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初中北师大版4 利用轴对称进行设计教学设计及反思
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这是一份初中北师大版4 利用轴对称进行设计教学设计及反思，共11页。教案主要包含了 教材分析， 教学目标分析， 教学方法分析，教学过程分析等内容，欢迎下载使用。
《轴对称性质应用》说课稿
我说课的题目是轴对称图形性质应用，所选用的教材为北师大版义务教育课程标准教科书。根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析四个方面加以说明。一、 教材分析
1、教材的地位和作用
本节教材是初中数学七年级下册第五章第二节的一节习题课，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了轴对称性质的基础上，对性质的进一步深入理解和应用；另一方面，又为学习几何最值问题等知识奠定了基础。鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
2、学情分析
从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
从认知状况来说，学生在此之前已经学习了轴对称性质对”两点之间线段最短”,以及”垂线段最短”已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于数学建模的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
3、教学重难点
根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：会用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”设计实际生活中的最短距离问题。
难点确定为：转化思想的运用；利用数学模型解决问题
二、 教学目标分析
新课标指出，教学目标应包括只是与技能目标，过程与方法目标，情感与态度目标这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个右击整体，学生学会知识与技能的过程同时成为学会学习，形成正确价值观的过程，这告诉我们，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在过程与方法中。借此，我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为：
知识与技能：会用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”设计实际生活中的最短距离问题。过程与方法：经历探索实际问题数学化的过程；体会转化在解决数学问题的作用。
情感态度与价值观：
在自主探究活动中体会数学服务于生活的特点，从而激发学生学习数学的兴趣。
三、 教学方法分析
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的知道下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。
另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。
四、教学过程分析
新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：
一）温故知新
师：数学来源于生活又反过来服务于生活，请同学们尝试用数学原理解决下列实际问题。
1、如图所示，公路两侧有两个社区A和B,公交公司想在直线型公路上建一个公交站，欲使站台P到A,B两社区的距离之和最短，请你帮助确定点P的位置并说明理由.
生：直接连接A，B两点与直线的交点即为点P，数学原理“两点之间线段最短”。
2、如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，点M是位于公路AB外的村庄．设汽车行驶到点Q的位置时，距离村庄M最近，请在公路AB上画出Q的位置并说明理由.
生：过点M作MQ⊥AB垂足Q即为所求，依据“垂线段最短”。
3、 如图所示，点P是直线AB上的一点,直线AB外有一点C，你能否利用轴对称在直线的另一侧找一点C1，使得PC=PC1，谈谈你的想法.
A
B
生：作C点关于直线AB的对称点即为适合条件的C1，依据“垂直平分线上的任一点到线段两个端点距离相等”。
【设计意图】设计三道题目，一是引导学生回顾本节课所用的数学知识，为后面的研究做好铺垫；二是将转化过程中的难点进行分解为后边的探究活动指明方向。
二、探究新知
例1、 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
师：（1）此题与引例1有什么区别？
（2） 题目要求从点A出发经过直线上一点再到B点结束,能否转化为两点之间的距离？
生：结合引例的方法尝试对老师提出的问题做一些有意义的探索。
解：作点A关于直线的对称点A/,连接A/B交直线l于点P。
【设计意图】
在学生掌握引例的基础上让学生探索同侧两点到直线上某点之和最小值，因为有了异侧两点到直线上一点和的最小值的铺垫，学生易想到将异侧点转化到同侧点。老师适时的方法归纳让学生体会转化思想的作用。
【活学活用】
师：出示问题，让学生分组讨论答案，并巡视指导。
生：分组讨论，探索答案，并展示自己组内的想法和答案。
1. 如图1-1A，点E是长方形木板ABCD边AD上的一个动点，点F是AB边的中点，试说明点E位于何处时，CE+FE的和最小。
（图1-1A） （图1-1）
解：如图（1-1B）作点F关于AD的对称点G连接CG交AD于点E.点E 即为所求，此时FE+EC
的和最小。
2、如图1-2A，点E为等边△ABC中AC边上一点，AD⊥BC，且EC=3，P为AD上的一个动点,说明点P在何处时，△PEC的周长最小。
（图1-2A） （图1-2B）
解：如图（1-2B）根据等腰三角形的对称性，作点C关于AD的对称点即点B，故直接连接BE交AD于点P.点EP即为所求，此时PE+PC的和最小,因为EC的长度是定值，所以此时
△PEC的周长最小。
【设计意图】检验学生方法掌握情况，进一步让学生体会将军饮马问题的模型特点。
探究新知
例2.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再将马带到草地吃草.请你替牧马人设计出从营地到草地的最短的放牧路线.
