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河南省漯河市郾城区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份河南省漯河市郾城区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知方程（a﹣2）x2+ax＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a≠2C．a＝2D．a＝0
3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0时可配方得（ ）
A．（x﹣2）2＝7B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝1D．（x+2）2＝2
4．抛物线y＝﹣x2﹣2x的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
5．二次函数y＝2x2+bx+3的图象顶点在x轴上，则常数b的值为（ ）
A．0B．6C．D．
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
7．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（ ）
A．32°B．58°C．64°D．116°
8．如图，⊙O中弦AB长为8，OC⊥AB，垂足为E，若CE＝2，则⊙O半径长是（ ）
A．10B．8C．6D．5
9．已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CDD．MN＝3CD
10．函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为 ．
12．将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式是 ．
13．如图，点F是等边△ABC内一点，将△ABF绕点B按顺时针方向旋转60°得△CBG，连接FG，则△BFG的形状是 ．
14．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC＝6，则AC的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为 ．
三、解答下列各题（共75分）
16．用适当的方法解下列方程．
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）．
17．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，2）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）求△A2B2C2的面积．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象顶点坐标为（1，﹣4）．
（1）求b，c的值；
（2）填空：①当0≤x≤3时，则y的取值范围是 ；
②若点A（m，y1）和Q（2，y2）在其图象上，且y1＞y2时，则实数m的取值范围是 ．
20．如图，在半径为4的⊙O中，E为的中点，OE交BC于F，D为⊙O上一点，DE交AC于G，AD＝AG．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，求ED的长．
21．某服装店计划销售一种保暖衬衣，已知销售x件这种保暖衬衣的成本每件m（元），售价每件n（元），且m，n与x的关系分别为，．（x为正整数）
（1）当销售量为多少件时，销售利润最大？
（2）若服装店想要获得不低于400元的利润，请直接写出销售量x的取值范围．
22．下面是小丽同学根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2+3|x|+2的图象与性质进行的探究过程．
（1）函数y＝﹣x2+3|x|+2的自变量x的取值范围是 ．
（2）列表
表格中m的值为 ．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+3|x|+2的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（4）对于上面的函数y＝﹣x2+3|x|+2，
下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是： ．
（5）结合函数图象，解决问题：
关于x的方程﹣x2+3|x|+2＝3有 个不相等的实数根．
23．已知△ABC为等边三角形，直线l过点C且与AB平行，点D在直线l上（不与点C重合），作射线DA．将射线DA绕点D顺时针旋转60°，与直线BC交于点E．
（1）如图1，当点E与点C重合时，请直接写出线段AD、DE之间的数量关系；
（2）当点E不与点C重合时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）若AC＝3，CD＝2，请直接写出CE的长．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B、C、D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
2．已知方程（a﹣2）x2+ax＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a≠2C．a＝2D．a＝0
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式a﹣2≠0，再解不等式即可．
解：∵方程（a﹣2）x2+ax＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣2≠0，
解得a≠2．
故选：B．
3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0时可配方得（ ）
A．（x﹣2）2＝7B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝1D．（x+2）2＝2
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把常数项移项、二次项系数化1，然后左右两边加上一次项系数一半的平方．
解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，
∴（x﹣2）2＝1．
故选：B．
4．抛物线y＝﹣x2﹣2x的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．
解：抛物线y＝﹣x2﹣2x的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1．
故选：B．
