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2021-2022学年广东省惠州市博罗实验学校九年级（上）期中数学试卷（解析版）
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这是一份2021-2022学年广东省惠州市博罗实验学校九年级（上）期中数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年广东省惠州市博罗实验学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分．）
1．（3分）方程x2﹣4=0的解是（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．﹣2
2．（3分）在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
5．（3分）由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
6．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．120°
7．（3分）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（ ）
A．22° B．26° C．32° D．68°
8．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
9．（3分）抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x+1）2+3 B．y=（x+1）2﹣3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+3
10．（3分）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）如图， A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C= 度．
12．（4分）圣诞节时，一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则可列方程为 ．
13．（4分）将一个正六边形绕着其中心，至少旋转 度可以和原来的图形重合．
14．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为 ．
15．（4分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c=0的两根是 ．
16．（4分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是 m．
[来源:学科网ZXXK]
三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣x﹣12=0．
18．（6分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
19．（6分）如图，已知点A、B、C的坐标分别为（0，0），（4，0），（5，2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）画出△AB′C′；
（2）求点C′的坐标．
四、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
21．（7分）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．
（1）求证：△BCE≌△B1CF；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．
22．（7分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？
五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（9分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．[来源:Z,xx,k.Com]
（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．
（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
25．（9分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的大小．
2017-2018学年广东省惠州市博罗实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分．）
1．（3分）方程x2﹣4=0的解是（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．﹣2
【解答】解：x2﹣4=0，
∴x2=4，
开平方得：x=±2．
故选：B．
2．（3分）在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．
故选：A．
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选：B．
4．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，
配方得（x﹣2）2=2．
故选：A．
5．（3分）由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【解答】解：由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
6．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．120°
【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．
7．（3分）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（ ）
A．22° B．26° C．32° D．68°
【解答】解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，
∴∠BOC=2∠A=136°．
∵OB=OC，
∴∠OBC==22°．
故选：A．
8．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°，
故选：B．
9．（3分）抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x+1）2+3 B．y=（x+1）2﹣3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+3
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2；
由“上加下减”的原则可知，抛物线y=（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2+3．
故选：D．
10．（3分）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，
故BE=CF=AG=2﹣x；
故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．
在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x．
则S△AEG=AE×AG×sinA=x（2﹣x）；
故y=S△ABC﹣3S△AEG
=﹣3×x（2﹣x）=（3x2﹣6x+4）．
故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C= 35 度．
【解答】解：∵∠AOB=70°，
∴∠C=∠AOB=35°．
故答案为：35．
12．（4分）圣诞节时，一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则可列方程为 x（x﹣1）=132 ．
【解答】解：设这个小组有x人，则每人应送出x﹣1张贺卡，由题意得：
x（x﹣1）=132，
故答案为：x（x﹣1）=132．
13．（4分）将一个正六边形绕着其中心，至少旋转 60 度可以和原来的图形重合．
【解答】解：∵正六边形的中心角==60°，
∴一个正六边形绕着其中心，至少旋转60°可以和原来的图形重合．
故答案60．
14．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为 110° ．
【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，
∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，
故答案为110°．
15．（4分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c=0的两根是 x1=﹣3，x2=1 ．
【解答】解：∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，[来源:学科网ZXXK]
∴设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），则=﹣1，解得x=1，
∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣3，x2=1．
故答案为：x1=﹣3，x2=1．
16．（4分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是 250 m．
【解答】解：设半径为r，
则OD=r﹣CD=r﹣50，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB，
在直角三角形AOD中，AO2=AD2+OD2，
即r2=（×300）2+（r﹣50）2=22500+r2+2500﹣100r，
r=250m．
答：这段弯路的半径是250m．
三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣x﹣12=0．
【解答】解：分解因式得：（x+3）（x﹣4）=0，
可得x+3=0或x﹣4=0，
解得：x1=﹣3，x2=4．
18．（6分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，则
AC=BC=AB
∵AB=8cm，OC=3cm
∴BC=4cm
在Rt△BOC中，OB==5cm
即⊙O的半径是5cm．
19．（6分）如图，已知点A、B、C的坐标分别为（0，0），（4，0），（5，2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）画出△AB′C′；
（2）求点C′的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△AB′C′即为所求；
（2）由（1）可知，点C′的坐标为（﹣2，5）．
四、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．
【解答】解：设剪去的小正方形的边长为xcm，