师：（引导学生分析）此题要求牧马人从点P出发经过河流上某点再到草地这条线上吃草，
显然是要从一点出发到一条线结束。因该转化成点到线的距离.所以我们可以做出点P关于河岸的对称点P1，在作P1M垂直草地即可。
生：(分组讨论)根据老师的分析尝试转化，画图。
解：如图,，做出点P关于河岸的对称点P1,
过点P作PM垂直草地，垂足为M，
交河流于点D，P D M 即为放牧路线。
【设计意图】本题不同于将军饮马问题，这是一道转化为“垂线段最短”的实际问题。通过问题的研究重点要让学生体会两个问题的区别与联系；例1是有点出发到点结束，而例2是由点出发到线结束。两者的相同点都是将折线拉直。在学生的探讨分析，对比归纳中学会
两种模型。
【变式训练】
师：出示问题，让学生分组讨论答案，并巡视指导。
生：分组讨论，探索答案，并展示自己组内的想法和答案。
1、如图2-1A，已知∠MON=45°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取小值时，尝试确定A,B的位置.
（2-1A） (2-1B) ()() ()
解:
如图2-1B分别作P点关于OM和ON的对称点P1和P2，连接P1和P2分别交OM和ON于点A,点B.点A和点B即为所求。
2、如图（2-2A），等边△ABC中AD⊥BC，点E为AC边上一动点，点P为AD上的一个动点,请画图说明点P在何处时，PE+PC的值最小。
（2-2A） （2-2B）
解：如图（2-2B）因为等边△ABC是轴对称图形，点B和点C关于AD对称，所以一定有BP=CP，所以过点P作BE⊥AC，交AD于点P，点P即为所求。
【设计意图】
两道练习题，包含了两个模型，进一步让学生体会和掌握两种模型的特点，学会建立数学模型，初步具备将实际问题转化为数学模型的能力。
三、反思总结
师提问：本节课你有什么收获？
学生反思总结（可组内交流归纳）：
基本思路：利用轴对称构造相等线段，再借助等量代换把“折线拉直”；将问题转化为“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求解。
区分：“有起点，有终点”转化为“两点之间线段最短”；
“有起点，无终点”转化为“垂线段最短”。
数学思想：转化，建模。
【设计意图】通过设计问题串让学生对本节课的内容做一总结回顾，不同于常规的课堂小结，我在反思时注重数学思想方法的总结，让学生对数学的本质和深层次的东西理解的更加深刻。
四、 作业设计
导学案“变式训练”1,2题。
总之，本节课我重在培养学生的数学核心素养，让学生对初中阶段常用的数学思想给予了很好的训练，对于学生学习数学的能力提高帮助很大。
(1) 复习就知，温故知新
设计意图：建构注意主张教学应从学生已有的知识体系出发， 是本节课深入研究 的认知基础，这样设计有利于引导学生顺利地进入学习情境。
(2) 创设情境，提出问题
设计意图：以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望‘
通过情境创设，学生已激发了强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节———
(3) 发现问题，探求新知
设计意图：现代数学教学论指出， 的教学必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程性，在这里，通过 观察分析、独立思考、小组交流 等活动，引导学生归纳 。
(4) 分析思考，加深理解
设计意图：数学教学论指出， 数学概念（定理等） 要明确其 内涵和外延（条件、结论、应用范围等） ，通过对 定义 的几个重要方面的阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善，使学生的数学理解又一次突破思维的难点。
通过前面的学习，学生已基本把握了本节课所要学习的内容，此时，他们急于寻找一块用武之地，以展示自我，体验成功，于是我把学生导入第 环节。
(5) 强化训练，巩固双基
设计意图：几道例题及练习题由浅入深、由易到难、各有侧重，其中例1……例2……，体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。这一环节总的设计意图是反馈教学，内化知识。
(6) 小结归纳，拓展深化
我的理解是，小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主题作用，从学习的只是、方法、体验是那个方面进行归纳，我设计了这么三个问题：
① 通过本节课的学习，你学会了哪些知识；
