD-EF=DE+CF=12，∵等腰梯形ABCD，∴DE=CF=6． 又∵AE=BF=6，∴等腰直角△ADE中，∠D=45° ∴等腰梯形四个底角分别是45°，135°，45°，135°． 【总结】本题考查等腰梯形性质的运用． 60.（1） ； （2），方向向西，，方向向东，则= ． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）3． 【解析】（1）． 【总结】本题考查向量方向和模长的相关概念． 61.如右图，梯形中，，点在上，，则 ． 【难度】★ 【答案】． 【解析】． 62.已知平行四边形ABCD的周长是28，自顶点A分别作于点E、F，若AE=3，AF=4，则CD-CB=_______． 【难度】★★ 【答案】2． 【解析】设CD=x，BC=y， ∵，AE=3，AF=4， ∴平行四边形面积3x4y． 由题意得，解得：，∴CDCBxy2． 【总结】本题考查平行四边形面积公式的运用． 63.如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，，OE//AD，判断OE与AB的数量和位置关系分别是__________． 【难度】★★ 【答案】垂直且相等． 【解析】∵AC⊥CE，∴ACD=DCE=45° ∵OE//AD//BC，∴COE=OCB=45° ∴OE⊥CD，OE⊥AB 等腰直角△OCE中， ∴OE=AB，∴OE与AB垂直且相等 【总结】本题考查正方形性质的综合运用． 64.如图，矩形ABCD沿AE折叠使点D落在BC边上的F处，如果，那么=______． 【难度】★★ 【答案】15°． 【解析】∵BAF=60° ∴FAD=30° ∵△AFE≌△ADE ∴FAE=EAD=15° 【总结】本题考查翻折性质与矩形性质的综合运用． 65.如图，正方形ABCD的边长为，E是AD的中点，BM⊥EC于点M，则BM的长为__________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】联结BE 由△BEC面积可得 ∵E是AD中点，∴，∴． 【总结】本题考查正方形性质与等积法的综合运用． 66.如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P， 则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线， ∴E′在AB上，由图形对称的性质可知，BE=BE′= ∵BE=BE′=，∴△BCE′是直角三角形，∴CE′=．∴PE+PC的最小值是． 【总结】本题考查轴对称—最短路线问题及菱形性质，直角三角形的判定定理，根据轴对称的性质做出图形是解答此题的关键． 67.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为______________． 【难度】★★ 【答案】6cm． 【解析】等腰梯形ABCD中，∠A=∠CBA=60°． ∵∠1=∠2，∴∠CDB=∠DBA=∠CBD=30°，∴CD=CB． 设AD=CD=BC=x 在直角△ABD中，AB=2x，∴x+x+x+2x=30，解得：x=6． ∴等腰梯形腰长6cm 【总结】本题考查等腰梯形性质与直角三角形性质的综合运用． 三、解答题 68.在梯形ABCD中，AB∥DC，P是AB上一点，，，． （1）用表示和； （2）在图中作出． 【难度】★★ 【答案】（1），；（2）见图． 【解析】（1）∵，， ∴； （2）∵，∴为所求作的向量． 【总结】本题考查向量的加法，注意法则的运用． 一艘船要过河，它总是走最短的路线，又知道河水由上游往下游流，速度为3km/h． （1）若船头向上游偏45°，则船速要为多少? （2）若船头向上游偏30°，则船速要为多少? （3）若船头正对着岸，问：船也没有可能走最短路线? 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）6；（3）没有可能． 【解析】（1）若船头向上游偏45°，则船速为km/h； （2）若船头向上游偏30°，则船速为6km/h； （3）若船头正对着对岸，则船没有可能走最短路线． 【总结】本题考查向量的应用，结合图形与向量可求解． 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E在AD上，CE=AE，F是AE的中点，AD=8，DC=4． （1）求线段DE的长； （2）求线段OF的长． 【难度】★★ 【答案】（1）DE=3；（2）OF=2.5． 【解析】（1）设DE=x，则AE=8-x ∵EC=EA=8-x，∴在Rt△CED中， 即，解得：x=3 ∴DE=3； （2）∵F是AE中点，O是AC中点， ∴OF是△AEC中位线 在△CDE中，DE=3，CD=4 ∴CE=5，∴OF=2.5 【总结】本题考查矩形性质与勾股定理的综合应用． 71.如图所示，已知菱形中在上，且，交于，试说明． 【难度】★★ 【解析】∵AB=AE，AD//BC， ∴∠ABE=∠AEB=∠EAD ∵∠BAE=∠EAD， ∴∠EAD=2∠BAE ∴5∠BAE=180°， ∴∠BAE=36°，∠ABE=∠AEB=∠EAD=72° ∵菱形ABCD，∴∠ABD=∠DBC=36°=∠BAE 即∠ABD=∠BAE ， ∴AM =BM △BME中，∠BME=∠BEM=72° ∴BM=BE， ∴AM=BE 【总结】本题考查菱形性质与三角形内角和的应用． 72.如图，已知长方形，过点引的平分线的垂线，垂足为，交于，连接． （1）求证：；（2）求证：． 【难度】★★ 【解析】（1）∵AM平分∠BAD，∠BAD=90° ∴∠BAE=45°，∴△BAE为等腰直角三角形， ∴AB = BE 又∵AB=DC，∴BE=DC； （2）由CM⊥AM易得∠EMC=90° 又∵∠BAE=45°，∠BEA=45°，∴∠MEC=45° ∴△MEC为等腰直角三角形 ∴ME=CM且∠MEC=∠MCE=45°，∴∠BEM=∠DCM=135° 又BE=DC，∴△BEM≌△DCM， ∴∠MBE=∠MDC 【总结】本题考查矩形性质，等腰直角三角形性质的综合运用，注意认真分析． 73.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O． 求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形； （2）． 【难度】★★ 【解析】（1）∵E、F分别是AB、AC中点 ∴EF//BC，， 又∵BE与CF相交于点A， ∴四边形BEFC是等腰梯形； （2）∵EC⊥BF， ∴， ∴ ∴． 【总结】本题考查等腰梯形判定方法，勾股定理及中位线性质的综合运用，第（2）小问注 意利用观察线段间的关系． 74.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=BC=6，∠B=60°，点P、Q分别是射线BC、CD上的一个动点，且∠PAQ =60°，设PB=x，PQ=y． （1）求证：△APQ是等边三角形． （2）求y关于x的函数解析式及定义域； （3）如果PD⊥AQ，求BP的值． 【难度】★★ 【答案】（1）见解析；（2）； （3）BP的值为0或12． 【解析】（1）在平行四边形ABCD中 ∵AB=BC，∴四边形ABCD为菱形 ∵在菱形ABCD中，B=60°， ∴△ABC是等边三角形 ∴AB=AC=BC， ∴AC=CD ∵PAQ=60°，∴CAP=DAQ ∴△ACP≌△ADQ， ∴AP=AQ ∴△PAQ是等边三角形； （2）作AH⊥BC于H ∵ABH=60°，AB=6， ∴BH=3，HA= ∵PB=x，∴ HP=|x-3|， ∵PQ=y，∴AP=y 故在Rt△AHP中，由勾股定理可得：， ∴函数解析式； （3）当P在BC延长线时 ∵△APQ是等边三角形，∴当PD⊥AQ时，PD平分ADQ ∵AD//BC，∴ADQ=BCQ=120° ∴DPC=60°，∵DPA=30° ∴APC=30°，∴BP=2BA=12； 当P在线段BC上时 易得PQ为菱形ABCD一条对角线，所以B，P重合， 此时BP=0， 综上如果PD⊥AQ，BP的值为0或12． 【总结】本题考查平行四边形性质及菱形性质和判定方法，注意数形结合思想与分类讨论思 想的综合运用． 75.如图，点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上，已知的周长等于正方形ABCD周长的一半，求的度数． 【难度】★★ 【答案】45°． 