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数学1.2.4 绝对值优秀课后复习题
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这是一份数学1.2.4 绝对值优秀课后复习题，共23页。试卷主要包含了阅读下面材料，、、是有理数且，则的值是等内容，欢迎下载使用。
专题03�绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3
C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
3．若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，当x取任意有理数时，代数式的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（ ）．
A． B． C．0 D．
5．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是( )
A．-1 B．1 C．3 D．-3
6．如果++=-1，那么+++的值为（ ）
A． B． C．0 D．不确定
7．、、是有理数且，则的值是（ ）
A． B．3或 C．1 D．或1
8．已知、两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．±1 D．1
10．设a，b，c为非零实数，且，，，化简的结果是（ ）
A． B．b C． D．
评卷人
得分
二、填空题
11．代数式，当时，可化简为 ；若代数式的最大值为与最小值为，则的值 ．
12．最小值为 ．
13．已知x为有理数，且，则x的值为 ．
14．当时，化简：的值为 ．
15．是有理数，它在数轴上的对应点的位置如图所示．则 ．
16．已知有理数，则化简的结果是 ．
17．有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，则化简 ．
18．在数轴上表示三个数的点的位置如图所示，化简式子：结果为 ．
19．已知，，都是不等于0的有理数，且的最大值是，最小值是，则 ．
20．若关于的方程有唯一解，则的取值范围是 .
评卷人
得分
三、解答题
21．同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5－（－2）|＝ __________．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_______________．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
22．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的
距离；可以理解为数轴上表示 3 与﹣1 的两点之间的距离．
从“数”的角度看：数轴上表示 4 和﹣3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） ．
根据以上阅读材料探索下列问题：
(1)数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是 ；（直接写出最终结果）
(2)①若数轴上表示的数 x 和﹣2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ；
②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为 ．
23．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索
(1)求|5﹣（﹣2）|＝ ．
(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是 ．
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
24．我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为________，数x与-1所对应的点的距离为________；
（2）求的最大值；
（3）直接写出的最大值为______．
25．阅读下列材料:我们知道a的几何意义是在数轴上数a对应的点与原点的距离.数轴上数a与数0对应点之间的距离，这 个结论可以推广为: |a- b|均表示在数轴上数a与b对应点之间的距离，例:已知|a-1|=2， 求a的值.
解:在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和-1，即a的值为3和-1.
仿照阅读材料的解法，解决下列问题
(1)已知，求a的值.
(2)若数轴上表示a的点在-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值为___
(3)当a满足什么条件时，|a-1|+ |a+2|有最小值，最小值是多少?
26．同学们都知道，根据绝对值的几何意义，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|4﹣（﹣2）|＝ ；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|＝6成立，并说明理由．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
27．同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5－（－2）|＝______．
（2）若成立，则x＝_________．
（3）请你写出的最小值为________．并确定相应的x的取值范围是______．
28．阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x为 ；
（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有 ；
（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解．
29．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离，一般地，点、点在数轴上分别表示有理数，那么点、点之间的距离可表示为．
(1)点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离与点到点的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：
①找出满足的的所有值是______．
②设，当x的值取在不小于且不大于的范围时，的值是不变的，此时取最小值是______；最小值是______．
(3)求的最小值为______，此时的值为______．
30．若a，b，c是有理数，|a|=3，|b|=10，|c|=5，且 a，b异号，b，c 同号，求a－b-（-c）的值.
31．已知，求．
32．已知，有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示，化简：．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意将可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.
【详解】可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，
当x<-2时，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；
当时，=（x+2）+（5-x）=7；
当x>5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3；
∴有最小值，最小值为7，此时，
故选：D.
【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到表示的意义，再利用分类思想解答问题.