根据题意得：（20﹣2x）（10﹣2x）=56，
整理得：（x﹣3）（x﹣12）=0，
解得：x=3或x=12，
经检验x=12不合题意，舍去，
∴x=3，
则剪去小正方形的边长为3cm．
21．（7分）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．
（1）求证：△BCE≌△B1CF；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．
【解答】（1）证明：由题意得，BC=B1C，∠B=∠B1=60°，
又∵∠BCE+∠ECF=90°，
∠B1CF+∠ECF=90°，
∴∠BCE=∠B1CF，
在△BCE和△B1CF中，
，
∴△BCE≌△B1CF（ASA）；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直．理由如下：
证明：∵∠ECF=30°，
∴∠BCE=60°，[来源:Zxxk.Com]
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC=60°，得∠A1EO=60°，
又∵∠A1=30°，
∴∠A1EO=60°，
即AB与A1B1垂直．
22．（7分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？
【解答】解：连接OA、OC，
∵由题意知：AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，CD=20cm，
∴CG=CD=10cm，
在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC2=CG2+OG2，
OC2=102+（OC﹣2）2，
解得：OC=26（cm），
则OE=26cm﹣2cm﹣2cm=22cm，
∵在Rt△OEA中，由勾股定理得：OA2=OE2+AE2，
∴262=222+AE2，
∴AE=8，
∵OE⊥AB，OE过O，
∴AB=2AE=16cm．
五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OC=3OB，B（1，0），
∴C（0，﹣3）．
把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，得a=1，c=﹣3，
∴抛物线的解析式y=x2+2x﹣3．
（2）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，
如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．
设M（m，﹣m﹣3）则D（m，m2+2m﹣3），
DM=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+，
∴﹣1＜0，
∴当x=时，DM有最大值，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×4×3+×3×DM，此时四边形ABCD面积有最大值为6+×=．
（3）存在．
讨论：①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，
此时四边形ACP1E1为平行四边形．
∵C（0，﹣3），令﹣3=x2+2x﹣3
∴x1=0，x2=﹣2．
∴P1（﹣2，﹣3）．
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3），
∴可令P（x，3），3=x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6=0
解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，
此时存在点P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3），
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：
P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）．
24．（9分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．
（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．
（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，
根据题意得：x（40﹣2x）=200，
解得：x1=x2=10，
∴40﹣2x=20．
答：鸡场平行于墙的一边长为20m．
（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为ym，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2y）m，
根据题意得：y（40﹣2y）=250，
整理得：y2﹣20y+125=0．
∵△=（﹣20）2﹣4×1×125=﹣100＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即养鸡场面积不能达到250m2．
25．（9分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的大小．
【解答】解：（1）由旋转的性质知AP′=AP=6，∠P′AB=∠PAC，
∴∠P′AP=∠BAC=60°，
∴△P′AP是等边三角形，
∴PP′=6；
（2）∵P′B=PC=10，PB=8，
∴P′B2=P′P2+PB2，
∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB=90°，
∴∠APB=∠P′PB+∠P′PA=90°+60°=150°．
2017-2018学年广东省惠州市博罗实验学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分．）
1．（3分）方程x2﹣4=0的解是（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．﹣2
2．（3分）在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
5．（3分）由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
6．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．120°
7．（3分）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（ ）
A．22° B．26° C．32° D．68°
8．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
9．（3分）抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x+1）2+3 B．y=（x+1）2﹣3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+3
10．（3分）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）如图， A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C= 度．
12．（4分）圣诞节时，一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则可列方程为 ．
13．（4分）将一个正六边形绕着其中心，至少旋转 度可以和原来的图形重合．
14．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为 ．
15．（4分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c=0的两根是 ．
16．（4分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是 m．
[来源:学科网ZXXK]
三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣x﹣12=0．
18．（6分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
19．（6分）如图，已知点A、B、C的坐标分别为（0，0），（4，0），（5，2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）画出△AB′C′；
（2）求点C′的坐标．
四、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
21．（7分）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．
（1）求证：△BCE≌△B1CF；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．
22．（7分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？
五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（9分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．[来源:Z,xx,k.Com]
（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．
（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
25．（9分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的大小．
2017-2018学年广东省惠州市博罗实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分．）
1．（3分）方程x2﹣4=0的解是（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．﹣2
【解答】解：x2﹣4=0，
∴x2=4，
开平方得：x=±2．
故选：B．
2．（3分）在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（ ）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．
故选：A．
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选：B．
4．（3分）用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，
配方得（x﹣2）2=2．
故选：A．
5．（3分）由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【解答】解：由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
6．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．120°