② 通过本节课的学习，你最大的体验是什么；
③ 通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？
(7) 布置作业，提高升华
以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。
以上几个环节环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动脑思考、层层递进，对知识的理解逐步深入，使课堂效益达到最佳状态。
数轴说课稿
一：教材分析：
本节课主要是在学生学习了有理数概念的基础上，从标有刻度的温度计表示温度高低这一事例出发，引出数轴的画法和用数轴上的点表示数的方法，初步向学生渗透数形结合的数学思想,以使学生借助直观的图形来理解有理数的有关问题。数轴不仅是学生学习相反数、绝对值等有理数知识的重要工具，还是以后学好不等式的解法、函数图象及其性质等内容的必要基础知识。
二：教学目标：
根据新课标的要求及七年级学生的认知水平我特制定的本节课的教学目标如下：
1. 使学生理解数轴的三要素，会画数轴。
2. 能将已知的有理数在数轴上表示出来，能说出数轴上的已知点所表示的有理数，理解所有的有理数都可以用数轴上的点表示
3. 向学生渗透数形结合的数学思想，让学生知道数学来源于实践，培养学生对数学的学习兴趣。
三：教学重难点确定：
正确理解数轴的概念和有理数在数轴上的表示方法是本节课的教学重点，建立有理数与数轴上的点的对应关系(数与形的结合)是本节课的教学难点。
四：学情分析：
⑴知识掌握上，七年级学生刚刚学习有理数中的正负数，对正负数的概念理解不一定很深刻，许多学生容易造成知识遗忘，所以应全面系统的去讲述。
⑵学生学习本节课的知识障碍。学生对数轴概念和数轴的三要素，学生不易理解，容易造成画图中掉三落四的现象，所以教学中教师应予以简单明白、深入浅出的分析。
⑶由于七年级学生的理解能力和思维特征和生理特征，学生好动性，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬等特点，所以在教学中应抓住学生这一生理心理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
⑷心理上，学生对数学课的兴趣，老师应抓住这有利因素，引导学生认识到数学课的科学性，学好数学有利于其他学科的学习以及学科知识的渗透性。
五：教学策略：
由于七年级学生的理解能力和思维特征，他们往往需要依赖直观具体形象的图形的年龄特点，以及七年级学生刚刚学习有理数中的正负数，对正负数的概念理解不一定很深刻，许多学生容易造成知识遗忘，也为使课堂生动、有趣、高效，特将整节课以观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中，采用启发式教学法和师生互动式教学模式，注意师生之间的情感交流，并教给学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习方法。教学中积极利用板书和练习中的图形，向学生提供更多的活动机会和空间，使学生在动脑、动手、动口的过程中获得充足的体验和发展，从而培养学生的数形结合的思想。
为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用，教学过程中设计了七个教学环节：
（一）、温故知新，激发情趣
（二）、得出定义，揭示内涵
（三）、手脑并用，深入理解
（四）、启发诱导，初步运用
（五）、反馈矫正，注重参与
（六）、归纳小结，强化思想
（七）、布置作业，引导预习
六：教学程序设计：
（一）、温故知新，激发情趣：
首先复习提问：有理数包括那些数？学生回答后让大家讨论：你能找出用刻度表示这些数的实例吗？学生会举出很多例子，但是由于温度计与数轴最为接近，它又是学生熟悉的带刻度的度量工具，所以在教学中我将用它来抽象概括为数轴这一数学模型，于是让学生观察一组温度计，并提问：
（1）零上5°C用 5 表示。
（2）零下15°C 用 -15 表示。
（3）0°C 用 0 表示。
然后让大家想一想：能否与温度计类似，在一条直线上画上刻度，标出读数，用直线上的点表示正数、负数和0呢？答案是肯定的，从而引出课题：数轴。结合实例使学生以轻松愉快的心情进入了本节课的学习，也使学生体会到数学来源于实践，同时对新知识的学习有了期待，为顺利完成教学任务作了思想上的准备。
（二）、得出定义，揭示内涵：
教师设问：到底什么是数轴？如何画数轴呢？