【解析】把△ADM绕着点A按顺时针方向旋转90°后，得到△ABE， ∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠D=90°，∠MAE=90° ∵∠ABC=90°， ∴点N、B、E共线 ∴NE=BE+BN=DM+BN ∵△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半 ∴MN+NC+MC=DC+BC=DM+MC+NC+BN ∴MN=DM+BN， ∴MN=NE ∵在△MAN和△MAE中，△EAN≌△MAN（SSS）， ∴∠NAM=∠EAN=45°． 【总结】本题考查旋转的性质，也考查了三角形全等的判定性质以及正方形的性质，注意正 方形背景下的辅助线的添加方法． 76.如图，在平面直角坐标系中，四边形是等腰梯形，∥，，，，动点从点出发，在梯形的边上运动，路径为，到达点时停止，作直线． （1）求梯形的面积； （2）当直线把梯形的面积分成相等的两部分时，求直线的解析式； （3）当△是等腰三角形时，请写出点的坐标． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【解析】过点C作CE⊥OA于E，过点B作BF⊥OA于F， ∵CB∥OA，∴∠CEF=∠BFE=∠ECB=90°，∴四边形CEFB是矩形，∴EF=BC=6，BF=CE， ∵∠COA=45°，，∴CE=OE= ∵四边形OABC是等腰梯形，∴∠BAO=∠COA=45°， 同理可得：BF=AF=， ∴OA=OE+EF+AF=． ∴； （2）∵直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分，∴， ∵， ∴OP=．∴P（，0），C（，） 利用待定系数法可得直线CP解析式是：； （3）①当P在OA上时， 若OP=OC时，OP=4，即点P的坐标为（4，0）； 若OC=CP时，则OE=PE=，即OP=，∴点P的坐标为（，0）； 若CP=OP时，∵∠COA=45°，∴∠PCO=∠COA=45°，∴∠OPC=90°，∴OP=， ∴点P的坐标为（，0） ②当P在AB上时，OP＞OB，PC＜AC， ∵OB=AC，∴OP＞PC， ∵PC＞BC＞OC，∴OP＞PC＞OC， ∴此时不存在点P使得△OCP是等腰三角形； ③当点P在CB上时， 若CP=OC，则点P的坐标为（+4，）． 综上点P的坐标为：（4，0）或（，0）或（，0）或（+4，）． 【总结】本题考查等腰梯形的性质，等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的性质的综合运 用，注意掌握数形结合，分类讨论与方程思想的应用，综合性较强．
第14讲 四边形的复习 本章节的内容相对综合，主要考察了多边形的概念，平行四边形的判定和性质，特殊的平行四边形的判定和性质以及梯形的相关概念和性质，最后一节讲解到了平面向量的相关基础，灵活性比较强，综合性也较高，是在三角形的基础上对几何图形更高的把控，对学生的逻辑思维能力及空间想象能力的要求都较高，也是初中阶段对于几何证明及计算的重难点，是非常重要的章节．本节课就常出现的题型做一总结，帮助学生能够更好的掌握本章的内容． 一、选择题 1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．（2019·上海金山区·八年级期中）如图，一辆汽车由点出发向前行驶100米到处，向左转45度，继续向前行驶同样的路程到处，再向左转45度，按这样的行驶方法，回到点总共行驶了（ ） A．600米 B．700米 C．800米 D．900米 3．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）在平行四边形ABCD中，AC=10，BD=6，则边长AB，AD的可能取值为（ ）． A．AB=4，AD=4 B．AB=4，AD=7 C．AB=9，AD=2 D．AB=6，AD=2 4．（2018·上海市文来中学八年级月考）如图，E 是平行四边形 ABCD 中的边 AB 的中点，AC 和 DE 相交于点 F，则图中面积等于平行四边形ABCD 面积一半的三角形共有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2019·上海市西延安中学八年级期中）一个多边形的内角和是外角和的1.5倍，则这个多边形是（ ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 6．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如果多边形的每一个内角都是150°，那么这个多边形的边数是（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 7．（2019·上海）过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）若多边形的边数由3增加到n（n为整数，且n＞3）则其外角和的度数（ ） A．增加 B．不变 C．减少 D．不能确定 9.若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 10.下列条件中不能判断四边形ABCD不是平行四边形的是（ ） A．∠A=∠C；∠B=∠D B．AB∥CD；AB=CD C．AB=CD；AD∥BC D．AB∥CD；AD∥BC 11.已知菱形ABCD的两条对角线之和为l，面积为S，则它的边长为 （ ） A． B． C． D． 12.下列命题中是假命题的是 （ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 13.下列性质中，正方形具有而菱形不具有的性质（ ） A．对角线互相垂直平分 B．内角之和为360° C．对角线平分内角 D．对角线相等 14.下列条件中能判定一个四边形是矩形的条件是（ ） A．四边形的对角线互相平分 B．四边形的对角线相等且垂直 C．四边形的对角线相等且互相平分 D．四边形的对角线互相垂直且平分 15.下列命题中错误的是 （ ） A．零向量与任何向量都是平行的 B．若∥ C．两个起点相同的向量不相等，其终点也有可能是相同的 D．如果两个向量所在的直线重合，这两个向量一定平行 16.在平行四边形中，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 17.已知平面上不共线的四点A、B、C、D满足，则下列命题正确的是（ ） A．四边形ABCD是平行四边形 B．四边形ABDC是平行四边形 C．四边形ADBC是平行四边形 D．四边形ACDB是平行四边形 18.已知四边形ABCD，过点A、C分别作BD的平行线，过B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是 （ ） A．矩形 B．菱形 C．AC=BD的任意四边形 D．平行四边形 19.用两个全等的直角三角形拼成下列图形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定可以拼成的图形是 （ ） A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤ 20.如果顺次连接四边形四边的中点所得的四边形是菱形，那么这个四边形是 （ ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不一定是以上图形 21.在正三角形、矩形、直角梯形、平行四边形中，不是轴对称图形，但是中心对称图形的有（ ） A．0 B．1 C． 2 D．3 22.等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为4，则该梯形的面积为（ ） A．16 B．32 C．64 D．512 23.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，F、E分别是AC、BD的中点，AD=2，BC=10，则EF的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．12 24.如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是( ) A．15 B．12 C．11 D．10 二、填空题 25．（2021·上海八年级期中）如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有____条对角线． 26．（2020·上海浦东新区·八年级月考）已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm． 27．