2．C
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．
【详解】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，
∴a＝3，b＝﹣3．
故选：C．
【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．
3．B
【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，可知当x处于2和6中间时，|x-6|+|x-2|取得最小值，即为数轴上2和6之间的距离．
【详解】解：∵|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，
∴|x-6|+|x-2|表示数轴上数x与6和数x与2对应的点之间的距离之和，
∴当2≤x≤6时，代数式|x-6|+|x-2|有最小值，最小值为|6-2|=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离是解题的关键．
4．A
【分析】根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可．
【详解】根据数轴上点的位置得：，且，
则，，，
则．
故选A．
【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简，掌握获取数轴信息，熟练化简是解题的关键．
5．D
【分析】先根据数轴求出－1
．
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值的计算，解题的关键是注意去掉绝对值后，要保证得数是非负数．
6．C
【详解】解：，所以，，中有一个正数，二个负数．
不妨设，，，则．故选．
点睛：本题考查了有理数的除法，利用得出a、b、c有一个正数，二个负数是解题关键．
7．D
【分析】根据，则这三个数中一定有一个或三个数为负数两种情况进行讨论，得出结果即可．
【详解】∵，
∴ｘ、y、z这三个数中有一个或三个数为负数，
当这三个数中有一个负数时，假设，，，
则；
当这三个数中有三个负数时，假设，，，
则；故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确进行分类讨论是解题的关键．
8．A
【分析】由数轴可知b<-1<10，b+1<0，化简绝对值再合并即可．
【详解】解：由数轴可知，b<-1<1
∴
=a+b-b-1
=a-1，
故选：A．
【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，判断式子的正负，化简绝对值，正确理解数轴上数的大小关系是解题的关键．
9．A
【分析】根据绝对值的性质和a、b、c的正负分情况讨论化简计算即可．
【详解】解：当a、b、c同为正数时，=1+1+1=3不满足条件；
当a、b、c为两正一负时，=1+1－1=1满足条件，此时abc＜0，
∴==－1；
当a、b、c为两负一正时，=1－1－1=－1不满足条件；
当a、b、c同为负数时，=－1－1－1=－3不满足条件，
综上，=－1，
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
10．B
【分析】根据绝对值的性质进行化简即可：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
【详解】解：∵，，即，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
则原式，
故选：B．
【点睛】此题考查了绝对值的性质，同时注意根据有理数的运算法则正确判断含有字母的式子的符号．
11． 3 -9
【分析】当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可．
【详解】解：当时，x-1＜0，x+2＜0，
∴，
当时，，
当x＞1时，
∵当时，，
∴代数式的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，
∴ab=-9，
故答案为：3，-9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．
12．5
【分析】先分区间确定零点，x+2=0和x-3=0，分三种情况，和分别化去绝对值符号，合并化简，根据x的范围确定每个区间中绝对值式子的值的范围即可确定最小值．
【详解】令x+2=0，x-3=0，求得x=-2与x=3，
当时，
，
∵，
∴，
当时，
，
当，
，
的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查利用绝对值化简求最小值问题，掌握绝对值化简得技巧，会根据绝对值的个数分区间化去绝对值符号是解题关键．
13．0
【分析】根据得出，进而得出，然后根据绝对值的意义分类讨论，舍去不符合题意的答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴（舍）或，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，读懂题意，运用分类讨论的思想解题是关键．
14．/
【分析】根据考查了化简绝对值，先得出式子的正负，然后根据正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是；化简即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了化简绝对值，熟知正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是；是解本题的关键．
15．14
【分析】由数轴可知-6< x < 0，则x - 7< 0，x+7 > 0，再去掉绝对值，可解．
【详解】由数轴可知-6
∴|x- 7|+|x+7|=7-x+x+7=14
故答案为14．
【点睛】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，在去掉绝对值的时候，要特别细心．
16．
【分析】先根据已知条件判断每个绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后去括号，合并同类项即可．
【详解】∵a < - 1，
∴a + 1< 0，1- a > 0，
∴
= (- a -1) + (1- a)
= - a -1+1- a
= -2a，
故答案为： -2a．
【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，掌握以上知识是解题的关键．
17．4a-b
【分析】根据数轴可以判断a、b、c的正负和它们的绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子．
【详解】解：由数轴可得，
a＜b＜c，|b|＜|c|＜|a|，
∴|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|c﹣2a|
＝b+c﹣2（b﹣a）﹣（c﹣2a）
＝b+c﹣2b+2a﹣c+2a
＝4a-b．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．
【分析】由数轴可知：b＞a＞0，c＜0，再由这个确定所求绝对值中的正负值就可求出此题．
【详解】解：∵b＞a＞0，c＜0，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了数轴和绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．数轴原点左边的为负数，原点右边的为正数，在数轴上右边的数比左边的数大．