（1）画直线，取原点（这里说明在直线上任取一点作为原点，这点表示0，数轴画成水平位置是为了读、画方便，同时也为了有美的感觉。）
（2）标正方向（这里说明我们在水平位置的数轴上规定从原点向右为正方向是习惯与方便所作,由于我们只能画出直线的一部分，因此标上箭头指明正方向，并表示无限延伸。）
（3）选取单位长度，标数（这里说明任选适当的长度作为单位长度，标数时从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3…负数反之。单位长度的长短，可根据实际情况而定，但同一单位长度所表示的量要相同。）
由于画数轴是本节课的教学重点，教师板书这三个步骤，给学生以示范。
画完数轴后教师引导学生讨论：“怎样用数学语言来描述数轴？”（通过教师的亲切的语言启发学生，以培养师生间的默契）
通过讨论由师生共同得到数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
至此，我们将一个具体的事物“温度计”经过抽象而概括为一个数学概念“数轴”，使学生初步体验到一个从实践到理论的认识过程。
（三）、手脑并用，深入理解：
1、让学生讨论：下列图形哪些是数轴，哪些不是，为什么？
A、
B、
C、
D、
E、
F、
A、B、C三个图形从数轴的三要素出发，D和F是学生可能出现的错误，给学生足够的观察、思考的时间然后展开充分的讨论，教师参与到学生的讨论之中去接触学生，认识学生，关注学生。
2、为进一步强化概念，在对数轴有了正确认识的基础上，请大家在练习本上画一个数轴，（请同学画在黑板上）
学生在画数轴时教师巡视并予以个别指导，关注学生的个体发展，画完后教师给出评价，如“很好”“很规范”“老师相信你，你一定行”等语言来激励学生，以促进学生的发展；并强调：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，画数轴时这三要素缺一不可。
我设计以上两个练习，一个是动脑想，通过分析、判断正误来加深对正确概念的理解；一个是通过动手操作加深对概念的理解。
（四）、启发诱导，初步运用：
有了数轴以后，所有的有理数都可以表示在数轴上，那么反过来，数轴上的点是否只表示有理数呢？作为一个问题我让学生去思考，为后面实数的学习埋下伏笔，这里不再展开。
安排课本23页的例1，
利用黑板上的例题图形让学生来操作，教师提出要求：
1、要把点标在线上 2、要把数标在点的上方
通过学生实际操作，可以加深对数轴的理解，进一步掌握用数轴上的点表示数的方法，同时激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，从而使学生真正成为教学的主体。
当然，此题还可以再说出几个有理数让学生去标点，好让更多的学生去展示自己，并进一步让学生从中感受已知有理数能用数轴上的点表示，从而加深对数形结合思想的理解。
（五）、反馈矫正，注重参与：
为巩固本节的教学重点让学生独立完成：
1、课本23页练习1、2
2、课本23页3题的（给全体学生以示范性让一个同学板书）
为向学生进一步渗透数形结合的思想让学生讨论：
3、数轴上的点P与表示有理数3的点A距离是2，
（1）试确定点P表示的有理数；
（2）将A向右移动2个单位到B点，点B表示的有理数是多少？
（3）再由B点向左移动9个单位到C点，则C点表示的有理数是多少？
先让学生通过小组讨论得出结果，通过以上练习使学生在掌握知识的基础上达到灵活运用，形成一定的能力。
（六）、归纳小结，强化思想：
根据学生的特点，师生共同小结：
1、为了巩固本节课的教学重点提问:你知道什么是数轴吗？你会画数轴吗？这节课你学会了用什么来表示有理数？
2、数轴上，会不会有两个点表示同一个有理数？会不会有一个点表示两个不同的有理数？
让学生牢固掌握一个有理数只对应数轴上的一个点，并能说出数轴上已知点所表示的有理数。
（七）、布置作业，引导预习：
为面向全体学生，安排如下：
1、全体学生必做课本25页1、2、3
2、最后布置一个思考题：
与温度计类似，数轴上两个不同的点所表示的两个有理数大小关系如何？
（来引导学生养成预习的学习习惯）
七：板书设计：（略）
总之，在教学过程中，我始终注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主、探究、合作学习来主动发现结论，实现师生互动，通过这样的教学实践取得了良好的教学效果，我认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，才能使自己真正成为一名受学生欢迎的好教师。
以上是我对本节课的设想，不足之处请老师们多多批评、指正，谢谢!
