【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第04讲 《二元一次方程组》单元分类总复习

第4讲  《二元一次方程组》章节分类总复习

考点一  二元一次方程的定义及二元一次方程的解

【知识点睛】

        定义：若方程为二元一次方程，则有：

        方程的解：符合二元一次方程的x、y的一对值就是二元一次方程的解

【类题训练】

1．若方程（a﹣6）x|a|﹣5+5y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　）

A．±6 B．﹣6 C．±5 D．5

2．下列关于方程x+y＝1的解的说法错误的是（　　）

A．是它的解 

B．它只有一个解 

C．以它的解为坐标的点组成的图象是一条直线 

D．它有无数多个解

3．若4xa+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则2a+b的值为（　　）

A．0 B．﹣3 C．3 D．4

4．若是二元一次方程ax+by＝﹣2的一个解，则3a﹣2b+2024的值为 　   　．

考点二  二元一次方程组的定义及二元一次方程组的解

【知识点睛】

        有两个一次方程组成，并且未知数的个数为两个的方程组是二元一次方程组

        方程组的解：使每个二元一次方程都成立的未知数的值的组合就是二元一次方程组的解

【类题训练】

1．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）

A．   B．   C．   D．

2．若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则mn＝　   　．

3．关于x、y的方程组的解满足x﹣y＝9，则m的值为 　   　．

4．小亮求得方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（　　）

A．5，2 B．﹣8，2 C．8，﹣2 D．5，4

5．已知方程组的解为，则m+n的值为 　   　．

考点三  二元一次方程组的解法

【知识点睛】

1. 代入消元法步骤：

①.将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示。

②.用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值.

③.把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值.

④.写出方程组的解.

2. 加减消元法步骤：

    ①.将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）

②.通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程.

③.解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.

④.将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值.

⑤.写出方程组的解.

3. 二元一次方程组解法的选择标准：

①当方程组中的某个方程的某个未知数的系数的绝对值为1，或某个方程的常数像为0时，一般用代入消元法解方程组比较简便；

②当方程组中某个未知数的系数的绝对值相同或成倍数关系时，一般用加减消元法解方程组比较简便；

③当未知数的系数的绝对值都不相同时，找出某一个未知数系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形；

④使得方程中某个未知数的系数相同（或互为相反数），再用加减法消元求解。

⑤在解二元一次方程组时，除了代入消元法和加减消元法之外，我们还可以用整体代入法、换元法、设元法等方法求解，应根据题目灵活选择。

【类题训练】

1．用加减法解方程组由②﹣①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（　　）

A．2x＝9 B．2x＝3 C．4x＝9 D．4x＝3

2．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则△和？代表的数分别是（　　）

A．5和1 B．1和5 C．﹣1和3 D．3和﹣1

3．已知二元一次方程组，则2x+y的值为（　　）

A．﹣2 B．0 C．6 D．8

4．已知方程组指出下列解法中比较简洁的是（　　）

A．利用①，用含x的式子表示y，再代入② 

B．利用①，用含y的式子表示x，再代入② 

C．利用②，用含x的式子表示y，再代入① 

D．利用②，用含y的式子表示x，再代入①

5．关于x、y的二元一次方程组，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用②×2﹣①得到的方程是 　   　．

6．已知是关于x，y的方程组，则无论a取何值，x，y恒有关系式是 　   　．

7．对于有理数x，y，定义一种新运算：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数．已知1⊕2＝10，（﹣3）⊕2＝2，则a⊕b＝　   　．

8．用代入消元法解方程组：

（1）；

（2）．

9．解下列方程组：

（1）；

（2）．

10．阅读下列解方程组的部分过程，回答下列问题．

解方程组现有两位同学的解法如下：

解法一：由①得y＝7﹣5x③，把③代入②中得3x﹣（7﹣5x）＝1．

解法二：①+②得8x＝8．

（1）解法一使用的具体方法是 　   　，解法二使用的具体方法是 　   　，以上两种方法的共同点是 　   　．

（2）请你任选一种解法，把完整的解题过程写出来．

考点四  二元一次方程组的实际应用

【知识点睛】

列方程（组）解应用题的关键是读懂题意，找准等量关系，解题过程中要注意所列各方程的同一个未知数的单位要一致，各个方程的左右两边的单位要一致，且答的单位必须与问的单位一致.解实际应用问题时还必须根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不合题意的解应该舍去.

