【同步讲义】人教版数学七年级下册：第八章 二元一次方程组（单元测试）

第八章 二元一次方程组卷单元测试

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入方程组，进而求得的值，进而即可求解．

【详解】解：∵是二元一次方程组的解，

∴

即，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

2．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）解方程组：①②③④比较适宜的方法是（     ）

A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法

C．②③用代入法，①④用加减法 D．①④用代入法，②③用加减法

【答案】D

【分析】根据代入消元法和加减消元法的特性选择适宜方法，转化一元一次方程，即可解得方程组的解．

【详解】解：①中的第一个方程为，显然可用代入法；

②中的的系数互为相反数，显然用加减法；

③中的第二个方程可以乘以2得，即可用加减法进行消元；

④中的第一个方程可以转化为，即可用代入法进行消元．

①④用代入法，②③用加减法选第二个答案．

故答案选 ．

【点睛】根据代入消元法和加减消元法的定义，细心观察方程组的特点，灵活选择简便方法是解题的关键．是否熟练掌握代入消元法（即用其中一个未知数表示另一个未知数，再代入其中一个方程，转化为一元一次方程，进而求解）和加减消元法（即将其中一个未知数的系数化为相同或相反时，用加减法即可达到消元的目的，转化为一元一次方程）是解题的重点．

3．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】由得：，从而得到，即可求解．

【详解】解：，

由得：，

∵二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，

∴，

解得：．

故选：A

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．

4．（2023春·浙江·七年级期中）如表中给出的每一对，的值都是二元一次方程的解，则表中的值为（　　）

A． B． C．0 D．3

【答案】B

【分析】根据题意将和代入求出a和b的值，然后将代入求解即可．

【详解】解：由表可知：方程的一组解为，

代入方程得：，

解得：，

也是方程的解，代入得：，

解得：，

方程为：，

将代入方程得：，

解得：．

故选：B．

【点睛】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键．

5．（2022春·福建福州·七年级统考期末）在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于x，y的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由图1可知：前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1，横的表示5，据此类比图1所示的算筹的表示方法解答即可．

【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组：

，

故选C．

【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法是解答本题的关键．

6．（2023春·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度得到点，若点A与点B关于y轴对称，则的值是：（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】根据点平移的规律，得出点向右平移4个单位长度后的坐标为，再结合题意，列出方程组，解出、的值，然后代入代数式，计算即可得出答案．

【详解】解：∵点向右平移4个单位长度后的坐标为，

又∵点向右平移4个单位长度得到点，

∴可得：，

∴解得：，

∴，

∴的值是．

故选：A

【点睛】本题考查了平移、解二元一次方程组，解本题的关键在正确求出、的值．

7．（2022秋·八年级课时练习）已知与都是方程的解，则与的值为（   ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【分析】将与代入方程y＝kx+b，得到关于k和b的二元一次方程组，再求出k和b的值．

【详解】解：把与代入方程y＝kx+b，

得到关于k和b的二元一次方程组，

解这个方程组，得．

故选：A．

【点睛】此题考查了解二元一次方程组和方程的解，运用代入法，得关于k和b的二元一次方程组，再解方程组求解是解决此类问题的关键．

8．（2022秋·七年级课时练习）甲是乙现在的年龄时，乙8岁，乙是甲现在的年龄时，甲26岁，那么（    ）

A．甲20岁，乙14岁 B．甲22岁，乙16岁

C．乙比甲大18岁 D．乙比甲大34岁

【答案】A

【分析】设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁，根据题意列出二元一次方程组即可求解.

【详解】设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁.

依题意得，解.

故选A

【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解.

9．（2023春·七年级课时练习）小江去商店购买签字笔和笔记本（签字笔的单价相同，笔记本的单价相同）、若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会差25元；若购买19支签字笔和16本笔记本，则他身上的钱会差15元，若小江购买17支签字笔和18本笔记本，则（    ）

A．他身上的钱会不足5元 B．他身上的钱会剩下5元

C．他身上的钱会不足10元 D．他身上的钱会剩下10元

【答案】B

【分析】设签字笔的单价为元，笔记本的单价为元，根据小江身上的钱不变得出方程，整理得，由小江购买17支签字笔和18本笔记本的钱为，得出，代入计算即可．

【详解】解：设签字笔的单价为元，笔记本的单价为元，

根据题意得：，

整理得：，

小江购买17支签字笔和18本笔记本的钱为，

∴

，

即小江身上的钱会剩下5元；

故选：B．

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出方程是解题的关键．

10．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、校验码”．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：

步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即；

步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即；

步骤3：计算3a与b的和c，即；

步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即；

步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即．

如图，若条形码中被污染的两个数字的和是5，则被污染的两个数字中右边的数字是（    ）

A．1 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】设这两个数字从左到右分别是p，q，根据定义及运用方程的思想解决此题．