5．二次函数y＝2x2+bx+3的图象顶点在x轴上，则常数b的值为（ ）
A．0B．6C．D．
【分析】因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，根据Δ＝0，即可求出b的值．
解：∵二次函数y＝2x2+bx+3的图象顶点在x轴上，
∴△＝b2﹣4×2×3＝0，
解得b＝±2．
故选：D．
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAD＝45°，∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故选：C．
7．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（ ）
A．32°B．58°C．64°D．116°
【分析】先根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，故可得出∠A的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝58°，
∴∠A＝90°﹣58°＝32°，
∴∠BCD＝∠A＝32°．
故选：A．
8．如图，⊙O中弦AB长为8，OC⊥AB，垂足为E，若CE＝2，则⊙O半径长是（ ）
A．10B．8C．6D．5
【分析】连接OA，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OD＝r﹣2，先由垂径定理得到AD＝BD＝AB＝4，再由勾股定理得到42+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可．
解：连接OA，
设⊙O的半径为r，则OC＝OA＝r，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，
∵OC⊥AB，AB＝8，
∴AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5，
故选：D．
9．已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CDD．MN＝3CD
【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
解：由作图知CM＝CD＝DN，
∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；
∵OM＝ON＝MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∵CM＝CD＝DN，
∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；
设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，
则∠OCD＝∠OCM＝，
∴∠MCD＝180°﹣α，
又∵∠CMN＝∠CON＝α，
∴∠MCD+∠CMN＝180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：D．
10．函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，然后即可得到函数y＝a（x﹣b）2+c的图象的开口方向，顶点坐标解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意．
解：由y＝ax2+bx+c的图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∵函数y＝a（x﹣b）2+c，
∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象限，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为 3 ．
【分析】根据一元二次方程的解，把x＝1代入方程x2﹣4x+m＝0得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
解：把x＝1代入x2﹣4x+m＝0得1﹣4+m＝0，
解得m＝3．
故答案为：3．
12．将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式是 y＝x2+2 ．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
解：将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式是：y＝（x﹣1+1）2+2，即y＝x2+2．
故答案为y＝x2+2．
13．如图，点F是等边△ABC内一点，将△ABF绕点B按顺时针方向旋转60°得△CBG，连接FG，则△BFG的形状是 等边三角形 ．
【分析】根据旋转的性质可得BF＝BG，∠FBG＝60°，根据等边三角形的判定可得△BFG是等边三角形．
解：∵将△ABF绕点B按顺时针方向旋转60°得△CBG，
∴BF＝BG，∠FBG＝60°，
∴△BFG是等边三角形，
故答案为：等边三角形
14．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC＝6，则AC的长为 2 ．
【分析】如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．由切线的性质易证△AOP是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径＝2；然后在等边△AOD中得到AD＝OA＝2；最后通过解直角△ACD来求AC的长度．
解：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，
∴OA⊥AP，∠APO＝∠APB＝30°．
∴OP＝2OA，∠AOP＝60°，
∴PC＝2OA+OC＝3r＝6，则r＝2，
∵∠AOD＝60°，AO＝DO，
∴△AOD是等边三角形，则AD＝OA＝2，
又∵CD是直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝AD•ct30°＝2，
故答案为2．
15．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为 （0，﹣） ．
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），…，
发现是8次一循环，所以2021÷8＝252…5，
∴点B2021的坐标为（0，﹣）．
故答案为：（0，﹣）．
三、解答下列各题（共75分）
16．用适当的方法解下列方程．
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）．
【分析】（1）先变形为（x﹣1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