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，则FC的长为_____． 28．（2021·上海八年级期中）八边形的内角和为________度． 29．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果直角三角形的斜边长为36，那么这条边上的中线长=___________． 30．（2020·上海嘉定区·）已知四边形，点是对角线与的交点，且，请再添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，那么添加的条件可以是_____________．（用数学符号语言表达） 31．（2018·上海金山区·八年级期中）如图，已知的周长是，和相交于点，的周长比的周长小，那么________． 32．（2018·上海金山区·八年级期中）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是_________． 33．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）的对角线，相交于点，，，，则的周长是________． 34．（2019·上海普陀区·八年级期中）已知梯形的中位线长为，上底长，那么下底的长是_________． 35．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）如果一个多边形的边数是12，那么这个多边形的外角和为________ 36．（2019·上海上外附中八年级月考）梯形的上，下底分别为，，一条腰长，则另一条腰的长度的范围是__________ 37．（2019·上海上外附中八年级月考）如图，平行四边形中，对角线，且，，则和之间的距离是________ 38．（2019·上海上外附中八年级月考）平行四边形周长为，对角线的交点为，的周长比的周长大，则_________ 39．（2019·上海上外附中八年级月考）边形的内角和是外角和的三倍，则_________ 40．（2018·上海虹口区·八年级期中）在平行四边形ABCD中，两邻角的度数比是7：2，那么较小角的度数为______度． 41．（2017·上海闵行区·八年级期末）一个多边形的内角和是 1440°，则这个多边形是__________边形． 42．（2019·上海上外附中八年级期中）如果一个多边形的内角和为，那么这个多边形的边数是__________，它的对角线有__________条． 43．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是_________________． 44．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）在四边形中，如果，那么这个四边形__________是平行四边形，(填“一定”或“一定”或“一定不”) 45．（2018·上海市西南模范中学八年级期中）已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的度数是_____． 46．（2019·上海浦东新区·八年级期末）在五边形中，若，则__________. 47．（2021·上海八年级期中）如图，□的周长为，，相交于点，交于，则的周长为__________． 48．（2018·上海静安区·八年级期末）已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是_______. 49．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB＝_____． 50．（2018·上海八年级期中）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 51．（2019·上海市民办新和中学八年级月考）一个n边形的内角和为1080°，则n=________. 52.一个多边形每一个内角等于144°，那么这个多边形是______边形，有_______条对角线，外角和是______，每个外角是________． 53.梯形的上底长为3cm，中位线长为5cm，则它的下底长为_______cm． 54.平行四边形ABCD中，∠A-∠B=40°，则∠C=________度． 55.矩形ABCD中，AC与BD交于点O，AC=10cm，BC=8cm，则△ABO的周长为_________cm． 56.直角梯形的两底分别为3和7，斜腰与底边的夹角为60°，则该梯形的面积是_______． 57.菱形的两个内角的度数之比为1:5，菱形的高为2cm，则这个菱形的周长是________cm． 58.菱形的周长是24cm，一条较短的对角线是6cm，则该菱形的面积是______． 59.等腰梯形两底差为12cm，高为6cm，则该梯形的底角的度数分别是_______． 60.（1） ； （2），方向向西，，方向向东，则= ． 61.如右图，梯形中，，点在上，，则 ． 62.已知平行四边形ABCD的周长是28，自顶点A分别作于点E、F，若AE=3，AF=4，则CD-CB=_______． 63.如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，，OE//AD，判断OE与AB的数量和位置关系分别是__________． 64.如图，矩形ABCD沿AE折叠使点D落在BC边上的F处，如果，那么=______． 65.如图，正方形ABCD的边长为，E是AD的中点，BM⊥EC于点M，则BM的长为__________． 66.如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________． 67.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为______________． 三、解答题 68.在梯形ABCD中，AB∥DC，P是AB上一点，，，． （1）用表示和； （2）在图中作出． 一艘船要过河，它总是走最短的路线，又知道河水由上游往下游流，速度为3km/h． （1）若船头向上游偏45°，则船速要为多少? （2）若船头向上游偏30°，则船速要为多少? （3）若船头正对着岸，问：船也没有可能走最短路线? 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E在AD上，CE=AE，F是AE的中点，AD=8，DC=4． （1）求线段DE的长； （2）求线段OF的长． 71.如图所示，已知菱形中在上，且，交于，试说明． 72.如图，已知长方形，过点引的平分线的垂线，垂足为，交于，连接． （1）求证：；（2）求证：． 73.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O． 求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形； （2）． 74.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=BC=6，∠B=60°，点P、Q分别是射线BC、CD上的一个动点，且∠PAQ =60°，设PB=x，PQ=y． （1）求证：△APQ是等边三角形． （2）求y关于x的函数解析式及定义域； （3）如果PD⊥AQ，求BP的值． 75.如图，点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上，已知的周长等于正方形ABCD周长的一半，求的度数． 76.如图，在平面直角坐标系中，四边形是等腰梯形，∥，，，，动点从点出发，在梯形的边上运动，路径为，到达点时停止，作直线． （1）求梯形的面积； （2）当直线把梯形的面积分成相等的两部分时，求直线的解析式； （3）当△是等腰三角形时，请写出点的坐标． 第14讲 四边形的复习 本章节的内容相对综合，主要考察了多边形的概念，平行四边形的判定和性质，特殊的平行四边形的判定和性质以及梯形的相关概念和性质，最后一节讲解到了平面向量的相关基础，灵活性比较强，综合性也较高，是在三角形的基础上对几何图形更高的把控，对学生的逻辑思维能力及空间想象能力的要求都较高，也是初中阶段对于几何证明及计算的重难点，是非常重要的章节．本节课就常出现的题型做一总结，帮助学生能够更好的掌握本章的内容． 一、选择题 1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n． 根据题意得：（n-2）×180°=360°， 解得：n=4．故选：B． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键． 2．（2019·上海金山区·八年级期中）如图，一辆汽车由点出发向前行驶100米到处，向左转45度，继续向前行驶同样的路程到处，再向左转45度，按这样的行驶方法，回到点总共行驶了（ ） A．600米 B．700米 C．800米 D．900米 【答案】C 【分析】根据题意可知该汽车所走的路程正好是一个外角为45°的多边形的周长，求出多边形的周长即可． 【详解】解：根据题意得：360°÷45°＝8， 则他走回点A时共走的路程是8×100＝800米． 故回到A点共走了800米． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是360°． 3．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）在平行四边形ABCD中，AC=10，BD=6，则边长AB，AD的可能取值为（ ）． A．AB=4，AD=4 B．AB=4，AD=7 C．AB=9，AD=2 D．AB=6，AD=2 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质知，平行四边形的对角线互相平分，再结合三角形三边关系分别进行分析即可． 【详解】解：因为：平行四边形ABCD，AC=10，BD=6，所以：OA=OC=5，OB=OD=3， 所以：，所以：C，D错误， 又因为：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC、∵AD=4， ∴BC=4， ∵AB=4，AC=10， ∴AB+BC＜AC，∴不能组成三角形，故此选此选项错误； 因为：AB=4，AD=7，所以： 三角形存在． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质及三角形的三边关系，掌握平行四边形的性质和三角形三边关系是解题关键． 4．（2018·上海市文来中学八年级月考）如图，E 是平行四边形 ABCD 中的边 AB 的中点，AC 和 DE 相交于点 F，则图中面积等于平行四边形ABCD 面积一半的三角形共有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行四边形及三角形的面积的求法即可解答． 【详解】解：图中面积等于平行四边形ABCD 面积一半的三角形有△ABC，△ADC，△DEC，共3个，故答案为：C． 【点睛】本题考查了平行四边形与三角形的面积的关系，解题的关键是熟知平行四边形的性质． 5．（2019·上海市西延安中学八年级期中）一个多边形的内角和是外角和的1.5倍，则这个多边形是（ ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 【答案】B 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是1.5×360°=540°．设这个多边形是n边形，内角和是（n-2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n-2）×180°=1.5×360°， 解得：n=5．即这个多边形为五边形．故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n-2）•180°． 6．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如果多边形的每一个内角都是150°，那么这个多边形的边数是（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是360度求出n的值即可． 【详解】解：∵多边形的各个内角都等于150°，∴每个外角为30°， 设这个多边形的边数为n，则30°×n＝360°，解得n＝12．故选：C． 【点睛】本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角和是360°这一关键． 7．（2019·上海）过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 试题分析：根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成（n-2）个三角形，依此可得n的值． 解：从n边形的一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成（n-2）个三角形， 即可得n-2=6，解得：n=8．故选D． 考点：多边形的对角线． 8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）若多边形的边数由3增加到n（n为整数，且n＞3）则其外角和的度数（ ） A．增加 B．不变 C．减少 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，利用多边形的外角和特征即可得到结果． 【详解】因为任意多边形的外角和均为． 故选B. 【点睛】本题考查多边形外角和，熟记任意多边形外角和为360度是关键. 9.若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【难度】★ 【答案】D 【解析】设n边形，由题意可得，解得：n=12． 【总结】本题考查n边形内角和与外角和公式的运用． 10.下列条件中不能判断四边形ABCD不是平行四边形的是（ ） A．∠A=∠C；∠B=∠D B．AB∥CD；AB=CD C．AB=CD；AD∥BC D．AB∥CD；AD∥BC 【难度】★ 【答案】C 【解析】A：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 B：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C：平行四边形或梯形 D：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【总结】本题考查平行四边形的判定定理的运用． 11.已知菱形ABCD的两条对角线之和为l，面积为S，则它的边长为 （ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】D 【解析】设两条对角线的一半分别是x和y，则可得， 则，故选D． 【总结】本题考查菱形对角线性质与完全平方公式的应用． 12.下列命题中是假命题的是 （ ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【难度】★ 【答案】B 【解析】对角线相等的平行四边形是矩形． 【总结】本题主要考查平行四边形与特殊平行四边形的判定方法． 13.下列性质中，正方形具有而菱形不具有的性质（ ） A．对角线互相垂直平分 B．内角之和为360° C．对角线平分内角 D．对角线相等 【难度】★ 【答案】D 【解析】正方形对角线互相平分且相等，菱形对角线垂直互相平分． 【总结】本题考查正方形和菱形对角线的性质． 14.下列条件中能判定一个四边形是矩形的条件是（ ） A．四边形的对角线互相平分 B．四边形的对角线相等且垂直 C．四边形的对角线相等且互相平分 D．四边形的对角线互相垂直且平分 【难度】★ 【答案】C 【解析】对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 【总结】本题考查矩形的判定方法． 15.下列命题中错误的是 （ ） A．零向量与任何向量都是平行的 B．若∥ C．两个起点相同的向量不相等，其终点也有可能是相同的 D．如果两个向量所在的直线重合，这两个向量一定平行 【难度】★ 【答案】C 【解析】两个向量不相等，起点相同，终点不同． 【总结】本题考查向量的基本性质． 16.在平行四边形中，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】D 【解析】方向相反，大小相等的向量和为零向量． 【总结】本题考查向量的基本运算． 17.已知平面上不共线的四点A、B、C、D满足，则下列命题正确的是（ ） A．四边形ABCD是平行四边形 B．四边形ABDC是平行四边形 C．四边形ADBC是平行四边形 D．四边形ACDB是平行四边形 【难度】★★ 【答案】C 【解析】由题意知，线段AD=BC，AD//BC，故四边形ADBC是平行四边形，选C． 【总结】本题考查相等向量与平行四边形判定方法的综合运用． 18.