2019-2020学年河北省张家口市某校初三（上）期中考试数学试卷

这是一份2019-2020学年河北省张家口市某校初三（上）期中考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 方程x2+x=0的解为( )
A.x=0B.x=−1
C.x1=0，x2=−1D.x1=1，x2=−1

2.
如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A.甲B.乙C.丙D.丁

3. 若yx=34，则x+yx的值为( )
A.1B.47C.54D.74

4. 某车间20名工人日加工零件数如表所示：
这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是( )
A.5，6，5B.5，5，6C.6，5，6D.5，6，6

5. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，若DE // BC，EF // AB，则下面所列比例式中正确的是( )

A.ADBD=DEBCB.BFBC=EFAD
C.AEEC=BFCFD.EFAB=DEBC

6. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为( )

A.83B.32C.3D.83或32

7. 某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意得方程为( )
A.50(1+x)2=175
B.50+50(1+x)2=175
C.50(1+x)+50(1+x)2=175
D.50+50(1+x)+50(1+x)2=175

8. 如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠BAC的值为( )

A.12B.22C.32D.13

9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD．若点A(1, 2)，B(2, 0)，D(5, 0)，则点A的对应点C的坐标是( )

A.(2, 5)B.(52, 5)C.(3, 5)D.(3, 6)

10. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2−8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A.3B.3C.6D.9

11. 如图，Rt△ABC中，∠A=90∘，AD⊥BC于点D，若BD:CD=3:2，则tanB=( )

A.32B.23C.62D.63

12. 如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE:AB=2:3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为( )

A.30B.27C.14D.32

13. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90∘，则GF的长为( )

A.2B.3C.4D.5

14. 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30∘；③AE=455；④AF=25，其中正确结论的个数有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题

如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A，B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了________秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．

三、解答题

随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)这次统计共抽查了________名学生，最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是________​∘;

(2)将条形统计图补充完整；

(3)运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有多少名？

关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．

已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=60∘．

(1)求证：△ABD∼△DCE；

(2)如果AB=3，EC=23，求DC的长．

当涂县某旅行社为吸引外地市民组团来大青山风景区旅游，推出了如图对话中的收费标准，上海某单位组织员工去大青山风景区旅游，共支付旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去大青山风景区旅游？


如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡比DE:EC=5:12，高为DE，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64∘，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45∘，其中A，C，E在同一直线上．

