北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式第2课时测试题

第2课时　基本不等式的应用

某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？

[问题]　实例中问题的实质是什么？如何求解？

知识点　基本不等式与最值

当x，y均为正数时，下面的命题均成立：

(1)若x＋y＝s (s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值；

(2)若xy＝p (p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值 2．

利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等：

(1)一正：各项必须为正；

(2)二定：各项之和或各项之积为定值；

(3)三相等：必须验证取等号时条件是否具备．　　　　

1．已知x＞0，则＋x的最小值为(　　)

A．6　　　 B．5　　　　

C．4　　　　 D．3

解析：选A　∵x＞0，∴＋x≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，此时取得最小值6.

2．已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．

解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.

答案：　

[例1]　(链接教科书第30页练习1题)(1)已知x＜，求y＝4x－2＋的最大值；

(2)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值；

(3)当x＞0时，求函数y＝的最大值．

[解]　(1)∵x＜，∴5－4x＞0，

∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立，

故当x＝1时，ymax＝1.

(2)∵0＜x＜，∴1－2x＞0，

∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝，∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.

(3)因为x＞0，所以＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．故函数y＝的最大值为1.

利用基本不等式求最值的方法

利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配．

(1)拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件；

(2)并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；

(3)配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值．　　　　

[跟踪训练]

1．3x2＋的最小值是(　　)

A．3－3　　　　　　　 B．3

C．6  D．6－3

解析：选D　3x2＋＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D.

2．已知a＞0，b＞0，则4a＋b＋的最小值是(　　)

A．2  B．2

C．4  D．5

解析：选C　∵a＞0，b＞0，∴4a＋b＋≥2＋＝4＋≥2＝4，

当且仅当即a＝，b＝1时，等号成立，此时4a＋b＋取得最小值4.

[例2]　(链接教科书第30页习题A组7题)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

[解]　∵x＞0，y＞0，＋＝1，

∴x＋y＝(x＋y)

＝＋＋10≥6＋10＝16，

当且仅当＝，即x＝4，y＝12时，上式取等号．

故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16.

[母题探究]

1．(变条件)本例条件变为“x＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不变，求x＋y的最小值．

解：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.

∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝，

∴x＋y＝x＋＝x＋

＝(x－8)＋＋10

≥2 ＋10＝18.

当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立，

∴x＋y的最小值是18.

2．(变条件，变设问)本例条件变为“x＋y＝1，x＞0，y＞0”，试求＋的最小值．

解：由＋＝(x＋y)

＝10＋＋≥10＋2＝16，

当且仅当9x2＝y2即y＝3x，

得x＝，y＝时，取“＝”，

∴＋的最小值为16.

1．常值代换法求最值的方法步骤

常值代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．

2．若常值代换法不适用于条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值．　　　　

[跟踪训练]

1．已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：选C　p＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当x＝y＝时等号成立．

2．若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为________．

解析：由a＋b＝0，且a＞0，得b＝－a，－＝＞0，

所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号．

答案：3

[例3]　(链接教科书第29页例5)某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园的人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)．

(1)若设休闲区的长A1B1和宽B1C1的比值为x(x＞1)，求公园ABCD所占面积y(单位：m2)关于x的表达式；

(2)要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？

[解]　(1)设休闲区的宽为a m，则其长为ax m，由a2x＝4 000，得a＝.

所以y＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160

＝4 000＋(8x＋20)·＋160

＝80＋4 160(x＞1)．

(2)y≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，

当且仅当2＝，即x＝时取等号，此时a＝40，ax＝100.

所以要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m，宽40 m.

求实际问题中最值的4步骤

(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式；

(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；

(4)正确写出答案．　　　　

[跟踪训练]

某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲区域(如图)，它的平面图如图所示，其中由两个全等的矩形ABCD和EFGH构成的十字型区域的面积为200 m2.现计划在正方形MNPO上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.

(1)设该休闲区域的总造价为S元，AD边的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；

(2)至少要投入多少元，才能建造这个休闲区域？

解：(1)设DO＝y，则x2＋4xy＝200，即y＝.

所以S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2＝38 000＋4 000x2＋(0＜x＜10)．

(2)S＝38 000＋4 000x2＋≥38 000＋2＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即x＝时，等号成立，此时S取得最小值，为118 000.

因此，计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲区域．

1．(多选)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于＋(　　)

A．取得最值时a＝  B．最大值是5

C．取得最值时b＝  D．最小值是

解析：选AD　因为a＋b＝2，令y＝＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝，且a＋b＝2，即a＝，b＝时，取“＝”．

2．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：选D　∵x＞0，y＞0，且＋＝1，

∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，＋＝1，即x＝4，y＝2时等号成立．

3.(x＞1)的最小值为________．

解析：令y＝，则y＝＝x＋1＋＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝2×3＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立．

故(x＞1)的最小值为8.

答案：8

4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．

答案：5　8