《轴对称性质应用》说课稿
我说课的题目是轴对称图形性质应用，所选用的教材为北师大版义务教育课程标准教科书。根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析四个方面加以说明。一、 教材分析
1、教材的地位和作用
本节教材是初中数学七年级下册第五章第二节的一节习题课，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了轴对称性质的基础上，对性质的进一步深入理解和应用；另一方面，又为学习几何最值问题等知识奠定了基础。鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
2、学情分析
从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
从认知状况来说，学生在此之前已经学习了轴对称性质对”两点之间线段最短”,以及”垂线段最短”已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于数学建模的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。
3、教学重难点
根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：会用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”设计实际生活中的最短距离问题。
难点确定为：转化思想的运用；利用数学模型解决问题
二、 教学目标分析
新课标指出，教学目标应包括只是与技能目标，过程与方法目标，情感与态度目标这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个右击整体，学生学会知识与技能的过程同时成为学会学习，形成正确价值观的过程，这告诉我们，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在过程与方法中。借此，我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为：
知识与技能：会用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”设计实际生活中的最短距离问题。过程与方法：经历探索实际问题数学化的过程；体会转化在解决数学问题的作用。
情感态度与价值观：
在自主探究活动中体会数学服务于生活的特点，从而激发学生学习数学的兴趣。
三、 教学方法分析
现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、言道者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的知道下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。
另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。
四、教学过程分析
新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：
一）温故知新
师：数学来源于生活又反过来服务于生活，请同学们尝试用数学原理解决下列实际问题。
1、如图所示，公路两侧有两个社区A和B,公交公司想在直线型公路上建一个公交站，欲使站台P到A,B两社区的距离之和最短，请你帮助确定点P的位置并说明理由.
生：直接连接A，B两点与直线的交点即为点P，数学原理“两点之间线段最短”。
2、如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，点M是位于公路AB外的村庄．设汽车行驶到点Q的位置时，距离村庄M最近，请在公路AB上画出Q的位置并说明理由.
生：过点M作MQ⊥AB垂足Q即为所求，依据“垂线段最短”。
3、 如图所示，点P是直线AB上的一点,直线AB外有一点C，你能否利用轴对称在直线的另一侧找一点C1，使得PC=PC1，谈谈你的想法.
A
B
生：作C点关于直线AB的对称点即为适合条件的C1，依据“垂直平分线上的任一点到线段两个端点距离相等”。
【设计意图】设计三道题目，一是引导学生回顾本节课所用的数学知识，为后面的研究做好铺垫；二是将转化过程中的难点进行分解为后边的探究活动指明方向。
二、探究新知
例1、 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
师：（1）此题与引例1有什么区别？
（2） 题目要求从点A出发经过直线上一点再到B点结束,能否转化为两点之间的距离？
生：结合引例的方法尝试对老师提出的问题做一些有意义的探索。
解：作点A关于直线的对称点A/,连接A/B交直线l于点P。
【设计意图】
在学生掌握引例的基础上让学生探索同侧两点到直线上某点之和最小值，因为有了异侧两点到直线上一点和的最小值的铺垫，学生易想到将异侧点转化到同侧点。老师适时的方法归纳让学生体会转化思想的作用。
【活学活用】
师：出示问题，让学生分组讨论答案，并巡视指导。
生：分组讨论，探索答案，并展示自己组内的想法和答案。
1. 如图1-1A，点E是长方形木板ABCD边AD上的一个动点，点F是AB边的中点，试说明点E位于何处时，CE+FE的和最小。
（图1-1A） （图1-1）
解：如图（1-1B）作点F关于AD的对称点G连接CG交AD于点E.点E 即为所求，此时FE+EC
的和最小。
2、如图1-2A，点E为等边△ABC中AC边上一点，AD⊥BC，且EC=3，P为AD上的一个动点,说明点P在何处时，△PEC的周长最小。
（图1-2A） （图1-2B）
解：如图（1-2B）根据等腰三角形的对称性，作点C关于AD的对称点即点B，故直接连接BE交AD于点P.点EP即为所求，此时PE+PC的和最小,因为EC的长度是定值，所以此时
△PEC的周长最小。
【设计意图】检验学生方法掌握情况，进一步让学生体会将军饮马问题的模型特点。
探究新知
例2.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再将马带到草地吃草.请你替牧马人设计出从营地到草地的最短的放牧路线.
