专题03 绝对值中的最值与化简压轴问题专训-2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

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题型一两个绝对值的和的最值
题型二两个绝对值的差的最值
题型三多个绝对值的和的最值
题型四绝对值中最值问题的应用
题型五已知范围的绝对值化简
题型六未知范围的绝对值化简
题型七绝对值化简问题综合
题型训练：
绝对值中的10道最值问题训练
绝对值中的10道化简问题训练
绝对值最值问题概述：
最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果.
绝对值化简问题概述：
绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型.希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题.
【经典例题一两个绝对值的和的最值】
【知识归纳】
目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
结论：式子在时，取得最小值为.
【例1】（2022秋·湖北十堰·七年级统考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究归纳：数轴上表示5和2的两点之间的距离是3；数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是4；则数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是______；
结论：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
(2)应用：
①表示为数轴上数______和数_____两点之间的距离；表示为数轴上数______和数_______两点之间的距离．
②当|a﹣4|+的值最小时，a的取值范围______，最小值是______．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·山东日照·七年级统考期中）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
(1)已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，则___________，___________，点A和点B之间的距离为___________．
(2)设点Р在数轴上对应的数为，若，则___________．
(3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点Р表示的数为x．
①若点Р在点M、N之间，则___________．
②若点Р表示的数是，现在有一蚂蚁从点Р出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？
【变式2】（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）我们知道，表示数a对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点A、B分别表示数a、b，那么A、B两点之间的距离为，利用此结论，回答下列问题：
(1)数轴上表示3的点和原点的距离是；
(2)数轴上表示3和的两点之间的距离是；
(3)数轴上表示x和的两点之间的距离为2，那么x的值为；
(4)直接写出的最小值为；
【变式3】（2022秋·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）若点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，回答下列问题：
(1)数轴上表示1和的两点之间的距离是___________.
(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为___________.
(3)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___________
(4)若x表示一个有理数，则当x在什么范围内时，有最小值？请写出x的范围，并求出这个最小值.
【经典例题二两个绝对值的差的最值】
【知识归纳】
目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值.
【例2】（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．
提出问题：
有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？
探究问题：
探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0．
当b＝2时，，如图1所示；
当b＝－3时，，如图2所示；
由此可以推断当b＝n时，______．
探究二：
如果A，B两点都不在原点，即，．
（1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示：
；
（2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：；
（3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______．
解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示）
实际应用：
（1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______；
（2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______．
拓展延伸：
结合数轴回答下列问题：
（1）的最小值是______；
（2）的最大值是______．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·七年级专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
④当时，原式；
⑤当时，原式．
综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：
(1)化简代数式；
(2)的最大值是．（请直接写出结果）
【变式2】（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，
现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，
如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
a.；b.；c.．
从而化同代数式可分以下3种情况：
①当对，原式；
②当时，原式；
③当时，原式．
综上讨论，原式，
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)化简代数式．
(2)求的最大值．
【变式3】（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，．
(1)仔细阅读表格并对照数轴填空：
(2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）；
(3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值；
(4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？
【经典例题三多个绝对值的和的最值】
【知识归纳】
最小值规律：
①当有两个绝对值相加：
若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当有三个绝对值相加：
若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合；
③当有（奇数）个绝对值相加：
，且，则取中间数，即当时，取得最小值为；
④当有（偶数）个绝对值相加：
，且，则取中间段，
即当时，取得最小值为.