19．0
【分析】）当a，b，c为正数时，有最大值3，当a，b，c为负数时，有最小值-3，求得m、n值，从而可求解．
【详解】解：当a，b，c为正数时，有最大值是3,
∴m=3，
当a，b，c为负数时，的最小值是-3，
∴n=-3．
∴m+n=3-3=0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是分两种情况讨论．
20．
【分析】分别讨论当时，当时，当时，方程的解的情况，然后找到符合题意的的情况进行求解即可．
【详解】解：当时，
∵，
∴，即，
∴此时方程有无数解，不符合题意；
当时，
∵，
∴，即，
∴此时方程有无数解，不符合题意；
当时，
∵，
∴，即，
∴此时方程有唯一解，符合题意；
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值方程，解题的关键在于能够根据题意讨论x的取值范围进行去绝对值进行求解．
21．（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；
（2）分别讨论当x＞2时，当﹣5≤x≤2时，当x＜﹣5时去绝对值进行求解即可；
（3）同（2）利用分类讨论的思想进行求解即可．
【详解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．
故答案为：7；
（2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在；
当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在．
故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下：
当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；
当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3．
故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．
22．(1)6，7；
(2)①－6或2；②4
【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；
（2）①根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可；②由于所给式子表示x到－1和3的距离之和，当x在－1和3之间时和最小，故只需求出－1和3的距离即可．
【详解】（1）解：数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是｜9－3｜=6，数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是｜2－（－5）｜=7，
故答案为：6，7；
（2）解：①根据题意，得：｜x－(－2)｜=4，
∴｜x+2｜=4，
∴x+2=－4或x+2=4，
解得：x=－6或x=2，
故答案为：－6或2；
②∵表示x到－1和3的距离之和，
∴当x在－1和3之间时距离和最小，最小值为｜－1－3｜=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键．
23．(1)7
(2)﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2
(3)|x﹣2|+|x﹣6|有最小值，最小值是3
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；
（2）利用分类讨论的数学思想可以解答本题；
（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【详解】（1）解：|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7，
故答案为：7；
（2）当x＞2时，
|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得，故此种情况不存在；
当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，
故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是-5、﹣4、﹣3、-2、-1、0、1、2；
当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x-3＝7，解得与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在；
故答案为：-5、﹣4、﹣3、-2、-1、0、1、2；
（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3，
理由：当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3，
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3，
当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3，
故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．
24．（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20
【分析】（1）根据题意即可列式解答；
（2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；
（3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可．
【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为，
数x与-1所对应的点的距离为，
故答案为：， ；
（2）表示x到1之间的距离，
表示x到-1之间的距离，
①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，
∴=（-1-x）-（1-x）=-2；
②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，
∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；
③当x≥1时，=x-1，=x+1，
∴=（x+1）-（x-1）=2，
∴的最大值为2
（3）由（2）知：的最大值为2，
由此可得： 的最大值为4，
的最大值是6，
的最大值是8，
∴的最大值是2+4+6+8=20
【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式．
25．(1)；(2)，
【分析】(1)根据数轴上数a与数-2之间的距离等于4即可求得答案；
(2)根据题意，可知当﹣4≤a≤2时，|a+4|+|a-2|的值为6；
(3)根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得到答案.
【详解】(1)，得到或a=2；
(2)根据题意，
|a+4|表示数轴上表示数a的点与表示数-4的点之间的距离，
|a-2|表示数a的点与表示数2的点之间的距离，因为﹣4≤a≤2，画图可知