已知四边形ABCD，过点A、C分别作BD的平行线，过B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是 （ ） A．矩形 B．菱形 C．AC=BD的任意四边形 D．平行四边形 【难度】★★ 【答案】C 【解析】由平行四边形性质可得AC、BD分别与菱形边长相等，∴AC=BD 【总结】本题考查菱形性质，解得本题的关键是注意邻边相等． 19.用两个全等的直角三角形拼成下列图形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定可以拼成的图形是 （ ） A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤ 【难度】★★ 【答案】D 【解析】画图即可 【总结】本题考查了全等三角形的拼接问题，理解全等三角形的性质和特殊三角形，特殊四 边形的判定，会解决一些简单的拼接计算问题，可用三角板动手操作． 20.如果顺次连接四边形四边的中点所得的四边形是菱形，那么这个四边形是 （ ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不一定是以上图形 【难度】★★ 【答案】D 【解析】利用中位线知识可得这个四边形对角线相等即可． 【总结】本题考查特殊四边形判定方法，中位线定理的运用． 21.在正三角形、矩形、直角梯形、平行四边形中，不是轴对称图形，但是中心对称图形的有（ ） A．0 B．1 C． 2 D．3 【难度】★★ 【答案】B 【解析】平行四边形是中心对称，不是轴对称；正三角形是轴对称，不是中心对称； 矩形既是轴对称又是中心对称． 【总结】本题考查特殊四边形的对称性． 22.等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为4，则该梯形的面积为（ ） A．16 B．32 C．64 D．512 【难度】★★ 【答案】A 【解析】平移一条对角线，形成等腰直角三角形，从而将等腰梯形的面积转化为等腰直角三 角形的面积，即可求出面积为16． 【总结】本题考查梯形辅助线—平移对角线的添加及运用． 23.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，F、E分别是AC、BD的中点，AD=2，BC=10，则EF的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．12 【难度】★★ 【答案】B 【解析】取CD中点G，连接EG、FG ∵F、E分别是AC、BD的中点， ∴，，，． ∴EF=EGGF=4． 【总结】本题考查梯形性质与中位线定理的综合运用． 24.如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是( ) A．15 B．12 C．11 D．10 【难度】★★ 【答案】B 【解析】∵FCE=90°，∴DCF=ECB， ∵正方形ABCD， ∴BC=DC，． ∴△CFD≌△CBE，∴CF=20，CD=16，∴DF=BE=12，故选B． 【总结】本题考查正方形性质与全等三角形的综合运用． 二、填空题 25．（2021·上海八年级期中）如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有____条对角线． 【答案】6 【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数． 【详解】解：设此多边形的边数为x，由题意得：（x-2）×180=1260， 解得；x=9， 从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9-3=6，故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n-2）． 26．（2020·上海浦东新区·八年级月考）已知平行四边形ABCD的周长为56cm，AB：BC＝2：5，那么AD＝_____cm． 【答案】20 【分析】由▱ABCD的周长为56cm，根据平行四边形的性质，即可求得AB+BC＝28cm，又由AB：BC＝2：5，即可求得答案． 【详解】解：∵▱ABCD的周长为56cm，∴AB+BC＝28cm， ∵AB：BC＝2：5，∴AD＝BC＝×28＝20（cm）；故答案为：20． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对边相等的性质的应用是解此题的关键． 27．（2018·上海虹口区·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，则FC的长为_____． 【答案】5 【分析】分析题意，△FBE为△ABE的翻折后的三角形，则△FBE≌△ABE，利用全等三角形各对应边相等、平行四边形的性质及线段间的等量关系可求解FC的长． 【详解】解：根据题意得△FBE≌△ABE，∴EF＝AE，BF＝AB． ∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝DC． ∵△FDE的周长为8，即DF+DE+EF＝8，∴DF+DE+AE＝8，即DF+AD＝8． ∵△FCB的周长为18，即FC+BC+BF＝18，∴FC+AD+DC＝18，即2FC+AD+DF＝18． ∴2FC+8＝18，∴FC＝5．故答案为5． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，已知折叠问题就是已知图形的全等，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化． 28．（2021·上海八年级期中）八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【详解】解：八边形的内角和= 29．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果直角三角形的斜边长为36，那么这条边上的中线长=___________． 【答案】18 【分析】直接根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得答案． 【详解】因为“直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半”， 所以这条边上的中线长为18．故答案为18． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，熟记知识点是解题的关键． 30．（2020·上海嘉定区·）已知四边形，点是对角线与的交点，且，请再添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，那么添加的条件可以是_____________．（用数学符号语言表达） 【答案】 【分析】由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵OA=OC， 由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴可以是OB=OD（答案不唯一）． 故答案为：OB=OD（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，一般有几种方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 31．（2018·上海金山区·八年级期中）如图，已知的周长是，和相交于点，的周长比的周长小，那么________． 【答案】 【分析】根据平行四边形性质得出OA=OC，AB=CD，AD=BC，求出AB+BC=13，AB-BC=2，两式相减即可求出BC，从而求得AD． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC， ∵的周长是26cm，∴2AB+2BC=26，∴AB+BC=13①， ∵△OBC的周长比△OAB的周长小2cm，∴（AB+OA+OB）-（BC+OC+OB）=2，∴AB-BC=2②， ∵①-②得：2BC=11，∴AD=BC=cm．故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，关键是能根据题意得出AB+BC=13，AB-BC=2． 32．（2018·上海金山区·八年级期中）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是_________． 【答案】14 【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n-2）•180°=2160°， 解得：n=14．