师：（引导学生分析）此题要求牧马人从点P出发经过河流上某点再到草地这条线上吃草，
显然是要从一点出发到一条线结束。因该转化成点到线的距离.所以我们可以做出点P关于河岸的对称点P1，在作P1M垂直草地即可。
生：(分组讨论)根据老师的分析尝试转化，画图。
解：如图,，做出点P关于河岸的对称点P1,
过点P作PM垂直草地，垂足为M，
交河流于点D，P D M 即为放牧路线。
【设计意图】本题不同于将军饮马问题，这是一道转化为“垂线段最短”的实际问题。通过问题的研究重点要让学生体会两个问题的区别与联系；例1是有点出发到点结束，而例2是由点出发到线结束。两者的相同点都是将折线拉直。在学生的探讨分析，对比归纳中学会
两种模型。
【变式训练】
师：出示问题，让学生分组讨论答案，并巡视指导。
生：分组讨论，探索答案，并展示自己组内的想法和答案。
1、如图2-1A，已知∠MON=45°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取小值时，尝试确定A,B的位置.
（2-1A） (2-1B) ()() ()
解:
如图2-1B分别作P点关于OM和ON的对称点P1和P2，连接P1和P2分别交OM和ON于点A,点B.点A和点B即为所求。
2、如图（2-2A），等边△ABC中AD⊥BC，点E为AC边上一动点，点P为AD上的一个动点,请画图说明点P在何处时，PE+PC的值最小。
（2-2A） （2-2B）
解：如图（2-2B）因为等边△ABC是轴对称图形，点B和点C关于AD对称，所以一定有BP=CP，所以过点P作BE⊥AC，交AD于点P，点P即为所求。
【设计意图】
两道练习题，包含了两个模型，进一步让学生体会和掌握两种模型的特点，学会建立数学模型，初步具备将实际问题转化为数学模型的能力。
三、反思总结
师提问：本节课你有什么收获？
学生反思总结（可组内交流归纳）：
基本思路：利用轴对称构造相等线段，再借助等量代换把“折线拉直”；将问题转化为“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求解。
区分：“有起点，有终点”转化为“两点之间线段最短”；
“有起点，无终点”转化为“垂线段最短”。
数学思想：转化，建模。
【设计意图】通过设计问题串让学生对本节课的内容做一总结回顾，不同于常规的课堂小结，我在反思时注重数学思想方法的总结，让学生对数学的本质和深层次的东西理解的更加深刻。
四、 作业设计
导学案“变式训练”1,2题。
总之，本节课我重在培养学生的数学核心素养，让学生对初中阶段常用的数学思想给予了很好的训练，对于学生学习数学的能力提高帮助很大。
(1) 复习就知，温故知新
设计意图：建构注意主张教学应从学生已有的知识体系出发， 是本节课深入研究 的认知基础，这样设计有利于引导学生顺利地进入学习情境。
(2) 创设情境，提出问题
设计意图：以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望‘
通过情境创设，学生已激发了强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节———
(3) 发现问题，探求新知
设计意图：现代数学教学论指出， 的教学必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程性，在这里，通过 观察分析、独立思考、小组交流 等活动，引导学生归纳 。
(4) 分析思考，加深理解
设计意图：数学教学论指出， 数学概念（定理等） 要明确其 内涵和外延（条件、结论、应用范围等） ，通过对 定义 的几个重要方面的阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善，使学生的数学理解又一次突破思维的难点。
通过前面的学习，学生已基本把握了本节课所要学习的内容，此时，他们急于寻找一块用武之地，以展示自我，体验成功，于是我把学生导入第 环节。
(5) 强化训练，巩固双基
设计意图：几道例题及练习题由浅入深、由易到难、各有侧重，其中例1……例2……，体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。这一环节总的设计意图是反馈教学，内化知识。
(6) 小结归纳，拓展深化
我的理解是，小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主题作用，从学习的只是、方法、体验是那个方面进行归纳，我设计了这么三个问题：
① 通过本节课的学习，你学会了哪些知识；
