专题02 全等三角形中的辅助线与模型
倍长中线
1.(2022·南通期中)如图,是的边上的中线,,,则的值可以是
A.5 B.6 C.7 D.8
2.(2022·无锡期中)如图,在中,,,是边上的中线,,则的面积是 .
3.(2022·遵义期中)如图,中,,是的中点,求证:平分.
4.(2022·南京月考)已知:和△,、分别为、中点,且,.
(1)当,求证:△.
(2)当时,求证:△.
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.
(3)当时,求证:△.
截长补短
5.(2022·重庆月考)已知:平分,,.求证:.
6.(2022·吉安期中)如图,在中,,均为的角平分线且相交于点.
(1)填空: .
(2)求证:.
7.(2022·南京期中)如图,在中,,
(1)若,,求的度数;
(2)若,求证:平分.
角平分线模型
8.(2022·扬州期中)如图,点是平分线上的一点,,,,则的长不可能是
A.3 B.4 C.5 D.6
9.(2022·常州期中)如图,的面积为,垂直于的平分线于,则的面积为
A. B. C. D.
10.(2022·黄冈期中)如图,中,是的角平分线,,,若的最大值为30,则长为 .
一线三等角模型——三垂直模型
11.(2022·杭州期中)如图,在中,,,是经过点的一条直线,且,在的两侧,于,于,,,则的长为
A.2 B.3 C.5 D.4
12.(2022·南通期中)如图,中,,为上一点,是上一点,且,,若,则的长是 .
13.(2022·无锡期中)如图,,,,则的面积为
A.8 B.12 C.14 D.16
手拉手模型(旋转中的全等模型)
14.(2022·无锡期中)如图,在中,,为上的一点,,在的右侧作,使得,,连接,,交于点,若,则的度数为 .
15.(2022·无锡期中)如图,在和中,,,,且点,,在同一直线上,点,在同侧,连结,交于点.若,则
.
16.(2022·南通期中)如图,在中,,,点是边上的一个动点,连接,以为边作,使,.为的中点,连接,则线段的最小值为 .
【倍长中线】
17.(2021·德州期末)(1)方法呈现:如图①:在中,若,,点为边的中点,求边上的中线的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:
延长到点,使,再连接,可证,从而把、,集中在中,利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 (直接写出范围即可).这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”;
(2)探究应用:
如图②,在中,点是的中点,于点,交于点,交于点,连接,判断与的大小关系,并说明理由;
(3)问题拓展:
如图③,在四边形中,,与的延长线交于点,点是的中点,若是的角平分线,试探究线段、、之间的数量关系,并说明理由.
【截长补短】
18.(2022·淮安期中)【初步探索】
截长补短法,是初中几何题中一种添加辅助线的方法,也是把几何题化难为易的一种策略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等,补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起,从而解决问题.
(1)如图1,是等边三角形,点是边下方一点,,探索线段、、之间的数量关系;
【灵活运用】
(2)如图2,为等边三角形,直线,为边上一点,交直线于点,且.求证:;
【延伸拓展】
(3)如图3,在四边形中,,.若点在的延长线上,点在的延长线上,满足,请直接写出与的数量关系.
【一线三等角模型】
19.(2022·东台期中)如图1:点、、在一条直线上,,当时,有.理由:
,,,
请将全等证明过程补充完整.
【模型运用】如图,,,求的面积;
【能力提升】如图3:在等边中,,分别为、边上的动点,,连接,以为边在内作等边,连接,当点从点向点运动(不与点重合)时,的度数变化吗?如不变请求出它的度数,如变化,请说明它是怎样变化的?
20.(2022·连云港期中)在直线上依次取互不重合的三个点,,,在直线上方有,且满足.
(1)如图1,当时,猜想线段,,之间的数量关系是 ;
(2)如图2,当时,问题(1)中结论是否仍然成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)拓展与应用:如图3,当时,点为平分线上的一点,且,分别连接,,,,试判断的形状,并说明理由.
【手拉手模型(旋转中的全等模型)】
21.(2022·南通月考)在中,,点是直线上的一点(不与点、重合),以为腰右侧作等腰三角形,且,,连接.
(1)如图1,当点在线段上,如果,则 度.
(2)设,.
①点是在线段上移动时,如图2,则、之间有怎样的数量关系?试说明理由.
②点是在射线上移动时,则、之间有怎样的数量关系?试直接写出结论.
22.(2022·徐州期中)在中,,.将一个含角的直角三角尺按图1所示放置,使直角三角尺的直角顶点恰好落在边的中点处,将直角三角尺绕点旋转,设交于点,交于点,示意图如图2所示.
(1)证明推断求证:;小明给出的思路:若要证明,只需证明即可,请你根据小明的思路完成证明过程;
(2)延伸发现连接,,如图3所示,求证:;
(3)迁移应用延长交于点,交于点.在图3中完成如上作图过程,猜想并证明和的位置关系.
23.(2022·无锡期中)在学习全等三角形的知识时,数学兴趣小组发现这样一个模型:它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的,在相对位置变化的同时,始终存在一对全等三角形.兴趣小组成员经过研讨给出定义:如果两个等腰三角形的顶角相等,且顶角的顶点互相重合,则称此图形为“手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边,可以形象地看作两双手,所以通常称为“手拉手模型”.
(1)如图1,与都是等腰三角形,,,且,则有 .
(2)如图2,已知,以、为边分别向外作等边和等边,并连接,,则 .
(3)如图3,在两个等腰直角三角形和中,,,,连接,,交于点,请判断和的关系,并说明理由.
【半角模型】
24.(2022·南京月考)【问题背景】
如图1:在四边形中,,,,、分别是、上的点,且,试探究图中线段、、之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是:延长到点,使,连接,先证明,再证明,可得出结论,他的结论应是 .
【探索延伸】如图2,若在四边形中,,,、分别是,上的点,且,上述结论是否仍然成立,并说明理由.
【学以致用】
如图3,四边形是边长为5的正方形,,直接写出的周长.