【详解】解：设这两个数字从左到右分别是p，q．

由题意得：，

，，

∵d为10的整数倍，

∴．

∴．

又∵，

∴，．

故选：C

【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则、方程的思想是解决本题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上

11．（2022春·广东佛山·七年级期中）把方程改写成用含的式子表示的形式是 _____．

【答案】

【分析】通过移项，化系数为1的步骤将方程改写成用含的式子表示的形式，即可求解．

【详解】解：，

，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，根据等式的性质变形是解题的关键．

12．（2023春·江苏常州·九年级常州实验初中校考阶段练习）已知是方程的解，则代数式的值为_________．

【答案】

【分析】根据二元一次方程的解的定义，得出，整体代入代数式求值即可求解．

【详解】解：∵是方程的解，

∴，

∴

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．使得方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．

13．（2023春·江苏宿迁·九年级泗阳致远中学校考期中）已知二元一次方程组，则________．

【答案】1

【分析】由，即可求解．

【详解】解：，

由得：．

故答案为：1

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握整体思想的解题方法，两个方程整体相减是解题的关键．

14．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？意思是说：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？ 设有x人，则根据题意可列方程_____________．

【答案】

【分析】根据物品的价格不变，列出方程即可．

【详解】解：设有x人，依题意，得：；

故答案为：．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．

15．（2023春·全国·七年级专题练习）对于有理数，，定义一种新运算： ，其中，为常数．已知，，则__．

【答案】20

【分析】先根据新定义得出方程组，解之求出a、 b值，再代入求解即可．

【详解】解：根据题中的新定义化简得：，

①②得：，

解得：，

把代入①得：，

解得：，

则原式．

故答案为：20．

【点睛】本题考查新定义，解二元一次方程组，根据新定义得出方程组是解题的关键．

16．（2023·河北沧州·校考模拟预测）在长方形中，放入6个形状，大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是 _____；若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积 _____（填“有变化”或“不改变”）．

【答案】          不改变

【分析】（1）设小长方形的长为，宽为，根据图性质小长方形的长、宽和大长方形的长、宽之间的关系，列出方程组，解方程组得出x、y的值，再用大长方形的面积减去六个小长方形的面积即可得出答案；

（2）在平移的过程中，大长方形的面积不变，小长方形的面积不变，因此阴影部分面积不变．

【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得：

，

解得：，

∴图中阴影部分面积为：

；

无论怎么平移这六个长方形，阴影部分的面积总是大长方形的面积减去六个长方形的面积，均为，保持不变．

故答案为：；不改变．

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、平移性质，解题的关键是根据图形中大、小长方形之间的长、宽之间的关系列出方程组．

三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（2022秋·陕西榆林·八年级校考期末）解二元一次方程组：

【答案】

【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可．

【详解】解：①-②×4，得，

解得．

把代入①，得，

解得．

∴方程组的解是

【点睛】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．

18．（2022秋·广东佛山·八年级统考期末）某中学为了改造劳动实践基地，需要和两种规格的钢管．从建材市场购回一根长的钢管，将其截成长段，长段．

(1)列出关于，的二元一次方程；

(2)应该怎么样截这一根钢管更好？

【答案】(1)

(2)，，

【分析】（1）根据长和长的钢管的总长度等于，即可求解；

（2）根据，都是正整数，分别把，2，3，4，5，6，7代入（1）中方程，即可求解．

【详解】（1）解：长段，长段，根据题意得：

；

（2）解：∵，都是正整数，

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意；

当时，，不符合题意；

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意；

当时，，不符合题意；

当时，，符合题意；

∴符合条件的解为：，，．

【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．

19．（2023·河北衡水·校考二模）一堆足够多的棋子，其数目是3的倍数，现在依次进行如下操作：

第一步：将棋子平均分成左、中、右三堆；

第二步：从左堆中取出枚棋子放入中堆，再从右堆中取出枚棋子放入中堆；

第三步：从中堆取出与左堆余留棋子数相等的棋子放入左堆

(1)设这堆棋子数目为3n（n是正整数），若，，回答下列问题

①第二步完成后，中堆的棋子有______个；

②第三步完成后，中堆的棋子有______个；

(2)若题中第三步完成后，中堆棋子共有5枚，求第二步应从左堆、右堆各取多少枚棋子放入中堆？

【答案】(1)①； ②20

(2)第二步应从左堆取1个，右堆取3个，或从左堆取2个，右堆取1个

【分析】（1）①根据题意列式计算即可；

②根据题意列出代数式，运算即可；

（2）根据题意列出关于x、y的方程，求二元一次方程的整数解，即可得出答案．

【详解】（1）解：①第二步完成后，中堆的棋子有：

个；

故答案为：；

②第三步完成后，中堆的棋子有：

．

故答案为：20．

（2）解：由题意，完成第三步后中堆的棋子数量为：

，

∴，或，时满足题意；

即第二步应从左堆取1个，右堆取3个，或从左堆取2个，右堆取1个．

【点睛】本题主要考查了列代数式，二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出二元一次方程．

20．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）阅读探索，知识累积．

解方程组．

解：设，，原方程组可变为

解方程组得：即，，所以．这种解方程组的方法叫换元法．

(1)拓展提高

运用上述方法解下列方程组：

(2)能力运用

已知关于，的方程组的解为．直接写出关于、的方程组的解为______．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1) 设，，原方程组可变为，求解即可．