② 通过本节课的学习，你最大的体验是什么；
③ 通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？
(7) 布置作业，提高升华
以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固提高。
以上几个环节环环相扣，层层深入，并充分体现教师与学生的交流互动，在教师的整体调控下，学生通过动脑思考、层层递进，对知识的理解逐步深入，使课堂效益达到最佳状态。
数轴说课稿
一：教材分析：
本节课主要是在学生学习了有理数概念的基础上，从标有刻度的温度计表示温度高低这一事例出发，引出数轴的画法和用数轴上的点表示数的方法，初步向学生渗透数形结合的数学思想,以使学生借助直观的图形来理解有理数的有关问题。数轴不仅是学生学习相反数、绝对值等有理数知识的重要工具，还是以后学好不等式的解法、函数图象及其性质等内容的必要基础知识。
二：教学目标：
根据新课标的要求及七年级学生的认知水平我特制定的本节课的教学目标如下：
1. 使学生理解数轴的三要素，会画数轴。
2. 能将已知的有理数在数轴上表示出来，能说出数轴上的已知点所表示的有理数，理解所有的有理数都可以用数轴上的点表示
3. 向学生渗透数形结合的数学思想，让学生知道数学来源于实践，培养学生对数学的学习兴趣。
三：教学重难点确定：
正确理解数轴的概念和有理数在数轴上的表示方法是本节课的教学重点，建立有理数与数轴上的点的对应关系(数与形的结合)是本节课的教学难点。
四：学情分析：
⑴知识掌握上，七年级学生刚刚学习有理数中的正负数，对正负数的概念理解不一定很深刻，许多学生容易造成知识遗忘，所以应全面系统的去讲述。
⑵学生学习本节课的知识障碍。学生对数轴概念和数轴的三要素，学生不易理解，容易造成画图中掉三落四的现象，所以教学中教师应予以简单明白、深入浅出的分析。
⑶由于七年级学生的理解能力和思维特征和生理特征，学生好动性，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬等特点，所以在教学中应抓住学生这一生理心理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
⑷心理上，学生对数学课的兴趣，老师应抓住这有利因素，引导学生认识到数学课的科学性，学好数学有利于其他学科的学习以及学科知识的渗透性。
五：教学策略：
由于七年级学生的理解能力和思维特征，他们往往需要依赖直观具体形象的图形的年龄特点，以及七年级学生刚刚学习有理数中的正负数，对正负数的概念理解不一定很深刻，许多学生容易造成知识遗忘，也为使课堂生动、有趣、高效，特将整节课以观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中，采用启发式教学法和师生互动式教学模式，注意师生之间的情感交流，并教给学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习方法。教学中积极利用板书和练习中的图形，向学生提供更多的活动机会和空间，使学生在动脑、动手、动口的过程中获得充足的体验和发展，从而培养学生的数形结合的思想。
为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用，教学过程中设计了七个教学环节：
（一）、温故知新，激发情趣
（二）、得出定义，揭示内涵
（三）、手脑并用，深入理解
（四）、启发诱导，初步运用
（五）、反馈矫正，注重参与
（六）、归纳小结，强化思想
（七）、布置作业，引导预习
六：教学程序设计：
（一）、温故知新，激发情趣：
首先复习提问：有理数包括那些数？学生回答后让大家讨论：你能找出用刻度表示这些数的实例吗？学生会举出很多例子，但是由于温度计与数轴最为接近，它又是学生熟悉的带刻度的度量工具，所以在教学中我将用它来抽象概括为数轴这一数学模型，于是让学生观察一组温度计，并提问：
（1）零上5°C用 5 表示。
（2）零下15°C 用 -15 表示。
（3）0°C 用 0 表示。
然后让大家想一想：能否与温度计类似，在一条直线上画上刻度，标出读数，用直线上的点表示正数、负数和0呢？答案是肯定的，从而引出课题：数轴。结合实例使学生以轻松愉快的心情进入了本节课的学习，也使学生体会到数学来源于实践，同时对新知识的学习有了期待，为顺利完成教学任务作了思想上的准备。
（二）、得出定义，揭示内涵：
教师设问：到底什么是数轴？如何画数轴呢？
（1）画直线，取原点（这里说明在直线上任取一点作为原点，这点表示0，数轴画成水平位置是为了读、画方便，同时也为了有美的感觉。）