【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．
7．（3分）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（ ）
A．22° B．26° C．32° D．68°
【解答】解：∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=68°，
∴∠BOC=2∠A=136°．
∵OB=OC，
∴∠OBC==22°．
故选：A．
8．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°，
故选：B．
9．（3分）抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x+1）2+3 B．y=（x+1）2﹣3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x﹣1）2+3
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2；
由“上加下减”的原则可知，抛物线y=（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2+3．
故选：D．
10．（3分）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，
故BE=CF=AG=2﹣x；
故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．
在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x．
则S△AEG=AE×AG×sinA=x（2﹣x）；
故y=S△ABC﹣3S△AEG
=﹣3×x（2﹣x）=（3x2﹣6x+4）．
故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C= 35 度．
【解答】解：∵∠AOB=70°，
∴∠C=∠AOB=35°．
故答案为：35．
12．（4分）圣诞节时，一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则可列方程为 x（x﹣1）=132 ．
【解答】解：设这个小组有x人，则每人应送出x﹣1张贺卡，由题意得：
x（x﹣1）=132，
故答案为：x（x﹣1）=132．
13．（4分）将一个正六边形绕着其中心，至少旋转 60 度可以和原来的图形重合．
【解答】解：∵正六边形的中心角==60°，
∴一个正六边形绕着其中心，至少旋转60°可以和原来的图形重合．
故答案60．
14．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为 110° ．
【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，
∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，
故答案为110°．
15．（4分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c=0的两根是 x1=﹣3，x2=1 ．
【解答】解：∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，[来源:学科网ZXXK]
∴设抛物线与x轴的另一交点为（x，0），则=﹣1，解得x=1，
∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣3，x2=1．
故答案为：x1=﹣3，x2=1．
16．（4分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是 250 m．
【解答】解：设半径为r，
则OD=r﹣CD=r﹣50，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB，
在直角三角形AOD中，AO2=AD2+OD2，
即r2=（×300）2+（r﹣50）2=22500+r2+2500﹣100r，
r=250m．
答：这段弯路的半径是250m．
三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣x﹣12=0．
【解答】解：分解因式得：（x+3）（x﹣4）=0，
可得x+3=0或x﹣4=0，
解得：x1=﹣3，x2=4．
18．（6分）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，则
AC=BC=AB
∵AB=8cm，OC=3cm
∴BC=4cm
在Rt△BOC中，OB==5cm
即⊙O的半径是5cm．
19．（6分）如图，已知点A、B、C的坐标分别为（0，0），（4，0），（5，2）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′．
（1）画出△AB′C′；
（2）求点C′的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△AB′C′即为所求；
（2）由（1）可知，点C′的坐标为（﹣2，5）．
四、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．
【解答】解：设剪去的小正方形的边长为xcm，
根据题意得：（20﹣2x）（10﹣2x）=56，
整理得：（x﹣3）（x﹣12）=0，
解得：x=3或x=12，
经检验x=12不合题意，舍去，
∴x=3，
则剪去小正方形的边长为3cm．
21．（7分）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B1A1C=30°）按图1的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图2所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．
（1）求证：△BCE≌△B1CF；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．
【解答】（1）证明：由题意得，BC=B1C，∠B=∠B1=60°，
又∵∠BCE+∠ECF=90°，
∠B1CF+∠ECF=90°，
∴∠BCE=∠B1CF，
在△BCE和△B1CF中，
，
∴△BCE≌△B1CF（ASA）；
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直．理由如下：
证明：∵∠ECF=30°，
∴∠BCE=60°，[来源:Zxxk.Com]
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC=60°，得∠A1EO=60°，
又∵∠A1=30°，
∴∠A1EO=60°，
即AB与A1B1垂直．
22．（7分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm．若水面上升2cm（EG=2cm），则此时水面宽AB为多少？
【解答】解：连接OA、OC，
∵由题意知：AB∥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，CD=20cm，
∴CG=CD=10cm，
在Rt△OGC中，由勾股定理得：OC2=CG2+OG2，
OC2=102+（OC﹣2）2，
解得：OC=26（cm），
则OE=26cm﹣2cm﹣2cm=22cm，
∵在Rt△OEA中，由勾股定理得：OA2=OE2+AE2，
∴262=222+AE2，
∴AE=8，
∵OE⊥AB，OE过O，
∴AB=2AE=16cm．
五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OC=3OB，B（1，0），
∴C（0，﹣3）．
把点B，C的坐标代入y=ax2+2ax+c，得a=1，c=﹣3，
∴抛物线的解析式y=x2+2x﹣3．
（2）由A（﹣3，0），C（0，﹣3）得直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，
如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．
设M（m，﹣m﹣3）则D（m，m2+2m﹣3），
DM=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+，
∴﹣1＜0，
∴当x=时，DM有最大值，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×4×3+×3×DM，此时四边形ABCD面积有最大值为6+×=．
（3）存在．
讨论：①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，
此时四边形ACP1E1为平行四边形．
∵C（0，﹣3），令﹣3=x2+2x﹣3
∴x1=0，x2=﹣2．
∴P1（﹣2，﹣3）．
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3），
∴可令P（x，3），3=x2+2x﹣3，得x2+2x﹣6=0
解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，
此时存在点P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3），
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：
P1（﹣2，﹣3），P2（﹣1+，3），P3（﹣1﹣，3）．
24．（9分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．
（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．
（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，
根据题意得：x（40﹣2x）=200，
解得：x1=x2=10，
∴40﹣2x=20．
答：鸡场平行于墙的一边长为20m．
（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为ym，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2y）m，
根据题意得：y（40﹣2y）=250，
整理得：y2﹣20y+125=0．
∵△=（﹣20）2﹣4×1×125=﹣100＜0，
∴该方程无解，
∴假设不成立，即养鸡场面积不能达到250m2．
25．（9分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的大小．
【解答】解：（1）由旋转的性质知AP′=AP=6，∠P′AB=∠PAC，
∴∠P′AP=∠BAC=60°，
∴△P′AP是等边三角形，
∴PP′=6；
（2）∵P′B=PC=10，PB=8，
∴P′B2=P′P2+PB2，
∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB=90°，
∴∠APB=∠P′PB+∠P′PA=90°+60°=150°．
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