(2) 设，，原方程组可变为，求解即可．

【详解】（1）设，，原方程组可变为，

解方程组，得，

∴，

解方程组，得．

（2）设，，原方程组可变为，

∵关于，的方程组的解为，

∴，

解得，

故答案为：．

【点睛】本题考查了换元法解方程组，正确理解换元法的意义是解题的关键．

21．（2023春·福建泉州·七年级校联考阶段练习）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅．

(1)若销售篮圆篮和篮方篮共收入8600元，求的值；

(2)当销售总收入为16760元时，

①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮；

②若杨梅大户留下篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，请确定该杨梅大户有哪几种包装方案．

【答案】(1)20

(2)①圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36篮．②有二种方案，方案一，圆篮包装80篮，方篮包装20篮；方案二，圆篮包装116篮，方篮包装4篮

【分析】（1）根据收入共8600元，可得出一元一次方程，解出即可；

（2）①设圆篮共包装了篮，则方篮共包装篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可；②设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于和的方程组，根据为正整数，可以求出的大致范围以及为9的倍数，从而得到的值，即可得到包装方案．

【详解】（1）解：由题意，得，

解得：，

答：的值为20．

（2）①设圆篮共包装了篮，则方篮共包装篮，

由题意，得，

解得：，

答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36篮．

（2）设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，

则，

解这个关于和的方程组，可得：

，

，，为正整数，且应为9的倍数，

的值为9或18．

当时，，，；

当时，，，．

所以，有两种方案，

方案一，圆篮包装80篮，方篮包装20篮；

方案二，圆篮包装116篮，方篮包装4篮．

【点睛】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般．

22．（2023春·浙江·七年级期中）某商场从厂家购进了A、B两种品牌篮球，第一批购买了这两种品牌篮球各40个，共花费了7200元．全部销售完后，商家打算再购进一批这两种品牌的篮球，最终第二批购进50个A品牌篮球和30个B品牌篮球共花费了7400元．两次购进A、B两种篮球进价保持不变．

(1)求A、B两种品牌篮球进价各为多少元一个；

(2)第二批次篮球在销售过程中，A品牌篮球每个原售价为140元，售出40个后出现滞销，商场决定打折出售剩余的A品牌篮球；B品牌篮球每个按进价加价30%销售，很快全部售出．已知第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2440元，求A品牌篮球打几折出售？

【答案】(1)A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元

(2)A品牌篮球打八折出售

【分析】（1）设A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元，根据题意，列出二元一次方程组，解出即可得出答案；

（2）设A品牌篮球打折出售，分别算出A、B品牌篮球的利润，然后根据第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2440元，列出方程，解出即可得出答案．

【详解】（1）解：设A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元，

根据题意，可得：，

解得：，

∴A品牌篮球进价为元，B品牌篮球进价为元；

（2）解：设A品牌篮球打折出售，

∴A品牌篮球的利润为：（元），

B品牌篮球的利润为：（元），

根据题意，可得：，

解得：，

∴A品牌篮球打八折出售．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解本题的关键在理解题意，找出等量关系，正确列出方程（组）．

23．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）如图1，已知，，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，．

(1)求证：；

(2)如图2，FK平分∠AFE交CD于点K，，GM平分∠HGB，若，求∠GHE的度数；

(3)如图3，FK平分∠AFE交CD于点K，，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，若，，求的值．（请直接写出答案）

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)2

【分析】（1）根据平行线的性质得出，结合题意即可得出，从而证明；

（2）如图，过点H作，即得出．由，可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，解出x，从而可求出答案；

（3）如图，过点M作．由题意可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程组，解出，最后作比求值即可．

（1）

解：∵，

∴．

∵，

∴，

∴；

（2）

解：如图，过点H作．

∴．

∵，

故可设，则．

∵，

∴，，．

∵FK平分∠AFE，GM平分∠HGB，

∴，，

∴，．

由（1）可知，

∴，

∴，

解得：．

∴，．

∵，

∴，

∴；

（3）

解：如图，过点M作．

由题意可设，则．

∵，FK平分∠AFE

∴，．

∵，

∴．

∵EM平分∠HED，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵GM平分∠HGB，

∴，，

∴．

∵，

∴．

∴，即．

由（1）可知，

∴，

∴．

即，

解得：，

∴．

【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题的关键．