解：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0，
（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2），
x2﹣x+＝0，
（x﹣）2＝0，
∴x﹣＝0，
∴．
17．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）先计算出Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）分类讨论：当b＝c时，Δ＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程解出k＝1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，
方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，2）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）求△A2B2C2的面积．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）利用分割法求解即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，点A1（4，﹣1），B1（1，1），C1（3，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
（3）△A2B2C2的面积＝3×3﹣×2×3﹣×1×1﹣×3×2＝2.5．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象顶点坐标为（1，﹣4）．
（1）求b，c的值；
（2）填空：①当0≤x≤3时，则y的取值范围是 ﹣4≤y≤0 ；
②若点A（m，y1）和Q（2，y2）在其图象上，且y1＞y2时，则实数m的取值范围是 m＜0或m＞2 ．
【分析】（1）由题意得出该二次函数的顶点式为y＝（x﹣1）2﹣4，展开后，即可得到b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）①根据顶点式求得最小值，然后求得最大值，从而可以确定y的取值范围；
②根据二次函数的对称性求得对称轴，然后根据函数的增减性解答．
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），
∴该二次函数的顶点式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3，
∴b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）①∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3中a＝1＞0，且顶点为（1，﹣4），
∴有最小值﹣4，
当x＝3时y＝（3﹣1）2﹣4＝0，
∴当0≤x≤3时，y的取值范围﹣4≤y≤0，
故答案为﹣4≤y≤0；
②∵二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），
∴对称轴为直线x＝1，
∴Q（2，y2）的对称点为（0，y2），
∵点A（m，y1）和Q（2，y2）在其图象上，且y1＞y2，
∴m＜0或m＞2．
故答案为：m＜0或m＞2．
20．如图，在半径为4的⊙O中，E为的中点，OE交BC于F，D为⊙O上一点，DE交AC于G，AD＝AG．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，求ED的长．
【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，只要连接OD，再证∠ADO＝90°即可；
（2）作OH⊥ED于H，根据垂径定理得到DE＝2DH，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵E为的中点，
∴OE⊥BC于F，
∴∠AGD+∠ODE＝∠EGF+∠OED＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠AGD＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE＝90°．
即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥ED于H，
∴DE＝2DH，
∵∠ADG＝∠AGD，
∴AG＝AD，
∵∠A＝60°，
∴∠ADG＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∵OD＝4，
∴DH＝OD＝2，
∴DE＝2DH＝4．
21．某服装店计划销售一种保暖衬衣，已知销售x件这种保暖衬衣的成本每件m（元），售价每件n（元），且m，n与x的关系分别为，．（x为正整数）
（1）当销售量为多少件时，销售利润最大？
（2）若服装店想要获得不低于400元的利润，请直接写出销售量x的取值范围．
【分析】（1）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求出函数的最值；
（2）先求出利润等于400时自变量的值，再根据函数的性质得出结论．
解：（1）设可获得的利润为y元，根据题意，得
y＝x（n﹣m）＝x（x+120+x﹣70），
∴y＝﹣x2+50x＝﹣（x﹣25）2+625，
∵﹣1＜0，
∴当x＝25时，y有最大值，最大值为625，
∴当销售量为25件时，销售利润最大；
（2）令y＝400，则﹣x2+50x＝400，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40，
根据函数的性质，当10≤x≤40时，y≥400．
∴销售量10≤x≤40时，服装店获得的利润不低于400元．
22．下面是小丽同学根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2+3|x|+2的图象与性质进行的探究过程．
（1）函数y＝﹣x2+3|x|+2的自变量x的取值范围是 全体实数 ．
（2）列表
表格中m的值为 ．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+3|x|+2的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（4）对于上面的函数y＝﹣x2+3|x|+2，
下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是： ①④ ．
（5）结合函数图象，解决问题：
关于x的方程﹣x2+3|x|+2＝3有 4 个不相等的实数根．
【分析】（1）由绝对值的定义得到x的取值范围；
（2）将x＝1.5代入函数解析式求得m的值；