∴|a+4|+|a-2|＝6；
(3)时，|a-1|+ |a+2|有最小值，最小值是
【点睛】本题考查了数a的绝对值的意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数形结合是解题的关键.
26．（1）6；（2）符合条件的整数x为-2、-1、0、1、2、3、4；（3）3，理由见解析
【分析】（1）可先算出4与-2的差，然后再求出差的绝对值即可；
（2）设-2、4、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，则有|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6．然后分X在点A的左边、X在AB之间、X在点A的右边三种情况讨论，就可解决问题；
（3）设3、6、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，则|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．借鉴（2）中的经验可得AX+BX≥AB，即|x-3|+|x-6|≥3，当X在A、B之间时取等号．
【详解】解：（1） ，
故答案为：6；
（2）设-2、4、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，
则|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6．
①X在点A的左边时，BX+AX =AX+AB+AX=2AX+6=6，
∴AX=0与X在点A的左边矛盾，不符合题意
②当X在点A、B之间时，BX+AX=AB=6与AB=6相符，
∴此时X表示的整数可以为-2、-1、0、1、2、3、4；
∴整数x的值可以为-2、-1、0、1、2、3、4；
③X在点B的右边时，BX+AX =AB+BX+BX=6+2BX=6，
∴BX=0，与X在点B的右边矛盾，不符合题意
综上所述：符合条件的整数x为-2、-1、0、1、2、3、4；
（3）对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3．
设3、6、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，
则|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．
由（2）同理可知，当X在点A的左边时，BX+AX =AX+AB+AX=2AX+3，
当X在点A、B之间时，BX+AX=AB=6，
当X在点B的右边时，BX+AX =AB+BX+BX=6+2BX，
∴AX+BX≥AB，
∴|x-3|+|x-6|≥3，当X在A、B之间时取等号．
∴|x-3|+|x-6|有最小值3．
【点睛】本题考查的是绝对值的概念、几何意义、数轴等知识，在解决问题的过程中用到了分类讨论及数形结合的思想，是解决本题的关键．
27．（1）7；（2）5或1；（3）3，1≤x≤2
【分析】（1）根据5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；
（2）根据题意可得方程x-3=±2，再解即可；
（3）分情况讨论，去绝对值化简，从而确定x的最小值．
【详解】解：（1）|5－（－2）|＝|5+2|＝7，
故答案为：7；
（2）∵|x-3|=2成立，
∴x-3=±2，
∴x=5或1，
故答案为：5或1；
（3）当x＜1时，
原式=-x+1-x+2=-2x+3＞1；
当1≤x≤2时，
原式=x-1-x+2=1；
当x＞2时，
原式=x-1+x-2=2x-3＞1，
∴|x-1|+|x-2|的最小值是1，
故答案为：3，1≤x≤2．
【点睛】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
28．（1）4；3；（2）|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；（4）x=2时，y最小，最小值为4
【分析】（1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解；
（2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可；
（3）根据数轴上两点间的距离的意义解答；
（4）根据数轴上两点间的距离的意义解答．
【详解】解：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是： ；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是： ；
（2）∵A，B分别表示的数为x，﹣1，
∴数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，
如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，
解得：x＝1或﹣3；
（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，﹣1≤x≤2，
∴符合条件的整数x有﹣1，0，1，2；
（4）当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，x＝2，
∴当x＝2时，y最小，
即最小值为：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4．
故x＝2时，y最小，最小值为4．
【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键．
29．(1)
(2)①；②，
(3)
【分析】（1）根据题意分别表示出到的距离与到的距离，求和即可求解；
（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；
（3），根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，的值只要取到之间（包括）的任意一个数，要使的值最小，应取，则当时能同时满足要求，把代入原式计算即可；
【详解】（1）解：∵点在数轴上分别表示有理数，
∴到的距离为，到的距离为，
到的距离与到的距离之和可表示为，
故答案为：；
（2）①根据绝对值的几何含义可得，表示数轴上与的距离与与的距离之和，
若，则，即；
若，则，方程无解，舍去；
若，则，即，
∴满足的的所有值是；
故答案为：；
②当x的值取在不小于且不大于的范围时，的值是不变的，而且是的最小值．
，
即，则这个最小值是；
当的值取在不小于且不大于的范围时，取得最小值，这个最小值是；
故答案为：，
（3），要使的值最小，的值只要取到之间（包括）的任意一个数，
要使的值最小，应取，则当时能同时满足要求，
把代入，原式=；
故答案为：，
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
30．8或-8.
【详解】试题分析：根据绝对值的意义，分别求出a、b、c的值，然后根据它们的关系判断出a、b、c的值，再代入求解即可.
试题解析：因为|a|=3，所以a=3或a=-3.
因为|b|=10，所以b=10或b=-10.
因为|c|=5，所以c=5或c=-5.
又因为a，b 异号，b，c 同号，
所以a=-3，b=10，c=5或a=3，b=-10，c=-5.
当a=-3，b=10，c=5时，a-b-（-c）=-3-10-（-5）=-8 ；
当a=3，b=-10，c=-5时， a-b-（-c）=3-（-10）- 5=8.
所以a-b-（-c）的值为8或-8.