则这个多边形的边数是14．故答案为：14． 【点睛】本题考查多边行的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n-2）×180°解答． 33．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）的对角线，相交于点，，，，则的周长是________． 【答案】19 【分析】根据题意作图，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=5,CO=AC=6,OD=BD=8 ∴的周长为5+6+8=19 故答案为：19． 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的对角线互相平分． 34．（2019·上海普陀区·八年级期中）已知梯形的中位线长为，上底长，那么下底的长是_________． 【答案】12 【分析】根据梯形的中位线定理“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”，即可求解． 【详解】根据梯形的中位线定理，得：梯形的下底=中位线的2倍-上底． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了梯形的中位线定理，解题的关键是熟悉梯形的中位线的数量关系． 35．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）如果一个多边形的边数是12，那么这个多边形的外角和为________ 【答案】360° 【分析】根据任何多边形的外角和都是360°可得答案． 【详解】解：任何多边形的外角和都是360°，故答案为：360°． 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，熟知任何多边形的外角和都是360°是解题的关键． 36．（2019·上海上外附中八年级月考）梯形的上，下底分别为，，一条腰长，则另一条腰的长度的范围是__________ 【答案】 【分析】作交于点,则四边形是平行四边形，依据平行四边形的性质求出三角形DEC的两条边，依据三角形三角边关系，求出的取值范围. 【详解】解：如图梯形,,,,,, 作交于点, 则四边形是平行四边形， ∴,, ∴, ∵, ∵, 故答案为：. 【点睛】本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形三边的大小关系，解题的关键是运用三角形三边大小关系解决求线段范围的问题. 37．（2019·上海上外附中八年级月考）如图，平行四边形中，对角线，且，，则和之间的距离是________ 【答案】 【分析】设和之间的距离为x，由条件可知▱ABCD的面积是的面积的2倍，建立关于x的等式并求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设和之间的距离为x， 则平行四边形ABCD的面积等于， 又∵， ∴， ， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理，由条件得到四边形ABCD的面积是的面积的2倍是解题的关键． 38．（2019·上海上外附中八年级月考）平行四边形周长为，对角线的交点为，的周长比的周长大，则_________ 【答案】2 【分析】根据平行四边形对边相等可得，根据的周长比的周长大6可得，组成方程组，求解即可． 【详解】解：平行四边形的周长为20， ∴, ∴， ∵的周长比的周长大6， ∴， 解得：． ∴, 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是平行四边行的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．列方程组是解题的关键. 39．（2019·上海上外附中八年级月考）边形的内角和是外角和的三倍，则_________ 【答案】8 【分析】根据“多边形的内角和是外角和的三倍”，结合边形的内角和公式和多边形的外角和为360°，列出关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：边形的内角和为：(−2)×180°，边形的外角和为：360°， 根据题意得：(−2)×180°=3×360°，解得：=8，故答案为：8． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，正确掌握多边形的内角和公式和多边形的外角和为360°是解题的关键． 40．（2018·上海虹口区·八年级期中）在平行四边形ABCD中，两邻角的度数比是7：2，那么较小角的度数为______度． 【答案】40 【分析】本题主要依据平行四边形的性质，得出两邻角之和180°，再有两邻角的度数比是7：2，得出较小角的度数． 【详解】解：设两邻角分别为， 则， 解得：， ∴较小的角为40°． 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的两邻角之和为180°． 41．（2017·上海闵行区·八年级期末）一个多边形的内角和是 1440°，则这个多边形是__________边形． 【答案】十 【分析】利用多边形的内角和定理：n边形的内角和为 便可得. 【详解】∵n边形的内角和为 ∴，. 故答案为：十边形. 【点睛】本题考查多边形的内角和公式，掌握n边形内角和定理为本题的关键. 42．（2019·上海上外附中八年级期中）如果一个多边形的内角和为，那么这个多边形的边数是__________，它的对角线有__________条． 【答案】10； 35 【分析】根据多边形内角和公式、对角线相关公式进行计算即可得解． 【详解】解：∵边形的内角和为， 边形的对角线条数为 ∴一个多边形的内角和为，则多边形的边数为10条，对角线有35条． 故答案是：（1）；（2） 【点睛】本题考查多边形内角和定理和多边形对角线条数，难度不大，熟记公式是解题的关键． 43．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数是_________________． 【答案】360 【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：多边形的边数是：， 故答案为：360． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是360°是解题关键． 44．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）在四边形中，如果，那么这个四边形__________是平行四边形，(填“一定”或“一定”或“一定不”) 【答案】不一定 【分析】由题意得出，对角互补的四边形不一定是平行四边形． 【详解】解：如果，则， 那么这个四边形不一定是平行四边形； 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 45．（2018·上海市西南模范中学八年级期中）已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的度数是_____． 【答案】70° 【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠C=180°，由已知条件得出∠C-∠B=40°，解答即可． 【详解】如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°， ∵∠C-∠B=40°，解得：∠B=70°，故答案是：70°． 【点睛】考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 46．（2019·上海浦东新区·八年级期末）在五边形中，若，则__________. 【答案】130° 【分析】首先利用多边形的外角和定理求得正五边形的内角和，然后减去已知四个角的和即可． 【详解】解：正五边形的内角和为（5-2）×180°=540°， ∵∠A+∠B+∠C+∠D=410°， ∴∠E=540°-410°=130°， 故答案为：130°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 47．（2021·上海八年级期中）如图，□的周长为，，相交于点，交于，则的周长为__________． 