(1)求斜坡CD的高度DE；

(2)求大楼AB的高度（参考数据：sin64∘≈0.9，tan64∘≈2）．

如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB⋅AD，∠ADC=90∘，E为AB的中点．

(1)求证：△ADC∼△ACB；

(2)CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；

(3)若AD=4，AB=6，求ACAF的值．
参考答案与试题解析
2019-2020学年河北省张家口市某校初三（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
首先移项，再提取公因式，即可将一元二次方程因式分解，即可得出方程的解．
【解答】
解：x2+x=0，
x(x+1)=0，
解得：x1=0，x2=−1．
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
方差
算术平均数
【解析】
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】
解：∵ 甲和丙的平均数大于乙和丁的平均数，
∴ 从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵ S甲2∴ 甲的成绩比丙的成绩更稳定，
∴ 选择甲参赛.
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
比例的性质
【解析】
根据合分比性质求解．
【解答】
解：∵ yx=34，
∴ x+yx=1+yx=1+34=74．
故选D．
4.
【答案】
D
【考点】
众数
中位数
加权平均数
【解析】
根据众数、平均数和中位数的定义分别进行解答即可．
【解答】
解：从表格数据可得，5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；
把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，则中位数是6+62=6；
平均数是：4×2+5×6+6×5+7×4+8×320=6.
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
平行线分线段成比例
【解析】
根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：∵ DE // BC，∴ ADAB=DEBC，
∵BD≠AB，∴ ADBD≠DEBC，选项A不正确；
∵ DE // BC，EF // AB，
∴ BFBC=AEAC，EF=BD，EFAD=BDAD=ECAE，
显然∵ AEAC≠ECAE，
∴ BFBC≠EFAD，选项B不正确；
∵ EF // AB，∴ AEEC=BFCF，选项C正确；
∵ DE // BC，EF // AB，
∴ EFAB=CEAC，DEBC=AEAC，CE≠AE，
∴ EFAB≠DEBC，选项D不正确；
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的性质
相似三角形的判定
【解析】
由∠A是公共角，分别从当AEAB=ADAC，即AE8=26时，△AED∽△ABC与当AEAC=ADAB，即AE6=28时，△ADE∽△ABC，去分析求解即可求得答案．
【解答】
解：∵ ∠A是公共角，
∴ 当AEAB=ADAC，即AE8=26时，△AED∼△ABC，
解得：AE=83；
当AEAC=ADAB，即AE6=28时，△ADE∼△ABC，
解得：AE=32，
∴ AE的长为：83或32．
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
【解答】
解：二月份的产值为：50(1+x)，
三月份的产值为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2，
故第一季度总产值为：50+50(1+x)+50(1+x)2=175．
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
特殊角的三角函数值
勾股定理的逆定理
【解析】
连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【解答】
解：连接BC，如图，
由网格可得AB=BC=5，AC=10，
即AB2+BC2=AC2，
∴ △ABC为等腰直角三角形，
∴ ∠BAC=45∘，
则sin∠BAC=22，
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
位似变换
坐标与图形性质
【解析】
利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．
【解答】
解：∵ 以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD，且B(2, 0)，D(5, 0)，
∴ OBOD=25，
∵ A(1, 2)，
∴ C(52, 5)．
故选B．
10.
【答案】
B
【考点】
根与系数的关系
勾股定理
【解析】
根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．
【解答】
解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵ 直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2−8x+7=0的两个根，
∴ a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：
c2=a2+b2=(a+b)2−2ab
=16−7=9，
∴ c=3，
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的性质与判定
锐角三角函数的定义
【解析】
首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD:CD=3:2，设BD=3x，CD=2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值．
【解答】
解：在Rt△ABC中，
∵ AD⊥BC于点D，
∴ ∠ADB=∠CDA，
∵ ∠B+∠BAD=90∘，∠BAD+∠DAC=90∘，
∴ ∠B=∠DAC，
∴ △ABD∼△CAD，
∴ BDAD=ADCD.
∵ BD:CD=3:2，
设BD=3x，CD=2x，
∴ AD=3x⋅2x=6x，
则tanB=ADBD=6x3x=63．
故选D．
12.
【答案】
A
【考点】
平行四边形的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及面积的和差求解．
【解答】