（2）标正方向（这里说明我们在水平位置的数轴上规定从原点向右为正方向是习惯与方便所作,由于我们只能画出直线的一部分，因此标上箭头指明正方向，并表示无限延伸。）
（3）选取单位长度，标数（这里说明任选适当的长度作为单位长度，标数时从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3…负数反之。单位长度的长短，可根据实际情况而定，但同一单位长度所表示的量要相同。）
由于画数轴是本节课的教学重点，教师板书这三个步骤，给学生以示范。
画完数轴后教师引导学生讨论：“怎样用数学语言来描述数轴？”（通过教师的亲切的语言启发学生，以培养师生间的默契）
通过讨论由师生共同得到数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
至此，我们将一个具体的事物“温度计”经过抽象而概括为一个数学概念“数轴”，使学生初步体验到一个从实践到理论的认识过程。
（三）、手脑并用，深入理解：
1、让学生讨论：下列图形哪些是数轴，哪些不是，为什么？
A、
B、
C、
D、
E、
F、
A、B、C三个图形从数轴的三要素出发，D和F是学生可能出现的错误，给学生足够的观察、思考的时间然后展开充分的讨论，教师参与到学生的讨论之中去接触学生，认识学生，关注学生。
2、为进一步强化概念，在对数轴有了正确认识的基础上，请大家在练习本上画一个数轴，（请同学画在黑板上）
学生在画数轴时教师巡视并予以个别指导，关注学生的个体发展，画完后教师给出评价，如“很好”“很规范”“老师相信你，你一定行”等语言来激励学生，以促进学生的发展；并强调：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，画数轴时这三要素缺一不可。
我设计以上两个练习，一个是动脑想，通过分析、判断正误来加深对正确概念的理解；一个是通过动手操作加深对概念的理解。
（四）、启发诱导，初步运用：
有了数轴以后，所有的有理数都可以表示在数轴上，那么反过来，数轴上的点是否只表示有理数呢？作为一个问题我让学生去思考，为后面实数的学习埋下伏笔，这里不再展开。
安排课本23页的例1，
利用黑板上的例题图形让学生来操作，教师提出要求：
1、要把点标在线上 2、要把数标在点的上方
通过学生实际操作，可以加深对数轴的理解，进一步掌握用数轴上的点表示数的方法，同时激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，从而使学生真正成为教学的主体。
当然，此题还可以再说出几个有理数让学生去标点，好让更多的学生去展示自己，并进一步让学生从中感受已知有理数能用数轴上的点表示，从而加深对数形结合思想的理解。
（五）、反馈矫正，注重参与：
为巩固本节的教学重点让学生独立完成：
1、课本23页练习1、2
2、课本23页3题的（给全体学生以示范性让一个同学板书）
为向学生进一步渗透数形结合的思想让学生讨论：
3、数轴上的点P与表示有理数3的点A距离是2，
（1）试确定点P表示的有理数；
（2）将A向右移动2个单位到B点，点B表示的有理数是多少？
（3）再由B点向左移动9个单位到C点，则C点表示的有理数是多少？
先让学生通过小组讨论得出结果，通过以上练习使学生在掌握知识的基础上达到灵活运用，形成一定的能力。
（六）、归纳小结，强化思想：
根据学生的特点，师生共同小结：
1、为了巩固本节课的教学重点提问:你知道什么是数轴吗？你会画数轴吗？这节课你学会了用什么来表示有理数？
2、数轴上，会不会有两个点表示同一个有理数？会不会有一个点表示两个不同的有理数？
让学生牢固掌握一个有理数只对应数轴上的一个点，并能说出数轴上已知点所表示的有理数。
（七）、布置作业，引导预习：
为面向全体学生，安排如下：
1、全体学生必做课本25页1、2、3
2、最后布置一个思考题：
与温度计类似，数轴上两个不同的点所表示的两个有理数大小关系如何？
（来引导学生养成预习的学习习惯）
七：板书设计：（略）
总之，在教学过程中，我始终注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主、探究、合作学习来主动发现结论，实现师生互动，通过这样的教学实践取得了良好的教学效果，我认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，才能使自己真正成为一名受学生欢迎的好教师。
以上是我对本节课的设想，不足之处请老师们多多批评、指正，谢谢!
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