（3）根据已有函数图象得到当x＞0时的几个点的坐标，然后描点连线；
（4）结合函数图象得到正确的选项；
（5）结合函数图象与x轴的交点个数得到方程的实数根个数．
解：（1）由题意得，自变量x取值范围是任意实数；
故答案为：全体实数．
（2）当x＝1.5时，m＝；
故答案为：．
（3）函数图象如图所示；
（4）由图象可知，函数图象关于y轴对称，故①正确；
函数既有最大值，没有最小值，故②错误；
当x＞1时，y随x的增大先增大后减小，故③错误；
函数图象与x轴有2个公共点，故④正确；
故答案为：①④．
（5）由图象可知，函数y＝﹣x2+3|x|+2的图象与直线y＝3有4个交点，
∴方程﹣x2+3|x|+2＝3有4个不相等的实数根，
故答案为：4．
23．已知△ABC为等边三角形，直线l过点C且与AB平行，点D在直线l上（不与点C重合），作射线DA．将射线DA绕点D顺时针旋转60°，与直线BC交于点E．
（1）如图1，当点E与点C重合时，请直接写出线段AD、DE之间的数量关系；
（2）当点E不与点C重合时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）若AC＝3，CD＝2，请直接写出CE的长．
【分析】（1）结论：DA＝DE．证明△ADE是等边三角形，可得结论；
（2）结论成立．如图2中，过点D作DF∥AC，交CB的延长线于点F，证明△CDE≌△FDB（ASA），可得结论；
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点D在点C的右侧时，作DT∥CB交AC于点T．则△CDT是等边三角形．如图3﹣2中，当点D在点C的左侧时，作DT∥AC交CB于点T，则△CDT是等边三角形，利用全等三角形的性质求解即可．
解：（1）结论：DA＝DE．
理由：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠BAC＝60°，
∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA＝DE；
（2）结论成立．
理由：如图2中，过点D作DF∥AC，交CB的延长线于点F，
∵AB∥直线l，DF∥AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°，∠ACB＝∠CFD＝60°，
∴△CDF为等边三角形，
∴∠CDF＝60°，CD＝DF，
∵∠BDE＝60°，
∴∠BDF＝∠EDC，
又∵∠BFD＝∠ECD＝60°，CD＝DF，
∴△CDE≌△FDB（ASA），
∴DE＝DB；
（3）如图3﹣1中，当点D在点C的右侧时，作DT∥CB交AC于点T．则△CDT是等边三角形．
∴CD＝CT＝2，
∵AC＝3，
∴AT＝AC﹣CT＝3﹣2＝1，
同法可证，△DCE≌△DTA，
∴CE＝AT＝1．
如图3﹣2中，当点D在点C的左侧时，作DT∥AC交CB于点T，则△CDT是等边三角形，
∴CD＝CT＝2，
同法可证，△DTE≌△DCA，
∴TE＝AC＝3，
∴EC＝ET+CT＝3+2＝5，
综上所述，满足条件的CE的长为1或5．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1.5
﹣1
0
1
1.5
2
3
4
…
y
…
﹣2
2
4
4.25
4
2
4
m
4
2
﹣2
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1.5
﹣1
0
1
1.5
2
3
4
…
y
…
﹣2
2
4
4.25
4
2
4
m
4
2
﹣2
…
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知方程（a﹣2）x2+ax＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a≠2C．a＝2D．a＝0
3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0时可配方得（ ）
A．（x﹣2）2＝7B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝1D．（x+2）2＝2
4．抛物线y＝﹣x2﹣2x的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
5．二次函数y＝2x2+bx+3的图象顶点在x轴上，则常数b的值为（ ）
A．0B．6C．D．
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
7．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（ ）
A．32°B．58°C．64°D．116°
8．如图，⊙O中弦AB长为8，OC⊥AB，垂足为E，若CE＝2，则⊙O半径长是（ ）
A．10B．8C．6D．5
9．已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CDD．MN＝3CD
10．函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为 ．
12．将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式是 ．
13．如图，点F是等边△ABC内一点，将△ABF绕点B按顺时针方向旋转60°得△CBG，连接FG，则△BFG的形状是 ．
14．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC＝6，则AC的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为 ．
三、解答下列各题（共75分）
16．用适当的方法解下列方程．
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）．
17．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，2）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）求△A2B2C2的面积．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象顶点坐标为（1，﹣4）．
（1）求b，c的值；
（2）填空：①当0≤x≤3时，则y的取值范围是 ；
②若点A（m，y1）和Q（2，y2）在其图象上，且y1＞y2时，则实数m的取值范围是 ．
20．如图，在半径为4的⊙O中，E为的中点，OE交BC于F，D为⊙O上一点，DE交AC于G，AD＝AG．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，求ED的长．
21．某服装店计划销售一种保暖衬衣，已知销售x件这种保暖衬衣的成本每件m（元），售价每件n（元），且m，n与x的关系分别为，．（x为正整数）
