【期中真题】2023-2024学年九年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题04 二次函数与几何综合(4类经典题型 优选提升）.zip

专题04 二次函数与几何综合 等腰三角形存在性问题 1．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积是3 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形即可求解； （3）分别讨论为等腰三角形的底边或腰，即可求解． 【详解】（1）解: 将，，代入， 得， 解得， 故此二次函数的解析式为. （2）解：由知，. ∵，， ， ， ， ∴. ∴是直角三角形，且. ∴， 即的面积是3. （3）解：存在，点的坐标为或. 由（2），知，对称轴为直线， ①若以为底边，则， 设点的坐标为， 根据勾股定理，得， ∴， 又∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得，. ∵点在其对称轴右侧的抛物线上，对称轴为直线， ∴， ∴， 即点的坐标为； ②若以为一腰， ∵点在其对称轴右侧的抛物线上， ∴由抛物线的对称性可知，点与点关于直线对称，此时点的坐标为. 综上所述，点的坐标为或. 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、二次函数与特殊三角形问题．利用分类讨论思想是求解第三问的关键． 2．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的表达式； (2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，点的坐标是 (3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标； (4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2) (3)三角形面积的最大值是，此时点的坐标是 (4)点的坐标为或或或 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ，， 直线，当时，， 当时，，解得，， 抛物线经过点， ，解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：如图1，设直线交于点，连接，    直线， 当时，， ， 直线垂直平分， ， ， ， 当点与点重合时，，此时的值最小， ，此时的值最小， 当的值最小时，点的坐标是， 故答案为：； （3）解：如图2，作轴于点，交于点，    点的横坐标为， ， ， ， ， 当时，，此时， 三角形面积的最大值是，此时点的坐标是； （4）解：存在， 设点的坐标为， 则， 解得， ， ， 设点的坐标为， 如图3，设直线与轴交于点，    点点关于轴对称， ， 此题是等腰三角形，， 延长交直线于点， ，，， ，，， 三点在同一条直线上， 不存在以三点为顶点的等腰三角形， 如图4，，且点在轴上方，    ，，解得：，,， 如图4，，且点在轴下方， 设直线与轴交于点， ，， ， 如图4，， ， ， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线的顶点，请画出四边形，并求出四边形的面积； (3)点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，点为抛物线对称轴上一点．若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标，并写出其中一种情况的计算过程． 【答案】(1) (2)15 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点D作轴于G，先求出，再根据进行求解即可； （3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用一线三垂直模型构造全等三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点D作轴于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点D的坐标为， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ；    （3）解：设， 如图3-1所示，当时， 过点E作于M，设直线交x轴于H， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴，∴；    如图3-2所示，当时， 过点E作轴于M， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∴，解得或（舍去），∴；    如图3-3所示，当时， 过点E作于M，过点B作交延长线于N， 同理可证，∴， ∴，解得或（舍去）， ∴，∴； 综上所述，或或．    【点睛】本题是二次函数综合，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 直角三角形问题 4．抛物线经过点和点．    (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)该抛物线与直线相交于、两点，点是抛物线上的动点且位于直线下方，连接、． ①在点运动过程中，若的面积为，求点的坐标； ②在点运动过程中，若为直角三角形，求点的横坐标． 【答案】(1)；(2)①或；②或． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点作轴，交于点，设，，则，，，先根据抛物线和直线的解析式求出点的坐标，再利用面积公式构造方程求解即可；②分与两种情况，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为； （2）解：①过点作轴，交于点，设，，则，， ，    ∵抛物线与直线相交于、两点， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴，，，， ∵，的面积为， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴，或，； ②设，， 由①得，，，， ∴，，， ∵轴轴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴是锐角， ∵点是抛物线上的动点且位于直线下方， ∴在的内部，即, ∴是锐角，即是不存在的情形，    当时，， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）或（舍去）， 当时，， ∴， ∴ ∴（舍去）或， 综上，点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数解析式，勾股定理，二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数之间的关系，熟练掌握勾股定理及数形结合的思想是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线关于直线对称，且经过A，C两点，与x轴交于另一点为B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，过点P作轴于M，交于Q，求的最大值，并求此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点D，使是以为直角边的直角三角形，请求出点D的坐标． 