数学必修 第一册3.2 基本不等式第1课时同步练习题

第一章　§3　3.2　第1课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．下列不等式中正确的是(　D　)

A．a＋≥4　 B．a2＋b2≥4ab

C．≥　 D．x2＋≥2

[解析]　a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．

2．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为(　B　)

A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号

B．x＞2y，当且仅当x－2y＝1时取等号

C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号

D．x＜2y，当且仅当x－2y＝1时取等号

[解析]　因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B．

3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　D　)

A．10　 B．25

C．5　 D．2

[解析]　a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，故选D．

4．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　B　)

A．　 B．

C．　 D．

[解析]　由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取等号．

5．设0＜a＜b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是(　B　)

A．　 B．b

C．2ab　 D．a2＋b2

[解析]　∵ab＜，∴ab＜，∴2ab＜．

∵＞＞0，a＋b＝1，

∴＞，∴a2＋b2＞．

∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2

＝ab－a2＝a(b－a)＞0，∴b＞a2＋b2，∴b最大．

6．已知a＞0，b＞0，A＝，B＝，C＝，则A，B，C的大小关系为(　D　)

A．A≤B≤C　 B．A≤C≤B

C．B≤C≤A　 D．C≤B≤A

[解析]　由基本不等式可知，A≥B，≤＝，所以B≥C，当a＝b时等号成立．故选D．

二、填空题

7．若a＜1，则a＋与－1的大小关系是__a＋≤－1__．

[解析]　因为a＜1，即a－1＜0，

所以－＝(1－a)＋≥2＝2(当且仅当1－a＝，即a＝0时取等号)．即a＋≤－1．

8．设x＞0，则的最小值为__2－1__．

[解析]　由x＞0，可得x＋1＞1．

令t＝x＋1(t＞1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立．

三、解答题

9．当x取什么值时，x2＋取得最小值？最小值是多少？

[解析]　x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立．

∴x＝1或－1时，x2＋取得最小值，最小值为2．

10．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1)＋＞2；

(2)＜．

[证明]　(1)∵x＞0，y＞0，∴＞0，＞0，

∴＋≥2＝2，∴＋≥2．

由于当且仅当＝，即x＝y时取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”．

∴＋＞2．

(2)∵x＞0，y＞0，x≠y，∴x＋y＞2，∴＜1，

∴＜，

∴＜．

B　组·素养提升

一、选择题

1．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为(　B　)

A．　 B．2

C．　 D．5

[解析]　∵x＋3y＝5xy，x＞0，y＞0，

∴＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·＝＋＋≥＋2·＝5，

当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号，

∴当3x＋4y取得最小值时，x＝2y＝1，∴x＋2y的值为2，故选B．

2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　B　)

A．　 B．

C．　 D．

[解析]　由x2＋3xy－1＝0可得y＝．

因为x＞0，所以x＋y＝＋≥2＝2＝(当且仅当＝，即x＝时，等号成立)．故x＋y的最小值为．

3．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　ABC　)

A．ab＜1　 B．1＜

C．ab＜　 D．＜ab

[解析]　∵ab≤，a≠b，∴ab＜1，

又∵＞，a＋b＝2，

∴＞1，∴ab＜1＜．

4．(多选题)下列结论正确的是(　AD　)

A．当x＞0时，＋≥2

B．当x＞2时，x＋的最小值是2

C．当x＜时，y＝4x－2＋的最小值为5

D．当x＞0，y＞0时，＋≥2

[解析]　在A中，当x＞0时，＞0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x＞2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x＞2取不到1，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x＜，所以5－4x＞0，则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2×＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确，故选AD．

二、填空题

5．当x＞0时，若2x＋(a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝__18__．

[解析]　∵a＞0，且2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，2x＋取得最小值，

∴＝3，解得a＝18．

6．已知3a＋2b＝1，a＞0，b＞0，则＋的最小值为__8＋4__．

[解析]　∵3a＋2b＝1，∴＋＝(3a＋2b)＝8＋＋≥8＋2＝8＋4，当且仅当a＝，b＝时取到最小值．

三、解答题

7．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1．证明：

(1)ab＋bc＋ac≤；

(2)＋＋≥1．

[解析]　证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，

得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．

由题设得(a＋b＋c)2＝1，

即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤．

(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，

故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)(当且仅当a＝b＝c时取等号)，

即＋＋≥a＋b＋c．

又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥1．

8．已知实数a，b满足a＞0，b＞0，a＋b＝2，且＋≥m恒成立，求实数m的最大值．

[解析]　∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，

令a＋1＝p，b＋1＝q，则p＞1，q＞1，

∴a＝p－1，b＝q－1，p＋q＝4，

∴＋＝＋

＝p＋q－4＋＋＝≥＝1，

∴m≤1，所以实数m的最大值为1．