（1）当销售量为多少件时，销售利润最大？
（2）若服装店想要获得不低于400元的利润，请直接写出销售量x的取值范围．
22．下面是小丽同学根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2+3|x|+2的图象与性质进行的探究过程．
（1）函数y＝﹣x2+3|x|+2的自变量x的取值范围是 ．
（2）列表
表格中m的值为 ．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+3|x|+2的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（4）对于上面的函数y＝﹣x2+3|x|+2，
下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是： ．
（5）结合函数图象，解决问题：
关于x的方程﹣x2+3|x|+2＝3有 个不相等的实数根．
23．已知△ABC为等边三角形，直线l过点C且与AB平行，点D在直线l上（不与点C重合），作射线DA．将射线DA绕点D顺时针旋转60°，与直线BC交于点E．
（1）如图1，当点E与点C重合时，请直接写出线段AD、DE之间的数量关系；
（2）当点E不与点C重合时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）若AC＝3，CD＝2，请直接写出CE的长．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B、C、D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
2．已知方程（a﹣2）x2+ax＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a≠2C．a＝2D．a＝0
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式a﹣2≠0，再解不等式即可．
解：∵方程（a﹣2）x2+ax＝0是关于x的一元二次方程，
∴a﹣2≠0，
解得a≠2．
故选：B．
3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0时可配方得（ ）
A．（x﹣2）2＝7B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝1D．（x+2）2＝2
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把常数项移项、二次项系数化1，然后左右两边加上一次项系数一半的平方．
解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，
∴（x﹣2）2＝1．
故选：B．
4．抛物线y＝﹣x2﹣2x的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．
解：抛物线y＝﹣x2﹣2x的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1．
故选：B．
5．二次函数y＝2x2+bx+3的图象顶点在x轴上，则常数b的值为（ ）
A．0B．6C．D．
【分析】因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，根据Δ＝0，即可求出b的值．
解：∵二次函数y＝2x2+bx+3的图象顶点在x轴上，
∴△＝b2﹣4×2×3＝0，
解得b＝±2．
故选：D．
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAD＝45°，∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故选：C．
7．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（ ）
A．32°B．58°C．64°D．116°
【分析】先根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，故可得出∠A的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝58°，
∴∠A＝90°﹣58°＝32°，
∴∠BCD＝∠A＝32°．
故选：A．
8．如图，⊙O中弦AB长为8，OC⊥AB，垂足为E，若CE＝2，则⊙O半径长是（ ）
A．10B．8C．6D．5
【分析】连接OA，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OD＝r﹣2，先由垂径定理得到AD＝BD＝AB＝4，再由勾股定理得到42+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可．
解：连接OA，
设⊙O的半径为r，则OC＝OA＝r，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，
∵OC⊥AB，AB＝8，
∴AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5，
故选：D．
9．已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CDD．MN＝3CD
【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
解：由作图知CM＝CD＝DN，
∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；
∵OM＝ON＝MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∵CM＝CD＝DN，
∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；
设∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝α，
则∠OCD＝∠OCM＝，
∴∠MCD＝180°﹣α，
又∵∠CMN＝∠CON＝α，
∴∠MCD+∠CMN＝180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：D．
10．函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，然后即可得到函数y＝a（x﹣b）2+c的图象的开口方向，顶点坐标解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意．
解：由y＝ax2+bx+c的图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∵函数y＝a（x﹣b）2+c，
∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象限，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为 3 ．
【分析】根据一元二次方程的解，把x＝1代入方程x2﹣4x+m＝0得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
解：把x＝1代入x2﹣4x+m＝0得1﹣4+m＝0，
解得m＝3．
故答案为：3．
12．将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式是 y＝x2+2 ．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
解：将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线解析式是：y＝（x﹣1+1）2+2，即y＝x2+2．
故答案为y＝x2+2．
13．如图，点F是等边△ABC内一点，将△ABF绕点B按顺时针方向旋转60°得△CBG，连接FG，则△BFG的形状是 等边三角形 ．
【分析】根据旋转的性质可得BF＝BG，∠FBG＝60°，根据等边三角形的判定可得△BFG是等边三角形．
解：∵将△ABF绕点B按顺时针方向旋转60°得△CBG，
∴BF＝BG，∠FBG＝60°，
∴△BFG是等边三角形，
故答案为：等边三角形
14．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB＝60°，PC＝6，则AC的长为 2 ．
【分析】如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．由切线的性质易证△AOP是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径＝2；然后在等边△AOD中得到AD＝OA＝2；最后通过解直角△ACD来求AC的长度．
解：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，
∴OA⊥AP，∠APO＝∠APB＝30°．
∴OP＝2OA，∠AOP＝60°，
∴PC＝2OA+OC＝3r＝6，则r＝2，
∵∠AOD＝60°，AO＝DO，
∴△AOD是等边三角形，则AD＝OA＝2，
又∵CD是直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝AD•ct30°＝2，
故答案为2．
15．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2021的坐标为 （0，﹣） ．
【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．
解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），…，
发现是8次一循环，所以2021÷8＝252…5，
∴点B2021的坐标为（0，﹣）．
故答案为：（0，﹣）．
三、解答下列各题（共75分）
16．用适当的方法解下列方程．
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）．
【分析】（1）先变形为（x﹣1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
解：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0，
（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2），
x2﹣x+＝0，
（x﹣）2＝0，
∴x﹣＝0，
∴．
17．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）先计算出Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）分类讨论：当b＝c时，Δ＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程解出k＝1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，
方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，2）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）求△A2B2C2的面积．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）利用分割法求解即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，点A1（4，﹣1），B1（1，1），C1（3，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
（3）△A2B2C2的面积＝3×3﹣×2×3﹣×1×1﹣×3×2＝2.5．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象顶点坐标为（1，﹣4）．
（1）求b，c的值；
（2）填空：①当0≤x≤3时，则y的取值范围是 ﹣4≤y≤0 ；
②若点A（m，y1）和Q（2，y2）在其图象上，且y1＞y2时，则实数m的取值范围是 m＜0或m＞2 ．
【分析】（1）由题意得出该二次函数的顶点式为y＝（x﹣1）2﹣4，展开后，即可得到b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）①根据顶点式求得最小值，然后求得最大值，从而可以确定y的取值范围；
②根据二次函数的对称性求得对称轴，然后根据函数的增减性解答．
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），
∴该二次函数的顶点式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3，
∴b＝﹣2，c＝﹣3；
（2）①∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3中a＝1＞0，且顶点为（1，﹣4），
∴有最小值﹣4，
当x＝3时y＝（3﹣1）2﹣4＝0，
∴当0≤x≤3时，y的取值范围﹣4≤y≤0，
故答案为﹣4≤y≤0；
②∵二次函数y＝x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），
∴对称轴为直线x＝1，
∴Q（2，y2）的对称点为（0，y2），
∵点A（m，y1）和Q（2，y2）在其图象上，且y1＞y2，
∴m＜0或m＞2．
故答案为：m＜0或m＞2．
20．如图，在半径为4的⊙O中，E为的中点，OE交BC于F，D为⊙O上一点，DE交AC于G，AD＝AG．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，求ED的长．