【答案】(1) (2)，此时点 (3)在抛物线的对称轴上存在点D，使为直角三角形，点D的坐标为或 【分析】（1）先求得A，B，C的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）设点坐标为，则点的坐标为，由，即可求解； （3）分、，两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：令， 解得：， 即点A的坐标为． ∵A、B关于直线对称， ∴点B的坐标为． 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线经过点A、B、C， ∴有，解得：． 故抛物线解析式为； （2）∵轴，设点坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴当时，，此时点； （3）假设存在，设D点的坐标为． 由两点间的距离公式可知：，，， 为直角三角形分两种情况：①， 此时有，即：， 解得：， 此时点D的坐标为； ②， 此时有，即：， 解得：， 此时点D的坐标为； 综上可知：在抛物线的对称轴上存在点D，使为直角三角形，点D的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、直角三角形的性质、线段长度的计算方法等，分类求解是本题解题的关键． 6．已知直线l与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．   　　   (1)求直线的函数解析式和抛物线的函数解析式； (2)在第一象限内抛物线上取点，连接、，求面积的最大值及点的坐标． (3)抛物线上是否存在点使为直角三角形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数解析式为：，二次函数解析式为： (2)， (3)存在，点的坐标为或或或． 【分析】（1）先利用待定系数法求得直线的函数解析式，求得点B的坐标，从而可以求得抛物线的解析式； （2）根据题意可以求得点A的坐标，然后根据题意和图形可以用含m的代数式表示出S，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题； （3）分三种情况讨论，分别当为斜边时，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：设， 把，代入得：， ，， 一次函数解析式为：， 把代入， ， ， 二次函数解析式为：； （2）解：连接，    把代入得，， 或3， 抛物线与轴的交点横坐标为和3， 设点， 在抛物线上，且在第一象限内， ， 的坐标为， ， 当时，取得最大值． 此时的坐标为； （3）解：设点， 则，，， 当为斜边时，则， 解得（舍去）或， ∴点； 当为斜边时，则， 解得（舍去）或，∴点； 当为斜边时，则， 解得（舍去）或（舍去）或或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答． 菱形存在性问题 7．如图，抛物线过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大面积为， (3)存在，或或，，见解析 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果； （3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点代入解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，将点B、C代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：    ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为， ， ∴ （3）存在，或或或，，证明如下： ∵， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为：， 设点， 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 综上可得： 或或，． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 8．如图1，抛物线与x轴、y轴分别交于A，B，C三点，，，与x轴交于点F，以为边作等边三角形．      (1)求抛物线的解析式； (2)连接交与点M，交y轴于点P，连接求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，点Q为平面内一点，在平移过程中是否存在点Q，D，E，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点E的坐标，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或，或． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据等边三角形和直角三角形的性质，可知，即轴，从而得到，再求出直线EF的解析式即可求P点坐标； （3）设，根据菱形的性质，分三种情况讨论：①当为菱形的对角线时，，此时E（1，）或（1，）；②当为菱形的对角线时，，此时；③当为菱形的对角线时，，此时t无解． 【详解】（1）将，代入， ， 解得， ∴抛物线的解析式为x2x； （2）∵，， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∵, ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线EF的解析式为x， ∴； （3）存在点Q，使得以点A，D，E，Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设， ①当为菱形的对角线时，， ∴， 解得或， ∴，或； ②当为菱形的对角线时，， ∴， 解得， ∴； ③当AQ为菱形的对角线时，AE=AD， ∴，t无解； 综上所述：E点坐标为或，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式． (2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值． (3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点为或或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解； （3）根据题意，分别求得，①当为对角线时，，②当为边时，分，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧） 联立， 解得：或， ∴， ∴， ∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为． 