解：∵ BEAB=23，∴ BEAE=25.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，CD // AB，BC // AD，
∴ △BEF∼△AED，
∴ S△BEFS△AED=(25)2=425，
∵△BEF的面积为4，
∴ S△AED=25，
∴ S四边形ABFD=S△AED−S△BEF=21.
∵ AB=CD，BEAB=23，∴ BECD=23.
∵ AB // CD，∴ △BEF∼△CDF，
∴ S△BEFS△CDF=(BECD)2=(23)2=49，
∴ S△CDF=9，
∴ S平行四边形ABCD=S四边形ABFD+S△CDF
=21+9=30.
故选A.
13.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的性质与判定
正方形的性质
勾股定理
【解析】
由在正方形ABCD中，∠GEF=90∘，易证得△AGE∽△BEF，又由E为AB的中点，AG=1，BF=2，根据相似三角形的对应边成比例，易求得AE与BE的长，然后由勾股定理求得答案．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A=∠B=90∘，
∴ ∠AGE+∠AEG=90∘，
∵ ∠GEF=90∘，
∴ ∠AEG+∠BEF=90∘，
∴ ∠AGE=∠BEF，
∴ △AGE∼△BEF，
∴ AGBE=AEBF，
∵ E为AB的中点，
∴ AE=BE，
∵ AG=1，BF=2，
∴ 1AE=AE2，
解得：BE=AE=2，
在Rt△AEG中，GE2=AG2+AE2=3，
在Rt△BEF中，EF2=BE2+BF2=6，
∴ 在Rt△GEF中，GF=GE2+EF2=3．
故选B．
14.
【答案】
C
【考点】
相似三角形的性质与判定
特殊角的三角函数值
矩形的性质
【解析】
根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，等量代换得到∠BAE=∠CAD，故①正确；根据三角函数的定义得到tan∠DBC=CDBC=12，于是得到∠DBC≠30∘，故②错误；由勾股定理得到BD=BC2+CD2=25，根据相似三角形的性质得到AE=455；故③正确；根据角平分线的定义得到∠BCF=45∘，求得∠ACF=45∘−∠ACB，推出∠EAC=2∠ACF，根据外角的性质得到∠EAC=∠ACF+∠F，得到∠ACF=∠F，根据等腰三角形的判定得到AF=AC，于是得到AF=25，故④正确．
【解答】
解：在矩形ABCD中，∵ ∠BAD=90∘，
∵ AE⊥BD，
∴ ∠AED=90∘，
∴ ∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90∘，
∴ ∠BAE=∠ADB.
∵ ∠CAD=∠ADB，
∴ ∠BAE=∠CAD，故①正确；
∵ BC=4，CD=2，
∴ tan∠DBC=CDBC=12，tan30∘=33，
∴ ∠DBC≠30∘，故②错误；
∵ BD=BC2+CD2=25.
∵ AB=CD=2，AD=BC=4，
∵ △ABE∼△DBA，
∴ AEAD=ABBD，
即AE4=225，
∴ AE=455，故③正确；
∵ CF平分∠BCD，
∴ ∠BCF=45∘，
∴ ∠ACF=45∘−∠ACB.
∵ AD // BC，
∴ ∠DAC=∠BAE=∠ACB，
∴ ∠EAC=90∘−2∠ACB，
∴ ∠EAC=2∠ACF.
∵ ∠EAC=∠ACF+∠F，
∴ ∠ACF=∠F，
∴ AF=AC，
∵ AC=BD=25，
∴ AF=25，故④正确，
综上，正确结论的个数为3个.
故选C.
二、填空题
【答案】
2或103
【考点】
动点问题
一元二次方程的应用
【解析】
设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，分类讨论当0【解答】
解：设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，
当0PB=6−x，BQ=2x，
所以S△PBQ=12PB⋅BQ=12×2x×(6−x)=8，
解得x=2或4，
又知x<3，
故x=2符合题意，
当3S△PBQ=12(6−x)×6=8，
解得x=103．
故答案为：2或103．
三、解答题
【答案】
120,54
(2)喜欢使用短信的人数为 120−18−24−66−2=10 （名），
条形统计图为：
(3)1200×66120=660(名)
所以估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有660名.
【考点】
条形统计图
扇形统计图
用样本估计总体
【解析】
（1）用喜欢使用微信的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出喜欢使用短信的人数，然后补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜欢用QQ进行沟通的学生所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】
解：(1)这次统计共抽查学生 24÷20%=120 （名），
其中最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是 360∘×18120=54∘.
(2)喜欢使用短信的人数为 120−18−24−66−2=10 （名），
条形统计图为：
(3)1200×66120=660(名)
所以估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有660名.
【答案】
(1)证明：∵ 在方程x2−(k+3)x+2k+2=0中，
Δ=[−(k+3)]2−4×1×(2k+2)=k2−2k+1=(k−1)2≥0，
∴ 方程总有两个实数根．
(2)解：∵ x2−(k+3)x+2k+2=(x−2)(x−k−1)=0，
∴ x1=2，x2=k+1．
∵ 方程有一根小于1，
∴ k+1<1，解得：k<0，
∴ k的取值范围为k<0．
【考点】
一元二次方程根的分布
根的判别式
解一元一次不等式
【解析】
(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得△=(k−1)2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
(2)利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2=k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】
(1)证明：∵ 在方程x2−(k+3)x+2k+2=0中，
Δ=[−(k+3)]2−4×1×(2k+2)=k2−2k+1=(k−1)2≥0，
∴ 方程总有两个实数根．
(2)解：∵ x2−(k+3)x+2k+2=(x−2)(x−k−1)=0，
∴ x1=2，x2=k+1．
∵ 方程有一根小于1，
∴ k+1<1，解得：k<0，