31．1-x
【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≤0，0＜x＜1，x≥1三种情况进行分析．
【详解】解：①当x≤0时，|1-x|=1-x，1+|x|=1-x，满足题意；
②当0＜x＜1时，|1-x|=1-x，1+|x|=1+x，不满足题意；
③当x≥1时，|1-x|=x-1，1+|x|=1+x，不满足题意．
综上可得：x≤0，故|x-1|=1-x．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，注意要分情况讨论，再去绝对值化简．
32．-2b
【分析】根据有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置可得∵3＜a＜4，0＜b＜1，−2＜c＜−1，即可得c＋b＜0，a−c＞0，b−a＜0，再根据绝对值的性质进行计算即可得出答案．
【详解】解：由图可知，
∵3＜a＜4，0＜b＜1，−2＜c＜−1，
∴c＋b＜0，a−c＞0，b−a＜0，
∴|c＋b|−|a−c|＋|b−a|
＝−（c＋b）−（a−c）＋[−（b−a）]
＝−c−b−a＋c−b＋a
＝−2b．
【点睛】本题主要考查数轴的应用及绝对值的性质，熟练掌握数轴的应用及绝对值的性质进行计算是解决本题的关键．
专题03�绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
2．代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3
C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
3．若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，当x取任意有理数时，代数式的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（ ）．
A． B． C．0 D．
5．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是( )
A．-1 B．1 C．3 D．-3
6．如果++=-1，那么+++的值为（ ）
A． B． C．0 D．不确定
7．、、是有理数且，则的值是（ ）
A． B．3或 C．1 D．或1
8．已知、两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．±1 D．1
10．设a，b，c为非零实数，且，，，化简的结果是（ ）
A． B．b C． D．
评卷人
得分
二、填空题
11．代数式，当时，可化简为 ；若代数式的最大值为与最小值为，则的值 ．
12．最小值为 ．
13．已知x为有理数，且，则x的值为 ．
14．当时，化简：的值为 ．
15．是有理数，它在数轴上的对应点的位置如图所示．则 ．
16．已知有理数，则化简的结果是 ．
17．有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，则化简 ．
18．在数轴上表示三个数的点的位置如图所示，化简式子：结果为 ．
19．已知，，都是不等于0的有理数，且的最大值是，最小值是，则 ．
20．若关于的方程有唯一解，则的取值范围是 .
评卷人
得分
三、解答题
21．同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5－（－2）|＝ __________．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_______________．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
22．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的
距离；可以理解为数轴上表示 3 与﹣1 的两点之间的距离．
从“数”的角度看：数轴上表示 4 和﹣3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） ．
根据以上阅读材料探索下列问题：
(1)数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是 ；（直接写出最终结果）
(2)①若数轴上表示的数 x 和﹣2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ；
②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为 ．
23．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索
(1)求|5﹣（﹣2）|＝ ．
(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是 ．
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
24．我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为________，数x与-1所对应的点的距离为________；
（2）求的最大值；
（3）直接写出的最大值为______．
25．阅读下列材料:我们知道a的几何意义是在数轴上数a对应的点与原点的距离.数轴上数a与数0对应点之间的距离，这 个结论可以推广为: |a- b|均表示在数轴上数a与b对应点之间的距离，例:已知|a-1|=2， 求a的值.
解:在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和-1，即a的值为3和-1.
仿照阅读材料的解法，解决下列问题
(1)已知，求a的值.
(2)若数轴上表示a的点在-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值为___
(3)当a满足什么条件时，|a-1|+ |a+2|有最小值，最小值是多少?
26．同学们都知道，根据绝对值的几何意义，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|4﹣（﹣2）|＝ ；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|＝6成立，并说明理由．
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
27．同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5－（－2）|＝______．
（2）若成立，则x＝_________．
（3）请你写出的最小值为________．并确定相应的x的取值范围是______．
28．阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x为 ；
（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有 ；
（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解．
29．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离，一般地，点、点在数轴上分别表示有理数，那么点、点之间的距离可表示为．
(1)点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离与点到点的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：
①找出满足的的所有值是______．
②设，当x的值取在不小于且不大于的范围时，的值是不变的，此时取最小值是______；最小值是______．
(3)求的最小值为______，此时的值为______．
30．若a，b，c是有理数，|a|=3，|b|=10，|c|=5，且 a，b异号，b，c 同号，求a－b-（-c）的值.
31．已知，求．
32．已知，有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示，化简：．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意将可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.
【详解】可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，
当x<-2时，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；
当时，=（x+2）+（5-x）=7；
当x>5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3；
∴有最小值，最小值为7，此时，
故选：D.
【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到表示的意义，再利用分类思想解答问题.