【答案】15 【分析】根据平行四边形的性质，两组对边分别平行且相等，对角线相互平分，OE⊥AC可说明EO是线段AC的中垂线，中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等，则AE=CE，再利用平行四边形ABCD的周长为30可得AD+CD=15，进而可得△DCE的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，点O平分BD、AC，即OA=OC， 又∵OE⊥AC， ∴OE是线段AC的中垂线， ∴AE=CE， ∴AD=AE+ED=CE+ED， ∵▱ABCD的周长为， ∴CD+AD=15cm， ∴的周长= CE+ED +CD=AD+CD=15cm， 故答案为15． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，关键是掌握平行四边形平行四边形的对边相等．平行四边形的对角线互相平分． 48．（2018·上海静安区·八年级期末）已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是_______. 【答案】18 【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数＝边数可得答案． 【详解】解：多边形每一个内角都等于 多边形每一个外角都等于 边数 故答案为 【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补，外角和为360°． 49．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB＝_____． 【答案】9． 【分析】如图：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由△OAB的周长比△OBC的周长大3，可得AB﹣BC=3，又因为▱ABCD的周长是30，所以AB+BC=10；解方程组即可求得． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD； 又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3， ∴AB+OA+OB﹣（BC+OB+OC）=3 ∴AB﹣BC=3， 又∵▱ABCD的周长是30， ∴AB+BC=15， ∴AB=9． 故答案为9． 50．（2018·上海八年级期中）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n-2）=3603 解得n=8. 所以这个多边形的边数是8. 51．（2019·上海市民办新和中学八年级月考）一个n边形的内角和为1080°，则n=________. 【答案】8 【分析】直接根据内角和公式计算即可求解. 【详解】（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8． 故答案为8． 【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：. 52.一个多边形每一个内角等于144°，那么这个多边形是______边形，有_______条对角线，外角和是______，每个外角是________． 【难度】★ 【答案】十边形，35，360°，36°． 【解析】每个内角144°，则每个外角36°，所以这个多边形是十边形． 【总结】本题考查多边形内角和与外角和公式及对角线公式的综合运用． 53.梯形的上底长为3cm，中位线长为5cm，则它的下底长为_______cm． 【难度】★ 【答案】7． 【解析】梯形中位线=（上底+下底）÷2． 【总结】本题考查梯形中位线定理的运用． 54.平行四边形ABCD中，∠A-∠B=40°，则∠C=________度． 【难度】★ 【答案】110． 【解析】∵平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，∠A-∠B=40°， ∴∠B=70°，∠A=110°，∴∠C=∠A=110°． 【总结】本题考查平行四边形性质的运用． 55.矩形ABCD中，AC与BD交于点O，AC=10cm，BC=8cm，则△ABO的周长为_________cm． 【难度】★ 【答案】16 【解析】矩形ABCD中，AC=BD=10，∴OA=OC=5． 直角△ABC中，AB=6，∴△ABO的周长=OA+OB+AB=16cm． 【总结】本题主要考查矩形的性质的运用． 56.直角梯形的两底分别为3和7，斜腰与底边的夹角为60°，则该梯形的面积是_______． 【难度】★ 【答案】． 【解析】设直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A=∠D=90°，∠C=60°，AB=3，CD=7 过点B作BE⊥CD，则矩形ABED中，AB=ED=3，CE=4 ∴BC=8，BE==AD， ∴． 【总结】本题考查直角梯形性质的运用． 57.菱形的两个内角的度数之比为1:5，菱形的高为2cm，则这个菱形的周长是________cm． 【难度】★ 【答案】16． 【解析】设菱形ABCD中，AE⊥BC，且AE=2 ∵B：A=1:5，A+B=180°，∴B=30°， ∴AB=2AE=4．∴菱形周长=16． 【总结】本题考查菱形性质与直角三角形性质的综合运用． 58.菱形的周长是24cm，一条较短的对角线是6cm，则该菱形的面积是______． 【难度】★ 【答案】． 【解析】∵菱形周长是24，∴菱形边长是6，∴另一条对角线长． ∴菱形面积=对角线乘积的一半=． 【总结】本题考查菱形面积公式的运用． 59.等腰梯形两底差为12cm，高为6cm，则该梯形的底角的度数分别是_______． 【难度】★ 【答案】45°，135°，45°，135°． 【解析】设等腰梯形ABCD，AD=BC，AB//CD，AB＜CD 作AE⊥CD，BF⊥CD，在矩形ABFE中，AB=EF ∵CD-AB=12，∴CD-EF=DE+CF=12，∵等腰梯形ABCD，∴DE=CF=6． 又∵AE=BF=6，∴等腰直角△ADE中，∠D=45° ∴等腰梯形四个底角分别是45°，135°，45°，135°． 【总结】本题考查等腰梯形性质的运用． 60.（1） ； （2），方向向西，，方向向东，则= ． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）3． 【解析】（1）． 【总结】本题考查向量方向和模长的相关概念． 61.如右图，梯形中，，点在上，，则 ． 【难度】★ 【答案】． 【解析】． 62.已知平行四边形ABCD的周长是28，自顶点A分别作于点E、F，若AE=3，AF=4，则CD-CB=_______． 【难度】★★ 【答案】2． 【解析】设CD=x，BC=y， ∵，AE=3，AF=4， ∴平行四边形面积3x4y． 由题意得，解得：，∴CDCBxy2． 【总结】本题考查平行四边形面积公式的运用． 63.如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，，OE//AD，判断OE与AB的数量和位置关系分别是__________． 【难度】★★ 【答案】垂直且相等． 【解析】∵AC⊥CE，∴ACD=DCE=45° ∵OE//AD//BC，∴COE=OCB=45° ∴OE⊥CD，OE⊥AB 等腰直角△OCE中， ∴OE=AB，∴OE与AB垂直且相等 【总结】本题考查正方形性质的综合运用． 64.如图，矩形ABCD沿AE折叠使点D落在BC边上的F处，如果，那么=______． 【难度】★★ 【答案】15°． 【解析】∵BAF=60° ∴FAD=30° ∵△AFE≌△ADE ∴FAE=EAD=15° 【总结】本题考查翻折性质与矩形性质的综合运用． 65.如图，正方形ABCD的边长为，E是AD的中点，BM⊥EC于点M，则BM的长为__________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】联结BE 由△BEC面积可得 ∵E是AD中点，∴，∴． 【总结】本题考查正方形性质与等积法的综合运用． 66.如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P， 则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线， ∴E′在AB上，由图形对称的性质可知，BE=BE′= ∵BE=BE′=，∴△BCE′是直角三角形，∴CE′=．∴PE+PC的最小值是． 【总结】本题考查轴对称—最短路线问题及菱形性质，直角三角形的判定定理，根据轴对称的性质做出图形是解答此题的关键． 