则，， ∴，当时，取得最大值为， ∵， ∴当取得最大值时，最大， ∴， ∴面积的最大值； （3）∵抛物线与轴交于点， ∴，当时，，即， ∵， ∴, ，， ①当为对角线时，，    ∴，解得：，∴， ∵的中点重合，∴，解得：，∴， ②当为边时， 当四边形为菱形，    ∴，解得：或， ∴或， ∴或， 由的中点重合，∴或， 解得：或，∴或， 当时；如图所示，即四边形是菱形，    点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标， ∴点为或， 综上所述，点为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，细心的计算是解题的关键． 矩形、正方形存在性问题 10．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，交x轴的正半轴于点B，连接．    (1)求抛物线的解析式． (2)点P在抛物线上，连接，当时，求点P的坐标； (3)已知点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，同时点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿运动．当点M，N运动到某一时刻时，在坐标平面内是否存在点D，使得以A，M，N，D为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）先求出点A，点C的坐标，代入求出解析式即可； （2）过点C作交的延长线于点Q，过点Q作于点H，可以得到，则有 ，求出点的坐标，进而求出直线的解析式，联立求出交点坐标即可； （3）设运动时间为t秒，画出图形分情况利用相似求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴点，， ∵经过A，C两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）如图1， 图1 过点C作交的延长线于点Q，过点Q作于点H， ∵， ∴为等腰直角三角形， .∴， ∵, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在中，令得， 解得,， ∴点. ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴， 联立， 解得（舍）或 ∴点P的坐标为； （3）解：存在，点的坐标为或或； 设运动时间为t秒，如图2， 图2 当点M在上，点N在上时，则， ∴，易得， ∴， 即， 解得或（舍）， ∴， ∴，0，， 由平移得点D的坐标为 如图3， 图3 当点M恰好与点O重合，点N在上时，则. ∴ ∴点 如图4， 图4 当点在上，点N在上且时，则,， ∴.易得. ∴，即 解得，, ∴点 如图5， 图5 当点在上，点N在上且时，同理可得 .易得. ∴,即解得， ∴， ∴，，，∴由平移得点 综上所述，点的坐标为或或 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用分类讨论的数学方法是解题的关键． 11．如图，已知直线与抛物线交于点和两点，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于Q，于点N．    (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线下方时，求线段的最大值； (3)是否存在点P使得是直角三角形，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由； (4)坐标轴上是否存在点M，使得以点P，N，Q，M为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1)；(2) (3)存在，点P坐标为点P坐标为或或或 (4)存在，点M坐标为：或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点P坐标为，则点Q坐标为，求出的长，推出，利用二次函数的性质，求最值即可； （3）分，和三种情况分类讨论求解即可； （4）分点在轴上和在轴上两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）根据题意，设点P坐标为，则点Q坐标为 ∴ 设直线与y轴交于点C，则点C坐标为 ∴ ∴ ∵轴 ∴ ∴在中， ∴的最大值为； （3）解：存在， ①当时，如图：过点作，则：，    由（2）知，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； ②当时，如图：过点作轴于点，过点作于点，    则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴，解得：或（舍去）； ∴； ③当时，设，点在直线上方时，如图：过点作轴于点，过点作于点，    同②可得：， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， 又， ∴，解得：（舍掉）；（舍掉）；，， 当时，，当时，（舍掉）； ∴； 当点在下方时，过点作轴，过点作于点，过点作于点，    同法可得：， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， 又， ∴，解得：（舍掉）；（舍掉）；（舍掉），， 当时，， ∴； 综上：点P坐标为或或或； （4）存在； ①当在轴上时， ∵轴，则， ∴点在轴上，即：点与点重合，如图：    由（2）可知：时，，则：， ∵， ∴， ∵， ∴； 当在轴上时，与互相垂直平分， ∵轴， ∴轴， 设点P坐标为，则点Q坐标为，设，则点， ∴，即：， ∴， ∴， 当点位于直线下方时： 由（2）知：， ∵正方形， ∴，即：， 解得：或（舍去）， ∴ ∴ 当点在点左侧时：， ， ∵正方形， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴；    综上：或或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）经过点和点，点P在此抛物线上，其横坐标为m．