2．C
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．
【详解】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，
∴a＝3，b＝﹣3．
故选：C．
【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．
3．B
【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，可知当x处于2和6中间时，|x-6|+|x-2|取得最小值，即为数轴上2和6之间的距离．
【详解】解：∵|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，
∴|x-6|+|x-2|表示数轴上数x与6和数x与2对应的点之间的距离之和，
∴当2≤x≤6时，代数式|x-6|+|x-2|有最小值，最小值为|6-2|=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离是解题的关键．
4．A
【分析】根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可．
【详解】根据数轴上点的位置得：，且，
则，，，
则．
故选A．
【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简，掌握获取数轴信息，熟练化简是解题的关键．
5．D
【分析】先根据数轴求出－1
．
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值的计算，解题的关键是注意去掉绝对值后，要保证得数是非负数．
6．C
【详解】解：，所以，，中有一个正数，二个负数．
不妨设，，，则．故选．
点睛：本题考查了有理数的除法，利用得出a、b、c有一个正数，二个负数是解题关键．
7．D
【分析】根据，则这三个数中一定有一个或三个数为负数两种情况进行讨论，得出结果即可．
【详解】∵，
∴ｘ、y、z这三个数中有一个或三个数为负数，
当这三个数中有一个负数时，假设，，，
则；
当这三个数中有三个负数时，假设，，，
则；故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确进行分类讨论是解题的关键．
8．A
【分析】由数轴可知b<-1<1
【详解】解：由数轴可知，b<-1<1
∴
=a+b-b-1
=a-1，
故选：A．
【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，判断式子的正负，化简绝对值，正确理解数轴上数的大小关系是解题的关键．
9．A
【分析】根据绝对值的性质和a、b、c的正负分情况讨论化简计算即可．
【详解】解：当a、b、c同为正数时，=1+1+1=3不满足条件；
当a、b、c为两正一负时，=1+1－1=1满足条件，此时abc＜0，
∴==－1；
当a、b、c为两负一正时，=1－1－1=－1不满足条件；
当a、b、c同为负数时，=－1－1－1=－3不满足条件，
综上，=－1，
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
10．B
【分析】根据绝对值的性质进行化简即可：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
【详解】解：∵，，即，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
则原式，
故选：B．
【点睛】此题考查了绝对值的性质，同时注意根据有理数的运算法则正确判断含有字母的式子的符号．
11． 3 -9
【分析】当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可．
【详解】解：当时，x-1＜0，x+2＜0，
∴，
当时，，
当x＞1时，
∵当时，，
∴代数式的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，
∴ab=-9，
故答案为：3，-9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．
12．5
【分析】先分区间确定零点，x+2=0和x-3=0，分三种情况，和分别化去绝对值符号，合并化简，根据x的范围确定每个区间中绝对值式子的值的范围即可确定最小值．
【详解】令x+2=0，x-3=0，求得x=-2与x=3，
当时，
，
∵，
∴，
当时，
，
当，
，
的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查利用绝对值化简求最小值问题，掌握绝对值化简得技巧，会根据绝对值的个数分区间化去绝对值符号是解题关键．
13．0
【分析】根据得出，进而得出，然后根据绝对值的意义分类讨论，舍去不符合题意的答案即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴（舍）或，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，读懂题意，运用分类讨论的思想解题是关键．
14．/
【分析】根据考查了化简绝对值，先得出式子的正负，然后根据正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是；化简即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了化简绝对值，熟知正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是；是解本题的关键．
15．14
【分析】由数轴可知-6< x < 0，则x - 7< 0，x+7 > 0，再去掉绝对值，可解．
【详解】由数轴可知-6
∴|x- 7|+|x+7|=7-x+x+7=14
故答案为14．
【点睛】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，在去掉绝对值的时候，要特别细心．
16．
【分析】先根据已知条件判断每个绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后去括号，合并同类项即可．
【详解】∵a < - 1，
∴a + 1< 0，1- a > 0，
∴
= (- a -1) + (1- a)
= - a -1+1- a
= -2a，
故答案为： -2a．
【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，掌握以上知识是解题的关键．
17．4a-b
【分析】根据数轴可以判断a、b、c的正负和它们的绝对值的大小，从而可以化简题目中的式子．
【详解】解：由数轴可得，
a＜b＜c，|b|＜|c|＜|a|，
∴|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|c﹣2a|
＝b+c﹣2（b﹣a）﹣（c﹣2a）
＝b+c﹣2b+2a﹣c+2a
＝4a-b．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．
【分析】由数轴可知：b＞a＞0，c＜0，再由这个确定所求绝对值中的正负值就可求出此题．
【详解】解：∵b＞a＞0，c＜0，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了数轴和绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．数轴原点左边的为负数，原点右边的为正数，在数轴上右边的数比左边的数大．
19．0
【分析】）当a，b，c为正数时，有最大值3，当a，b，c为负数时，有最小值-3，求得m、n值，从而可求解．
【详解】解：当a，b，c为正数时，有最大值是3,
∴m=3，
当a，b，c为负数时，的最小值是-3，
∴n=-3．
∴m+n=3-3=0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是分两种情况讨论．