67.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A＝，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为______________． 【难度】★★ 【答案】6cm． 【解析】等腰梯形ABCD中，∠A=∠CBA=60°． ∵∠1=∠2，∴∠CDB=∠DBA=∠CBD=30°，∴CD=CB． 设AD=CD=BC=x 在直角△ABD中，AB=2x，∴x+x+x+2x=30，解得：x=6． ∴等腰梯形腰长6cm 【总结】本题考查等腰梯形性质与直角三角形性质的综合运用． 三、解答题 68.在梯形ABCD中，AB∥DC，P是AB上一点，，，． （1）用表示和； （2）在图中作出． 【难度】★★ 【答案】（1），；（2）见图． 【解析】（1）∵，， ∴； （2）∵，∴为所求作的向量． 【总结】本题考查向量的加法，注意法则的运用． 一艘船要过河，它总是走最短的路线，又知道河水由上游往下游流，速度为3km/h． （1）若船头向上游偏45°，则船速要为多少? （2）若船头向上游偏30°，则船速要为多少? （3）若船头正对着岸，问：船也没有可能走最短路线? 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）6；（3）没有可能． 【解析】（1）若船头向上游偏45°，则船速为km/h； （2）若船头向上游偏30°，则船速为6km/h； （3）若船头正对着对岸，则船没有可能走最短路线． 【总结】本题考查向量的应用，结合图形与向量可求解． 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E在AD上，CE=AE，F是AE的中点，AD=8，DC=4． （1）求线段DE的长； （2）求线段OF的长． 【难度】★★ 【答案】（1）DE=3；（2）OF=2.5． 【解析】（1）设DE=x，则AE=8-x ∵EC=EA=8-x，∴在Rt△CED中， 即，解得：x=3 ∴DE=3； （2）∵F是AE中点，O是AC中点， ∴OF是△AEC中位线 在△CDE中，DE=3，CD=4 ∴CE=5，∴OF=2.5 【总结】本题考查矩形性质与勾股定理的综合应用． 71.如图所示，已知菱形中在上，且，交于，试说明． 【难度】★★ 【解析】∵AB=AE，AD//BC， ∴∠ABE=∠AEB=∠EAD ∵∠BAE=∠EAD， ∴∠EAD=2∠BAE ∴5∠BAE=180°， ∴∠BAE=36°，∠ABE=∠AEB=∠EAD=72° ∵菱形ABCD，∴∠ABD=∠DBC=36°=∠BAE 即∠ABD=∠BAE ， ∴AM =BM △BME中，∠BME=∠BEM=72° ∴BM=BE， ∴AM=BE 【总结】本题考查菱形性质与三角形内角和的应用． 72.如图，已知长方形，过点引的平分线的垂线，垂足为，交于，连接． （1）求证：；（2）求证：． 【难度】★★ 【解析】（1）∵AM平分∠BAD，∠BAD=90° ∴∠BAE=45°，∴△BAE为等腰直角三角形， ∴AB = BE 又∵AB=DC，∴BE=DC； （2）由CM⊥AM易得∠EMC=90° 又∵∠BAE=45°，∠BEA=45°，∴∠MEC=45° ∴△MEC为等腰直角三角形 ∴ME=CM且∠MEC=∠MCE=45°，∴∠BEM=∠DCM=135° 又BE=DC，∴△BEM≌△DCM， ∴∠MBE=∠MDC 【总结】本题考查矩形性质，等腰直角三角形性质的综合运用，注意认真分析． 73.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于点O． 求证：（1）四边形EBCF是等腰梯形； （2）． 【难度】★★ 【解析】（1）∵E、F分别是AB、AC中点 ∴EF//BC，， 又∵BE与CF相交于点A， ∴四边形BEFC是等腰梯形； （2）∵EC⊥BF， ∴， ∴ ∴． 【总结】本题考查等腰梯形判定方法，勾股定理及中位线性质的综合运用，第（2）小问注 意利用观察线段间的关系． 74.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=BC=6，∠B=60°，点P、Q分别是射线BC、CD上的一个动点，且∠PAQ =60°，设PB=x，PQ=y． （1）求证：△APQ是等边三角形． （2）求y关于x的函数解析式及定义域； （3）如果PD⊥AQ，求BP的值． 【难度】★★ 【答案】（1）见解析；（2）； （3）BP的值为0或12． 【解析】（1）在平行四边形ABCD中 ∵AB=BC，∴四边形ABCD为菱形 ∵在菱形ABCD中，B=60°， ∴△ABC是等边三角形 ∴AB=AC=BC， ∴AC=CD ∵PAQ=60°，∴CAP=DAQ ∴△ACP≌△ADQ， ∴AP=AQ ∴△PAQ是等边三角形； （2）作AH⊥BC于H ∵ABH=60°，AB=6， ∴BH=3，HA= ∵PB=x，∴ HP=|x-3|， ∵PQ=y，∴AP=y 故在Rt△AHP中，由勾股定理可得：， ∴函数解析式； （3）当P在BC延长线时 ∵△APQ是等边三角形，∴当PD⊥AQ时，PD平分ADQ ∵AD//BC，∴ADQ=BCQ=120° ∴DPC=60°，∵DPA=30° ∴APC=30°，∴BP=2BA=12； 当P在线段BC上时 易得PQ为菱形ABCD一条对角线，所以B，P重合， 此时BP=0， 综上如果PD⊥AQ，BP的值为0或12． 【总结】本题考查平行四边形性质及菱形性质和判定方法，注意数形结合思想与分类讨论思 想的综合运用． 75.如图，点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上，已知的周长等于正方形ABCD周长的一半，求的度数． 【难度】★★ 【答案】45°． 【解析】把△ADM绕着点A按顺时针方向旋转90°后，得到△ABE， ∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠D=90°，∠MAE=90° ∵∠ABC=90°， ∴点N、B、E共线 ∴NE=BE+BN=DM+BN ∵△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半 ∴MN+NC+MC=DC+BC=DM+MC+NC+BN ∴MN=DM+BN， ∴MN=NE ∵在△MAN和△MAE中，△EAN≌△MAN（SSS）， ∴∠NAM=∠EAN=45°． 【总结】本题考查旋转的性质，也考查了三角形全等的判定性质以及正方形的性质，注意正 方形背景下的辅助线的添加方法． 76.如图，在平面直角坐标系中，四边形是等腰梯形，∥，，，，动点从点出发，在梯形的边上运动，路径为，到达点时停止，作直线． （1）求梯形的面积； （2）当直线把梯形的面积分成相等的两部分时，求直线的解析式； （3）当△是等腰三角形时，请写出点的坐标． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【解析】过点C作CE⊥OA于E，过点B作BF⊥OA于F， ∵CB∥OA，∴∠CEF=∠BFE=∠ECB=90°，∴四边形CEFB是矩形，∴EF=BC=6，BF=CE， ∵∠COA=45°，，∴CE=OE= ∵四边形OABC是等腰梯形，∴∠BAO=∠COA=45°， 同理可得：BF=AF=， ∴OA=OE+EF+AF=． ∴； （2）∵直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分，∴， ∵， ∴OP=．∴P（，0），C（，） 利用待定系数法可得直线CP解析式是：； （3）①当P在OA上时， 若OP=OC时，OP=4，即点P的坐标为（4，0）； 若OC=CP时，则OE=PE=，即OP=，∴点P的坐标为（，0）； 若CP=OP时，∵∠COA=45°，∴∠PCO=∠COA=45°，∴∠OPC=90°，∴OP=， ∴点P的坐标为（，0） ②当P在AB上时，OP＞OB，PC＜AC， ∵OB=AC，∴OP＞PC， ∵PC＞BC＞OC，∴OP＞PC＞OC， ∴此时不存在点P使得△OCP是等腰三角形； ③当点P在CB上时， 若CP=OC，则点P的坐标为（+4，）． 综上点P的坐标为：（4，0）或（，0）或（，0）或（+4，）． 【总结】本题考查等腰梯形的性质，等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的性质的综合运 用，注意掌握数形结合，分类讨论与方程思想的应用，综合性较强．
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