【例3】（2022秋·浙江宁波·七年级校考阶段练习）如图，点A、B在数轴上分别表示实数、，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，请你利用数轴回答下列回答：
(1)数轴上表示2和4两点之间的距离是_____________，数轴上表示和2两点间的距离是___________；
(2)数轴上表示和的两点A、B之间的距离AB=___________；如果，则的值为______________．
(3)的最小值为______________；
(4)若．求．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）如图，请回答问题：
(1)点B表示的数是______，点C表示的数是______．
(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字______重合．
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则的最小值＝______．
②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______．
③当x＝______时，取最小值．
④若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围______．
⑤若将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2022（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是：M：______，N：______．
【变式2】（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可表示为|a﹣b|．
(1)如果A，B，C三点在数轴上分别表示有理数x，，1，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为 ___________（用含绝对值的式子表示）；
(2)利用数轴探究：
①满足的x的值是 ___________，
②设，当x的取值在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ___________；当x的取值在 ___________的范围时，的最小值是 ___________；
(3)求的最小值以及此时x的值；
(4)若对任意有理数x都成立，求a的最大值．
【变式3】（2022秋·河南南阳·七年级统考阶段练习）数轴是研究初中数学知识的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．已知与两个数在数轴上对应的点分别为点A，B，根据绝对值的概念可知点A到原点的距离表示为，点B到原点的距离表示为，若时，求A，B两点之间的距离．
小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行了探索：
因为，则有以下几种情况：
情况一：若，，
如图，A，B两点之间距离：．
(1)补全小明的探索过程：
(2)数轴上表示数和的两点之间的距离是，那么；
(3)把题目中的条件去掉，与两个数在数轴上对应的点分别为点A，B，则A，B两点之间的距离可表示为；
(4)若数轴上表示数的点位于与之间，则有最小值，最小值为
(5)的最小值为．
【经典例题四绝对值中最值问题的应用】
【例4】（2022秋·浙江·七年级专题练习）先阅读下面的材料，然后回答问题．
在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，想解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
如图①所示，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等到的距离．
如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床处最合适，因为如果P放在处，甲和丙所走的距离之和恰好为到的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D的这一段，这是多出来的，因此P放在处是最佳选择．
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置．
(1)有69台机床时，P应设在何处？有82台机床时，P应设在何处？
(2)有n台机床时，P应设在何处？
(3)根据（2）的结论，求的最小值．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·浙江宁波·七年级余姚市梨洲中学校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；
(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______．
(4)若，则式子的最小值为 _______．
【变式2】（2022秋·山西朔州·七年级校考阶段练习）问题提出
(1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为．
代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________．
(2)问题探究
如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________．
(3)问题解决
同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？
【变式3】（2022秋·浙江宁波·七年级慈溪市上林初级中学校考期中）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离．试探索∶
(1)求__________；若，则__________；
(2)的最小值是__________；
(3)当__________时，的最小值是__________；
(4)已知则求出的最大值和最小值．
【经典例题五已知范围的绝对值化简】
【知识归纳】
已知范围的绝对值化简步骤：
①判断绝对值符号里式子的正负；
两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0.
两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；
负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；
正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.
②将绝对值符号改为小括号：
若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.
③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.
④化简.
【例5】（2022·浙江·九年级自主招生）若关于x的方程有四个实数解，则化简的结果是（ ）
A．B．0C．2D．4
【变式训练】
【变式1】（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：
①；②；③；④，其中正确个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2020秋·四川甘孜·七年级统考期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是__________．（填序号）
【变式3】（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为，，．
(1)填空：，之间的距离为______，，之间的距离为______．
(2)化简：．
【经典例题六未知范围的绝对值化简】
【知识归纳】
绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即.
