北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识3 不等式3.2 基本不等式第1课时同步练习题

第一章3.2　基本不等式

第1课时　基本不等式

A级 必备知识基础练

1.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为 (　　)

A.1 B. C.2 D.4

2.已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为 (　　)

A. B. C. D.

3.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式一定成立的是(　　)

A.0< B.<2

C.≥1 D.

4.[2023宁夏中卫市期末]已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy的最大值为　　　　　. 

5.已知4x+(x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a=　　　　　. 

6.已知a>0,b>0,求证:≥a+b.

B级 关键能力提升练

7. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E.设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为(　　)

A.(a>0,b>0)

B.(a>0,b>0,a≠b)

C.(a>0,b>0)

D.(a>0,b>0,a≠b)

8.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是(　　)

A.∀x∈R,且x≠0,有x+≥2

B.∃x∈R,使得x2+1≤2x

C.若x>0,y>0,则

D.若x>0,y>0,且x+y=18,则 的最大值为9

9.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则xy的最大值是　　　　,的最小值是　　　　　. 

C级 学科素养创新练

10.若a>b,且ab=2,求证:≥4.

参考答案

3.2　基本不等式

第1课时　基本不等式

1.D　∵ab=a+b≥2,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故ab的最小值为4.

2.B　∵0<x<1,∴1-x>0.

∴x(1-x),当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.

3.CD　=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,故B错误;

∵0<ab≤4,,故A错误;

22=1,故C正确;

a2+b2=8,当且仅当a=b时,等号成立,

,故D正确.故选CD.

4.25　由已知可得x+y=10≥2,解得xy≤25,

当且仅当x=y=5时,取等号,此时xy的最大值为25.

5.36　由基本不等式,得4x+2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,即=3,即a=36.

6.证明∵a>0,b>0,

+b≥2=2a,+a≥2=2b,

+b++a≥2a+2b,

a+b,当且仅当a=b时,等号成立.

7.D　由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=,易得DC=,DE=,

∵DE<DC<DO,

(a>0,b>0,a≠b).故选D.

8.BCD　对于A,当x<0时,不等式不成立,故A是假命题;对于B,当x=1时,不等式成立,故B是真命题;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,可化为,当且仅当x=y时等号成立,故C是真命题;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2,

9,故D是真命题.故选BCD.

9.2　　因为x+2y≥2,所以4≥2,即得xy≤2,当且仅当x=2y时取等号,所以xy的最大值是2;因为=((5+)(5+2)=,当且仅当x=y时取等号,所以的最小值是

10.证明=(a-b)+2=4,当且仅当a=1+,b=-1+或a=1-,b=-1-时,等号成立.所以4.