20．
【分析】分别讨论当时，当时，当时，方程的解的情况，然后找到符合题意的的情况进行求解即可．
【详解】解：当时，
∵，
∴，即，
∴此时方程有无数解，不符合题意；
当时，
∵，
∴，即，
∴此时方程有无数解，不符合题意；
当时，
∵，
∴，即，
∴此时方程有唯一解，符合题意；
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值方程，解题的关键在于能够根据题意讨论x的取值范围进行去绝对值进行求解．
21．（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；
（2）分别讨论当x＞2时，当﹣5≤x≤2时，当x＜﹣5时去绝对值进行求解即可；
（3）同（2）利用分类讨论的思想进行求解即可．
【详解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．
故答案为：7；
（2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在；
当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在．
故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下：
当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；
当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3．
故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．
22．(1)6，7；
(2)①－6或2；②4
【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；
（2）①根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可；②由于所给式子表示x到－1和3的距离之和，当x在－1和3之间时和最小，故只需求出－1和3的距离即可．
【详解】（1）解：数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是｜9－3｜=6，数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是｜2－（－5）｜=7，
故答案为：6，7；
（2）解：①根据题意，得：｜x－(－2)｜=4，
∴｜x+2｜=4，
∴x+2=－4或x+2=4，
解得：x=－6或x=2，
故答案为：－6或2；
②∵表示x到－1和3的距离之和，
∴当x在－1和3之间时距离和最小，最小值为｜－1－3｜=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键．
23．(1)7
(2)﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2
(3)|x﹣2|+|x﹣6|有最小值，最小值是3
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；
（2）利用分类讨论的数学思想可以解答本题；
（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【详解】（1）解：|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7，
故答案为：7；
（2）当x＞2时，
|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得，故此种情况不存在；
当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，
故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是-5、﹣4、﹣3、-2、-1、0、1、2；
当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x-3＝7，解得与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在；
故答案为：-5、﹣4、﹣3、-2、-1、0、1、2；
（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3，
理由：当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3，
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3，
当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3，
故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．
24．（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20
【分析】（1）根据题意即可列式解答；
（2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；
（3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可．
【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为，
数x与-1所对应的点的距离为，
故答案为：， ；
（2）表示x到1之间的距离，
表示x到-1之间的距离，
①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，
∴=（-1-x）-（1-x）=-2；
②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，
∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；
③当x≥1时，=x-1，=x+1，
∴=（x+1）-（x-1）=2，
∴的最大值为2
（3）由（2）知：的最大值为2，
由此可得： 的最大值为4，
的最大值是6，
的最大值是8，
∴的最大值是2+4+6+8=20
【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式．
25．(1)；(2)，
【分析】(1)根据数轴上数a与数-2之间的距离等于4即可求得答案；
(2)根据题意，可知当﹣4≤a≤2时，|a+4|+|a-2|的值为6；
(3)根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得到答案.
【详解】(1)，得到或a=2；
(2)根据题意，
|a+4|表示数轴上表示数a的点与表示数-4的点之间的距离，
|a-2|表示数a的点与表示数2的点之间的距离，因为﹣4≤a≤2，画图可知
∴|a+4|+|a-2|＝6；
(3)时，|a-1|+ |a+2|有最小值，最小值是
【点睛】本题考查了数a的绝对值的意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数形结合是解题的关键.
26．（1）6；（2）符合条件的整数x为-2、-1、0、1、2、3、4；（3）3，理由见解析
【分析】（1）可先算出4与-2的差，然后再求出差的绝对值即可；
（2）设-2、4、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，则有|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6．然后分X在点A的左边、X在AB之间、X在点A的右边三种情况讨论，就可解决问题；