【例6】（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，，都是非零有理数，满足，令，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·七年级期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
①若，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；
④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；
⑤a+b+c＝0，abc＜0，则的值为±1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2022秋·福建泉州·七年级校考期中）已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则____________．
【变式3】（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
【经典例题七绝对值化简问题综合】
【例7】（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）下列说法正确的有（ ）
①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或；
②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3；
③已知时，那么的最大值为7，最小值为；
④若且，则式子的值为；
⑤如果定义，当，，时，的值为．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式训练】
【变式1】（2022秋·七年级课时练习）若满足方程，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则：
①表示的实际意义是 _____．
②的最小值是 _____．
③的最小值是 _____．
【变式3】（2022秋·重庆·七年级重庆市实验中学校考阶段练习）阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称-1，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：，，．从而在化简时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式．通过以上阅读，请你解决问题：
(1)的零点值是__________．
(2)化简代数式；
(3)解方程．
【培优检测】
绝对值中的10道最值问题训练
1．（2022秋·河南安阳·七年级统考期中）阅读材料：我们知道：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
(1)若，则___________；
(2)式子的最小值为___________；
(3)若，求的值．
2．（2022秋·全国·七年级期中）阅读下面材料：
点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为．
当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；
当两点都不在原点时，
（1）如图2，点都在原点的右边，；
（2）如图3，当点都在原点的左边，；
（3）如图4，当点在原点的两边，；
回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ；
(3)当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ．
3．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读材料：我们知若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为．则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．根据上述材料试探索：
(1) ．
(2)找出所有符合条件的整数x，使成立．
(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
(1) ；当时， ．
(2)表示 与 之间的距离；表示 与 之间的距离；找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数有 （直接写出答案）
(3)由以上探索，请你结合数轴猜想：对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）先阅读，后探究相关的问题．
【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是．
(2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离表示为；如果，那么x为．
(3)若点A表示的整数为x，则当x为时，与的值相等．
(4)要使代数式取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是．
6．（2020秋·浙江绍兴·七年级校考期中）已知点A．B在数轴上表示的数分别为m、n．
(1)填写下表：
(2)若A、B两点的距离为d，则___（用含m，n的式子表示）
(3)由（2）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示___的点的距离．
(4)若动点C表示的数为x，则的最小值是___．
(5)若动点C表示的数为x，则当x＝___时，取最小值．
7．（2022秋·七年级单元测试）问题背景
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．
问题探究
(1)若，则 ．
(2)若，则 ．
(3)若，则 ．
问题解决
(4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 ．
8．（2022秋·江西赣州·七年级统考期中）【阅读】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探究】
(1)点A，B表示的数分别为，2，则__________，在数轴上可以理解为____________．
(2)若，则_________，若，则__________．
【应用】
(3)如图，数轴上表示点a的点位于和2之间，求的值．
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数x，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值：如果没有，说明理由．
9．（2022秋·全国·七年级期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，．
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______．
10．（2022秋·全国·七年级专题练习）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答一列问题：
(1)若，则______．若，则_____．
(2)若，则能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)当，求的最大值和最小值．
绝对值中的10道化简问题训练
1．（2022秋·山东青岛·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式：（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·江苏无锡·七年级校考期中）规定：，．例如，．下列结论中，正确的个数是（ ）
①能使成立的的值为或；
②若，则；
③式子的最小值是；
④式子的最大值是．
A．B．C．D．
3．（2023秋·广东佛山·七年级校考期末）若1＜x＜2，则的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．2D．1
4．（2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习）已知表示两个非零的实数，则的值不可能是（ ）
A．2B．–2C．1D．0
5．（2022秋·江苏·七年级专题练习）已知m、n是两个非零有理数，则=_________
6．（2022·全国·七年级假期作业）如果，，，那么代数式的最小值为______．
7．（2022秋·全国·七年级专题练习）若abc＞0，a+b+c=0，则=____．
8．（2022秋·七年级课时练习）如图，数轴上点，，对应的有理数分别是，，，，且，则______．
9．（2022秋·全国·七年级期末）已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，且
（1）求和的值
（2）化简：
10．（2022秋·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．
若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．
（1）如图1，
①若点P在点A左侧，化简_________；
②若点P在线段上，化简_________；
③若点P在点B右侧，化简_________；
④由图可知，的最小值是_________．
（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．
（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
无法确定
当时
的值为定值，即为
当
无法确定
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
的值为定值，即为—
当时
当
的值为定值，即为
8
5
4
0
，两点间的距离
4
8
4
m
5
n
3
0
4
A，B两点的距离
2
5