【类题训练】

1．一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，个位数字与十位数字互换后所成的新数比原数小18，则原数是（　　）

A．26 B．62 C．35 D．53

2．如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　）

A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm

3．某书店用2200元购进《格林童话》和《安徒生童话》两种故事书共100本，其中《格林童话》每本的进价为20元，《安徒生童话》每本的进价为25元，则购进了《格林童话》

　   　本．

4．我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？”则题中兔有 　   　只．

5．2022年3月，某市中学生运动会篮球比赛拉开帷幕，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，已知某篮球队在七场比赛中共得到15分，则该篮球队在这七场比赛中获胜（　　）

A．6场 B．5场 C．4场 D．3场

6．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（　　）

A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米

7．数学老师要求同学们列二元一次方程组解决问题：在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后为扶贫村修建3000米的村路，甲队每天修建150米，乙队每天修建200米，共用18天完成．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？

（1）张红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数x表示的是 　   　，未知数y表示的是 　   　；

（2）李芳同学设甲工程队修建了p天，乙工程队修建了q天．请你按照她的思路解答老师的问题．

8．某商场从厂家购进了A、B两种品牌篮球共80个，已知购买A品牌篮球的总价比购买B品牌篮球总价的2倍还多200元，A品牌篮球每个进价100元，B品牌篮球每个进价80元．

（1）求购进A、B两种品牌篮球各多少个？

（2）在销售过程中，A品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打折出售剩余的A品牌篮球；B品牌篮球每个按进价加价20%销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求A品牌篮球打几折出售？

9．元旦当天，学校准备给老师购买一批围巾和袜子作为节日礼物，已知一条围巾比一仅袜子的标价多22元，买一条围巾的钱可以买6双袜子还剩2元，甲商场给出的节日优惠为：每购买5条围巾，送2双袜子；乙商场给出的节日优惠为：购买围巾超过10条，则袜子打五折．

（1）用二元一次方程组的知识求围巾和袜子的单价；

（2）学校计划购买围巾50条，袜子25双，只选择其中一家商场，你认为学校应该到哪个商场购买更合算？

10．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进A型和B型两种吉祥物．据了解，8只A型吉祥物和10只B型吉祥物的进价共2000元；10只A型吉祥物和20只B型吉祥物的进价共3100元．

（1）求A型和B型两种吉祥物每只进价分别是多少元；

（2）该专卖店计划恰好用4500元购进A型和B型两种吉祥物（两种均购买），问专卖店共有几种采购方案？

考点五  三元一次方程组

【知识点睛】

三元一次方程组的解法，类比二元一次方程组，也是以消元为目的，转化成二元一次方程组，再按照二元一次方程组的解法操作；

三元一次方程组的应用题依然跟二元一次方程组的应用题一样，按照审、设、列、解、答，五个步骤来思考

【类题训练】

1．解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　）

A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③              D．①﹣②，①×2﹣③

2．已知x+y＝1，y+z＝5，x+z＝6，则xyz等于（　　）

A．0 B．7 C．8 D．9

3．解方程组，如果要使运算简便，那么消元时最好应（　　）

A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项

4．解下列方程组：

（1）；

（2）．

5．在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．

解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④．

③+④得：（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝5a+b⑤．

当（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝4x+13y﹣9z时，

即，解得．

∴①×3+②×（﹣2），得4x+13y﹣9z＝5×3+1×（﹣2）＝13．

请你根据小华的分析过程，解决如下问题：

（1）若有理数a、b满足（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，求a、b的值；

（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？