（3）设3、6、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，则|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．借鉴（2）中的经验可得AX+BX≥AB，即|x-3|+|x-6|≥3，当X在A、B之间时取等号．
【详解】解：（1） ，
故答案为：6；
（2）设-2、4、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，
则|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6．
①X在点A的左边时，BX+AX =AX+AB+AX=2AX+6=6，
∴AX=0与X在点A的左边矛盾，不符合题意
②当X在点A、B之间时，BX+AX=AB=6与AB=6相符，
∴此时X表示的整数可以为-2、-1、0、1、2、3、4；
∴整数x的值可以为-2、-1、0、1、2、3、4；
③X在点B的右边时，BX+AX =AB+BX+BX=6+2BX=6，
∴BX=0，与X在点B的右边矛盾，不符合题意
综上所述：符合条件的整数x为-2、-1、0、1、2、3、4；
（3）对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3．
设3、6、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，
则|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3．
由（2）同理可知，当X在点A的左边时，BX+AX =AX+AB+AX=2AX+3，
当X在点A、B之间时，BX+AX=AB=6，
当X在点B的右边时，BX+AX =AB+BX+BX=6+2BX，
∴AX+BX≥AB，
∴|x-3|+|x-6|≥3，当X在A、B之间时取等号．
∴|x-3|+|x-6|有最小值3．
【点睛】本题考查的是绝对值的概念、几何意义、数轴等知识，在解决问题的过程中用到了分类讨论及数形结合的思想，是解决本题的关键．
27．（1）7；（2）5或1；（3）3，1≤x≤2
【分析】（1）根据5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离为7得到答案；
（2）根据题意可得方程x-3=±2，再解即可；
（3）分情况讨论，去绝对值化简，从而确定x的最小值．
【详解】解：（1）|5－（－2）|＝|5+2|＝7，
故答案为：7；
（2）∵|x-3|=2成立，
∴x-3=±2，
∴x=5或1，
故答案为：5或1；
（3）当x＜1时，
原式=-x+1-x+2=-2x+3＞1；
当1≤x≤2时，
原式=x-1-x+2=1；
当x＞2时，
原式=x-1+x-2=2x-3＞1，
∴|x-1|+|x-2|的最小值是1，
故答案为：3，1≤x≤2．
【点睛】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
28．（1）4；3；（2）|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；（4）x=2时，y最小，最小值为4
【分析】（1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解；
（2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可；
（3）根据数轴上两点间的距离的意义解答；
（4）根据数轴上两点间的距离的意义解答．
【详解】解：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是： ；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是： ；
（2）∵A，B分别表示的数为x，﹣1，
∴数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，
如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，
解得：x＝1或﹣3；
（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，﹣1≤x≤2，
∴符合条件的整数x有﹣1，0，1，2；
（4）当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，x＝2，
∴当x＝2时，y最小，
即最小值为：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4．
故x＝2时，y最小，最小值为4．
【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键．
29．(1)
(2)①；②，
(3)
【分析】（1）根据题意分别表示出到的距离与到的距离，求和即可求解；
（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；
（3），根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，的值只要取到之间（包括）的任意一个数，要使的值最小，应取，则当时能同时满足要求，把代入原式计算即可；
【详解】（1）解：∵点在数轴上分别表示有理数，
∴到的距离为，到的距离为，
到的距离与到的距离之和可表示为，
故答案为：；
（2）①根据绝对值的几何含义可得，表示数轴上与的距离与与的距离之和，
若，则，即；
若，则，方程无解，舍去；
若，则，即，
∴满足的的所有值是；
故答案为：；
②当x的值取在不小于且不大于的范围时，的值是不变的，而且是的最小值．
，
即，则这个最小值是；
当的值取在不小于且不大于的范围时，取得最小值，这个最小值是；
故答案为：，
（3），要使的值最小，的值只要取到之间（包括）的任意一个数，
要使的值最小，应取，则当时能同时满足要求，
把代入，原式=；
故答案为：，
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
30．8或-8.
【详解】试题分析：根据绝对值的意义，分别求出a、b、c的值，然后根据它们的关系判断出a、b、c的值，再代入求解即可.
试题解析：因为|a|=3，所以a=3或a=-3.
因为|b|=10，所以b=10或b=-10.
因为|c|=5，所以c=5或c=-5.
又因为a，b 异号，b，c 同号，
所以a=-3，b=10，c=5或a=3，b=-10，c=-5.
当a=-3，b=10，c=5时，a-b-（-c）=-3-10-（-5）=-8 ；
当a=3，b=-10，c=-5时， a-b-（-c）=3-（-10）- 5=8.
所以a-b-（-c）的值为8或-8.
31．1-x
【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≤0，0＜x＜1，x≥1三种情况进行分析．
【详解】解：①当x≤0时，|1-x|=1-x，1+|x|=1-x，满足题意；
②当0＜x＜1时，|1-x|=1-x，1+|x|=1+x，不满足题意；
③当x≥1时，|1-x|=x-1，1+|x|=1+x，不满足题意．
综上可得：x≤0，故|x-1|=1-x．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，注意要分情况讨论，再去绝对值化简．
32．-2b
【分析】根据有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置可得∵3＜a＜4，0＜b＜1，−2＜c＜−1，即可得c＋b＜0，a−c＞0，b−a＜0，再根据绝对值的性质进行计算即可得出答案．
【详解】解：由图可知，
∵3＜a＜4，0＜b＜1，−2＜c＜−1，
∴c＋b＜0，a−c＞0，b−a＜0，
∴|c＋b|−|a−c|＋|b−a|
＝−（c＋b）−（a−c）＋[−（b−a）]
＝−c−b−a＋c−b＋a
＝−2b．
【点睛】本题主要考查数轴的应用及绝对值的性质，熟练掌握数轴的应用及绝对值的性质进行计算是解决本题的关键．
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