∴ k的取值范围为k<0．
【答案】
(1)证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B=∠C=60∘，AB=AC，
∵ ∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60∘，
∴ ∠BAD=∠CDE
∴ △ABD∼△DCE；
(2)解：由(1)证得△ABD∼△DCE，
∴ BDAB=CEDC，
设CD=x，则BD=3−x，
∴ 3−x3=23x，
∴ x=1或x=2，
∴ DC=1或DC=2．
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
（1）△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60∘，AB=AC，推出∠BAD=∠CDE，得到△ABD∽△DCE；
(2)由△ABD∽△DCE，得到BDAB=CEDC，然后代入数值求得结果．
【解答】
(1)证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B=∠C=60∘，AB=AC，
∵ ∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60∘，
∴ ∠BAD=∠CDE
∴ △ABD∼△DCE；
(2)解：由(1)证得△ABD∼△DCE，
∴ BDAB=CEDC，
设CD=x，则BD=3−x，
∴ 3−x3=23x，
∴ x=1或x=2，
∴ DC=1或DC=2．
【答案】
解：设该单位这次共有x名员工去北京风景区旅游．
因为1000×25=25000<27000，所以员工人数一定超过25人．
可得方程[1000−20(x−25)]x=27000．
整理得x2−75x+1350=0，
解得x1=45，x2=30．
当x1=45时，1000−20(x−25)=600<700，故舍去x1；
当x2=30时，1000−20(x−25)=900>700，符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去大青山风景区旅游.
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
首先根据共支付旅游费用27000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去北京旅游．即可由对话框，超过25人的人数为(x−25)人，每人降低20元，共降低了20(x−25)元．实际每人收了[1000−20(x−25)]元，列出方程求解．
【解答】
解：设该单位这次共有x名员工去北京风景区旅游．
因为1000×25=25000<27000，所以员工人数一定超过25人．
可得方程[1000−20(x−25)]x=27000．
整理得x2−75x+1350=0，
解得x1=45，x2=30．
当x1=45时，1000−20(x−25)=600<700，故舍去x1；
当x2=30时，1000−20(x−25)=900>700，符合题意．
答：该单位这次共有30名员工去大青山风景区旅游.
【答案】
解：(1)设DE=5x米，则EC=12x米，
∴ (5x)2+(12x)2=132，
解得，x=1，
∴ 5x=5，12x=12，
即DE=5米，EC=12米，
故斜坡CD的高度DE是5米.
(2)∵ tan64∘=ABAC，tan45∘=AB−DEEC+AC，DE=5米，CE=12米，
∴ 2=ABAC，1=AB−512+AC，
解得，AB=34米，AC=17米，
即大楼AB的高度是34米．
【考点】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】
（1）根据在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1:125，高为DE，可以求得DE的高度；
（2）根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB的高度．
【解答】
解：(1)设DE=5x米，则EC=12x米，
∴ (5x)2+(12x)2=132，
解得，x=1，
∴ 5x=5，12x=12，
即DE=5米，EC=12米，
故斜坡CD的高度DE是5米.
(2)∵ tan64∘=ABAC，tan45∘=AB−DEEC+AC，DE=5米，CE=12米，
∴ 2=ABAC，1=AB−512+AC，
解得，AB=34米，AC=17米，
即大楼AB的高度是34米．
【答案】
解：(1)∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠DAC=∠CAB，
又∵ AC2=AB⋅AD，
∴ AD:AC=AC:AB，
∴ △ADC∼△ACB.
(2)CE // AD.
理由：∵ △ADC∼△ACB，
∴ ∠ACB=∠ADC=90∘，
又∵ E为AB的中点，
∴ CE=12AB=AE，
∴ ∠EAC=∠ECA，
∵ ∠DAC=∠CAE，
∴ ∠DAC=∠ECA，
∴ CE // AD.
(3)∵ AD=4，AB=6，CE=12AB=AE=3，
∵ CE // AD，
∴ ∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，
∴ △CEF∼△ADF，
∴ CFAF=CEAD=34，
∴ ACAF=74．
【考点】
相似三角形的性质与判定
相似三角形的判定
平行线的判定
【解析】
（1）根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行求解；
（2）根据∠EAC=∠ECA，∠DAC=∠CAE，即可得出∠DAC=∠ECA，进而得到CE // AD；
（3）先根据∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，判定△CEF∽△ADF，即可得出CFAF=CEAD=34，进而得到ACAF=74．
【解答】
解：(1)∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠DAC=∠CAB，
又∵ AC2=AB⋅AD，
∴ AD:AC=AC:AB，
∴ △ADC∼△ACB.
(2)CE // AD.
理由：∵ △ADC∼△ACB，
∴ ∠ACB=∠ADC=90∘，
又∵ E为AB的中点，
∴ CE=12AB=AE，
∴ ∠EAC=∠ECA，
∵ ∠DAC=∠CAE，
∴ ∠DAC=∠ECA，
∴ CE // AD.
(3)∵ AD=4，AB=6，CE=12AB=AE=3，
∵ CE // AD，
∴ ∠FCE=∠DAC，∠CEF=∠ADF，
∴ △CEF∼△ADF，
∴ CFAF=CEAD=34，
∴ ACAF=74．
甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
日加工零件数
4
5
6
7
8
人数
2
6
5
4
3