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在x轴下方时，直接写出m的取值范围； (3)当点P在y轴右侧时，将抛物线B、P两点之间的部分（包括B、P两点）记为图象G，设图象G上最高点与最低点的纵坐标的差为h． ①求h与m之间的函数关系式； ②点Q在此抛物线的对称轴上，点D在坐标平面内，当时，以B、P、Q、D为顶点的四边形为矩形，且BP为矩形的一边，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入之中得到关于，的方程组，解方程组求出，即可得到抛物线的解析式； （2）先求出抛物线与轴的两个交点，，再根据抛物线的开口向下可得出当点在轴下方的抛物线上时，的取值范围； （3）①先求出抛物线的点为，对称轴为，点，分三种情况进行讨论：当，点为最低点，点为最高点，据此可求出与之间的函数关系式；当，此时最高点为抛物线的顶点，最低点为，据此可求出与之间的函数关系式；当，此时最高点为点，最低点为，据此可求出与之间的函数关系式； ②由①可知当时，，据此可求出点，再求出直线的解析式为，分两种情况进行讨论：当点在轴上方、当点在轴的下方；设点，利用勾股定理列式计算可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴抛物线与轴的两个交点，， 又∵抛物线的开口向下， ∴当点在轴下方的抛物线上时，的取值范围是：或； （3）解：①， ∴抛物线的点为，对称轴为直线， ∵点在轴右侧的抛物线上，且横坐标为， ∴点的坐标为， 分两种情况讨论如下： 当时， ∴点为最低点，点为最高点， ，其中， 当，此时最高点为抛物线的顶点，最低点为， 其中； 当，此时最高点为点，最低点为， ，其中， 综上所述：与之间的函数关系式是：， ②点的坐标为：或． 理由如下： 由①可知：当时，， ，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为：， 将点，代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴直线与对称轴的交点为， ∵以、、、为顶点的四边形为矩形，且为矩形的一边， ∴有以下两种情况： 当点在轴上方时，与对称轴的交点为，设点，    则，，， ， ∴，即， 整理得， 解得， 此时点的坐标为， 当点在轴的下方时，与对称轴的交点为，设点，    则，，， ， ∴，即， 整理得， 解得， 此时点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了求二次函数的解析式，顶点坐标、对称轴，矩形的性质等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，以及求二次函数顶点坐标、对称轴的方法，理解矩形的四个角都是直角，难点是分类讨论思想在解题中的应用． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．      (1)求抛物线的表达式； (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最小值为4 (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式； （2）先求出点，则，进一步得到是等腰直角三角形，则，如图①，过点P作轴，垂足为E，则是等腰直角三角形,由题意可知，则，即，又得到，则= ，利用二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，过点P作轴于点E，过M作，交点于点F，则.先证明，则，则，又，得到点M的坐标为，由点M在上，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， 则 ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）在中令，得， ∴， ∴     ∵， ∴， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形,， 如图①，过点P作轴，垂足为E，则是等腰直角三角形, 由题意可知 ， ∴，即， 又，   ∴， ∴ = = = ∵当P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， ∴， ∵, ∴当时，四边形的面积取得最小值4； （3）存在，理由如下： 如图②，连接，过点P作轴于点E，过M作，交点于点F，则.    ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，又， ∴点M的坐标为， ∵点M在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴M点的坐标为 【点睛】此题考查了二次函数和三角形综合题，用到了待定系数法、全等三角形的判定和性质、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，添加适当的辅助线是解决问题的关键． 14．如图，在矩形中，点为原点，、的长是方程的两根（）．抛物线经过点、，与交于点．      (1)求抛物线的函数解析式； (2)点为线段上一个动点（不与点重合），点为线段上一个动点，，连接，设，的面积为． ①求关于的函数表达式； ②当最大时，点的坐标为 ； ③当最大时，点在抛物线的对称轴上，点是平面内任意一点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①②③，，， 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线，即可求得抛物线的解析式； （2）①先用表示出的长度，进而求出三角形的面积关于的函数； ②先求出时取最大值，在求得直线的解析式，设，根据，勾股定理即可求解； ③由②可得时，取最大值，再根据点、、、为顶点的四边形是矩形，分情况求出的坐标． 【详解】（1）解： 解得： ∵ ∴，即, 将、两点坐标代入抛物线，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）①，， ， 过点作与点，则， ， ， ； ∴ ②∵， ∴当时，取最大值； ∴, 设直线的解析式为，将点代入得 解得： ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴ 解得：或（舍去） ∴, 故答案为：． ③在抛物线对称轴上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形∵抛物线的解析式为∵的对称轴为， ∴的坐标为， 又, ∴ 当时，则在直线上， ∵在对称轴上， ∴ 当时，则的纵坐标与点纵坐标相同， ∴， 当时， 设， 则， 即， 解得： ， ∴， 如图所示，设的中点为,则, ∵， ∴关于点对称， ∴，    综上所述，，，， 【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值，解一元二次方程，正弦的定义，掌握二次函数的性质是解题的关键．