人教版7下数学 第8章 复习与测试 方程思想与方程组 教案

七年级下册数学人教版

第8章  方程思想与方程组

课标定位：

一、考点突破

方程思想是指用方程来解决数学问题，这是一种非常重要的方法，是中考的热点题型。这类问题综合性较强，通常与实际问题或其它数学知识相联系，解答这类问题的关键是进行转化，根据题意建立方程模型。

二、重难点提示

重点：能够将实际问题或其它数学问题转化成方程（组）来解决。

难点：确立相等关系，建立方程模型。

考点精讲：

方程思想

在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。

方程是研究量与量之间关系的重要模型之一。列方程的一般步骤是仔细分析实际问题中的每个量，找出哪个是已知数，哪个是未知数，并分析已知数和未知数之间的关系，找出相等关系，用字母代替未知量，列式表示出这个相等关系。

典例精析：

例题1  （绍兴）如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码。现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（   ）

A. 10克 B. 15克 C. 20克 D. 25克

思路分析：根据天平仍然处于平衡状态列出一元一次方程求解即可。

答案：设左、右两侧秤盘中两袋玻璃球的质量分别为m克、n克，根据题意得：m＝n＋40，；设被移动的玻璃球的质量为x克，根据题意得：m－x＝n＋x＋20，x＝（m－n－20）＝（n＋40－n－20）＝10。故选A。

技巧点拨：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系。

例题2  某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：

请根据上面的信息，试求两种笔记本各买了多少本？

思路分析：设单价为5元的笔记本买了x本，则单价为8元的笔记本买了（40－x）本。根据领了300元，找回68元列出方程求解即可。

答案：设单价为5元的笔记本买了x本，则单价为8元的笔记本买了（40－x）本，由题意得：

5x＋8（40－x）＝300＋13－68，

解得：x＝25，则40－x＝15（本）。

答：单价为5元的笔记本买了25本，则单价为8元的笔记本买了15本。

技巧点拨：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系并列出方程。本知识点是一元一次方程中的难点。

例题3  如图，在长方形ABCD中，AB＝6，CB＝8，点P与点Q分别是AB、CB边上的动点，点P与点Q同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度从点A→点B运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点C→点B运动。当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动。（设运动时间为t秒）

（1）如果存在某一时刻恰好使QB＝2PB，求出此时t的值；

（2）在（1）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留整数）。

思路分析：（1）当t秒QB＝2PB时，BP＝6－2t，BQ＝8－t，就有8－t＝2（6－2t），求出结论就可以了；（2）由（1）求出t的值后就可以求出BP、BQ的值，用长方形的面积减去三角形BPQ的面积求出阴影部分的面积。

答案：（1）由题意可知AP＝2t，CQ＝t，所以PB＝AB－AP＝6－2t，QB＝CB－CQ＝8－t。当QB＝2PB时，有8－t＝2（6－2t）。解这个方程得。所以当秒时，QB＝2PB。

（2）当时，，，所以

，因为S长方形ABCD＝AB•CB＝6×8＝48，所以

S阴影＝S长方形ABCD－S△QPB≈37。

技巧点拨：本题考查了运用一元一次方程解实际问题，三角形的面积公式的运用，长方形的面积公式的运用，解答时求出t的值是关键。

提分宝典：

【综合拓展】

应用方程思想解题的要点

（1）要具有正确列出方程的能力：有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。

（2）要具备用方程思想解题的意识：有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程来解决。在平时的学习,应该不断积累用方程思想解题的方法。

满分训练：如图所示是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等，则z＋y－x的值为__________。

思路分析：平面展开图还原成正方体的时候有一个规律：隔一个面相对。已知相对两个面上的代数式的值相等，所以有：①x＋y＝4x－3，②z－1＝7x＋2y，③5－6x＝3x＋2。先解第③个方程得x＝，把x＝代入①解得y＝－2，再把x＝、y＝－2代入方程②解得z＝－，则z＋y－x＝－－2－＝－3。

答案：-3。

                  同步练习

1. 若x＝－1，式子与的值相等，则m的值是（   ）

A.  B. C. － D.

2. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密）。已知加密规则为：明文a，b，c对应密文a＋1，2b＋4，3c＋9。例如明文1，2，3对应的密文为2，8，18。如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为（   ）

A. 4，5，6 B. 6，7，2 C. 2，6，7 D. 7，2，6

*3. 如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部的底面积分别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的。若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，设甲容器的容积为x cm3，则根据题意得（   ）

A. 80x＝100x－8  B. 80x－8＝100x 

C.   D.

4. 如图，已知某长方体的表面展开图的面积为310cm2，则图中x的值是__________。

5. 对有理数a、b规定运算※的意义是：a※b＝a＋2b，则方程3x※4＝2的解是__________。

*6. 足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了8场，输了1场，得17分，请问：

（1）前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？

（2）这支球队打满14场比赛，最高能得多少分？

（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期的目标，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期的目标？

**7. 据了解，火车票价按“”的方法来确定。已知A站至H站的总里程数为1500千米，全程参考价为180元。下表是沿途各站至H站的里程数：

例如：要确定从B站至E站的火车票价，其票价为＝87.36≈87（元）。

（1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）；

（2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员，我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中的票价是66元，马上说下一站就到了，请问王大妈是在哪一站下车的？（要求写出解答过程）

答案：

1. A  解析：x＝－1，式子与的值相等，＝，解得m＝，故选A。

2. B  解析：由题意知a＋1＝7，2b＋4＝18，3c＋9＝15，解得明文a＝6，b＝7，c＝2，故选B。

*3. D  解析：由题意得：，故选D。

4. 7  解析：由题意得2×（10x＋5x＋5×10）＝310，x＝7。

5. －2  解析：根据题中信息，得3x※4＝3x＋2×4＝3x＋8，因为方程3x※4＝2，即3x＋8＝2，移项合并得3x＝－6，系数化为1得x＝－2，所以方程3x※4＝2的解是x＝－2。

*6. 解：（1）设这支球队共胜了x场，则3x＋（8－x－1）＝17，解得x＝5。

答：前8场比赛中，这支球队共胜了5场。

（2）在前8场比赛中得了17分，还剩6场，若全胜，得18分，所以最高能得17＋18＝35（分）。

（3）设在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜x场，才能达到预期的目标，则17＋3x＋（6－x）×1＝29，解得x＝3。

答：这支球队至少要胜3场才能达到预期的目标。

**7. 解：（1）由已知可得A站至F站的火车票价为＝153.72≈154（元）

（2）设王大妈实际乘车里程数为x千米，根据题意，得：＝66。解得x＝550（千米）。对照表格可知，D站与G站之间的距离为550千米，所以王大妈是从D站上车，在G站下车。