【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，只要连接OD，再证∠ADO＝90°即可；
（2）作OH⊥ED于H，根据垂径定理得到DE＝2DH，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵E为的中点，
∴OE⊥BC于F，
∴∠AGD+∠ODE＝∠EGF+∠OED＝90°，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠AGD＝∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE＝90°．
即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥ED于H，
∴DE＝2DH，
∵∠ADG＝∠AGD，
∴AG＝AD，
∵∠A＝60°，
∴∠ADG＝60°，
∴∠ODE＝30°，
∵OD＝4，
∴DH＝OD＝2，
∴DE＝2DH＝4．
21．某服装店计划销售一种保暖衬衣，已知销售x件这种保暖衬衣的成本每件m（元），售价每件n（元），且m，n与x的关系分别为，．（x为正整数）
（1）当销售量为多少件时，销售利润最大？
（2）若服装店想要获得不低于400元的利润，请直接写出销售量x的取值范围．
【分析】（1）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求出函数的最值；
（2）先求出利润等于400时自变量的值，再根据函数的性质得出结论．
解：（1）设可获得的利润为y元，根据题意，得
y＝x（n﹣m）＝x（x+120+x﹣70），
∴y＝﹣x2+50x＝﹣（x﹣25）2+625，
∵﹣1＜0，
∴当x＝25时，y有最大值，最大值为625，
∴当销售量为25件时，销售利润最大；
（2）令y＝400，则﹣x2+50x＝400，
整理得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40，
根据函数的性质，当10≤x≤40时，y≥400．
∴销售量10≤x≤40时，服装店获得的利润不低于400元．
22．下面是小丽同学根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2+3|x|+2的图象与性质进行的探究过程．
（1）函数y＝﹣x2+3|x|+2的自变量x的取值范围是 全体实数 ．
（2）列表
表格中m的值为 ．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+3|x|+2的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（4）对于上面的函数y＝﹣x2+3|x|+2，
下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是： ①④ ．
（5）结合函数图象，解决问题：
关于x的方程﹣x2+3|x|+2＝3有 4 个不相等的实数根．
【分析】（1）由绝对值的定义得到x的取值范围；
（2）将x＝1.5代入函数解析式求得m的值；
（3）根据已有函数图象得到当x＞0时的几个点的坐标，然后描点连线；
（4）结合函数图象得到正确的选项；
（5）结合函数图象与x轴的交点个数得到方程的实数根个数．
解：（1）由题意得，自变量x取值范围是任意实数；
故答案为：全体实数．
（2）当x＝1.5时，m＝；
故答案为：．
（3）函数图象如图所示；
（4）由图象可知，函数图象关于y轴对称，故①正确；
函数既有最大值，没有最小值，故②错误；
当x＞1时，y随x的增大先增大后减小，故③错误；
函数图象与x轴有2个公共点，故④正确；
故答案为：①④．
（5）由图象可知，函数y＝﹣x2+3|x|+2的图象与直线y＝3有4个交点，
∴方程﹣x2+3|x|+2＝3有4个不相等的实数根，
故答案为：4．
23．已知△ABC为等边三角形，直线l过点C且与AB平行，点D在直线l上（不与点C重合），作射线DA．将射线DA绕点D顺时针旋转60°，与直线BC交于点E．
（1）如图1，当点E与点C重合时，请直接写出线段AD、DE之间的数量关系；
（2）当点E不与点C重合时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
（3）若AC＝3，CD＝2，请直接写出CE的长．
【分析】（1）结论：DA＝DE．证明△ADE是等边三角形，可得结论；
（2）结论成立．如图2中，过点D作DF∥AC，交CB的延长线于点F，证明△CDE≌△FDB（ASA），可得结论；
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点D在点C的右侧时，作DT∥CB交AC于点T．则△CDT是等边三角形．如图3﹣2中，当点D在点C的左侧时，作DT∥AC交CB于点T，则△CDT是等边三角形，利用全等三角形的性质求解即可．
解：（1）结论：DA＝DE．
理由：如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠BAC＝60°，
∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DA＝DE；
（2）结论成立．
理由：如图2中，过点D作DF∥AC，交CB的延长线于点F，
∵AB∥直线l，DF∥AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°，∠ACB＝∠CFD＝60°，
∴△CDF为等边三角形，
∴∠CDF＝60°，CD＝DF，
∵∠BDE＝60°，
∴∠BDF＝∠EDC，
又∵∠BFD＝∠ECD＝60°，CD＝DF，
∴△CDE≌△FDB（ASA），
∴DE＝DB；
（3）如图3﹣1中，当点D在点C的右侧时，作DT∥CB交AC于点T．则△CDT是等边三角形．
∴CD＝CT＝2，
∵AC＝3，
∴AT＝AC﹣CT＝3﹣2＝1，
同法可证，△DCE≌△DTA，
∴CE＝AT＝1．
如图3﹣2中，当点D在点C的左侧时，作DT∥AC交CB于点T，则△CDT是等边三角形，
∴CD＝CT＝2，
同法可证，△DTE≌△DCA，
∴TE＝AC＝3，
∴EC＝ET+CT＝3+2＝5，
综上所述，满足条件的CE的长为1或5．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1.5
﹣1
0
1
1.5
2
3
4
…
y
…
﹣2
2
4
4.25
4
2
4
m
4
2
﹣2
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1.5
﹣1
0
1
1.5
2
3
4
…
y
…
﹣2
2
4
4.25
4
2
4
m
4
2
﹣2
…
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