初中数学人教版九年级上册24.1.4 圆周角第1课时当堂达标检测题

24.1.4　圆周角

第1课时　圆周角定理及其推论

一、选择题

1.(2022辽宁朝阳中考)如图,在☉O中,点A是的中点,∠ADC=24°,则∠AOB的度数是              (　　)

A.24°　　　　B.26°　　　　C.48°　　　　D.66°

2.(2022四川广元中考)如图,AB是☉O的直径,C、D是☉O上的两点,若∠CAB=65°,则∠ADC的度数为              (　　)

A.25°　　　　B.35°　　　　C.45°　　　　D.65°

3.(2022四川南充中考)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,∠BOF=65°,则∠AOD的度数为              (　　)

A.70°　　　　B.65°　　　　C.50°　　　　D.45°

4.(2020甘肃金昌中考)如图,A是☉O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在☉O上,且平分,则DC的长为(　　)

A.2

二、填空题

5.(2022湖南永州中考)如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,

∠ADC=30°,则∠BOC=　　　　度. 

6.(2021江苏连云港中考)如图,OA、OB是☉O的半径,点C在☉O上,∠AOB=30°,∠OBC=40°,则∠OAC=　　　　°. 

7.(2021黑龙江佳木斯中考)如图,在☉O中,AB是直径,弦AC的长为5 cm,点D在圆上且∠ADC=30°,则☉O的半径为　　　　cm. 

8.(2021陕西渭南韩城期末)如图,AB是☉O的一条弦,点C是☉O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与☉O交于G、H两点,若☉O的半径为8,则GE+FH的最大值为　　　　. 

三、解答题

9.(2022山西临汾侯马期末)如图,AB是☉O的直径,C,D两点在☉O上,∠BCD=45°.

(1)求证:AD=BD;

(2)若∠CDB=30°,BC=3,求☉O的半径.

10.(2023河南新乡长垣期中)如图,四边形ABCD的各顶点都在☉O上,对角线AC与BD相交于点E,且AE=DE.

(1)求证:AB=CD;

(2)在不添加任何辅助线的情况下,直接写出图中所有的全等三角形.

11.(2023广东广州荔湾期末)如图,已知CD是☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点M,点P是上一点,且∠BPC=60°.

(1)求证:△ABC是等边三角形;

(2)若DM=2,求☉O的半径.

答案全解全析

1. 答案　C　∵点A是的中点,∴,

∴∠AOB=2∠ADC=2×24°=48°.故选C.

2.答案　A　∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∵∠CAB=65°,∴∠ABC=90°-∠CAB=25°,∴∠ADC=∠ABC=25°.故选A.

3.答案　C　∵OF⊥BC,∴∠BFO=90°,

∵∠BOF=65°,∴∠B=90°-65°=25°.∵弦CD⊥AB,AB为☉O的直径,

∴,∴∠AOD=2∠B=50°.故选C.

4.答案　D　∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=∠D=90°,∵AC=2,AB=4,∴BC2=AB2+AC2=42+22=20,∵点D在☉O上,且平分,∴,∴CD=BD.Rt△BDC中,DC2+BD2=BC2,∴2DC2=20,∴DC=.故选D.

5.答案　120

解析　∵∠ADC是所对的圆周角,∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°,∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°.

6.答案　25

解析　如图,连接OC,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=40°,

∴∠BOC=180°-40°×2=100°,

∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=100°+30°=130°,

∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA=×(180°-∠AOC)=×(180°-130°)=25°.

7.答案　5

解析　如图,连接OC.∵∠ADC=30°,∴∠AOC=2∠ADC=60°,又∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴OA=AC=5 cm,∴☉O的半径为5 cm.

8.答案　12

解析　如图,连接OA、OB,∵∠ACB=30°,∴∠AOB=2∠ACB=60°.∵OA=OB,∴△AOB为等边三角形.∵☉O的半径为8,∴AB=OA=OB=8,∵点E、F分别是AC、BC的中点,∴EF=AB=4,当GE+FH取最大值时,GE+FH+EF(弦GH)取最大值,∵当弦GH是圆的直径时,GH取得最大值,为8×2=16,∴GE+FH的最大值为16-4=12.

9.解析　(1)证明:∵∠DCB=45°,

∴∠DAB=∠DCB=45°.

∵AB是☉O的直径,

∴∠ADB=90°,

∴∠ABD=45°,

∴∠DAB=∠ABD=45°,

∴AD=BD.

(2)如图,连接OC.

∵∠CDB=30°,

∴∠BOC=60°,又∵OB=OC,

∴△OBC是等边三角形,

∴OB=BC=3,

即☉O的半径为3.

10.解析　(1)证明:如图,连接OA、OB、OC、OD,

∵AE=DE,

∴∠ADB=∠DAC,

∴∠AOB=∠DOC,

∴AB=CD.

(2)①在△ABD与△DCA中,

故△ABD≌△DCA(AAS).

②在△ABE与△DCE中,

故△ABE≌△DCE(AAS).

③由AB=DC知,∠ACB=∠DBC.

在△ABC与△DCB中,

故△ABC≌△DCB(AAS).

11.解析　(1)证明:∵直径CD⊥AB,

∴AM=BM,,

∴AC=BC.

又∵∠CAB=∠BPC=60°,

∴△ABC是等边三角形.

(2)如图,连接OA,

设☉O的半径是r,

∵△ABC是等边三角形,

∴∠CAB=∠ACB=60°,又CD⊥AB,∴∠ACO=∠ACB=30°.

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠ACO=30°,

∴∠OAM=∠CAB-∠OAC=60°-30°=30°,

∴OM=OA,

∴r-2=r,

∴r=4,即☉O的半径为4.