人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品课堂检测
展开4.3 对数
思维导图
新课标要求
理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。
知识梳理
一、 对数的有关概念
对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N，logeN简记为ln N.
二、 对数与指数的关系[来源:学.科.网Z.X.X.K]
一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.
对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．
三、 对数的性质
1．1的对数为零．
2．底的对数为1.
3．零和负数没有对数．
四、 对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
五、 换底公式
1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
名师导学
知识点1 指数式与对数式的互化
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
【例1-1】（2022·湖南·高一课时练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【变式训练1-1】（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式训练1-2】（2021·全国·高一课前预习）将下列指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
知识点2 对数运算及其性质（重点）
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
【例2-1】（2021·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2022·全国·高一课时练习），则___________.
【例2-3】计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2)；
(3)log535－2log5＋log57－log51.8.
【变式训练2-1】（2022·全国·高一单元测试）计算：（ ）
A．10 B．1 C．2 D．
【变式训练2-2】（2021·全国·高一专题练习）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
【变式训练2-3】（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．
【变式训练2-4】（2022·全国·高一专题练习）设x，y为正实数，已知，则的值为______．
【变式训练2-5】（2022·湖南·高一课时练习）求下列各式中的值：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【变式训练2-6】（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
知识点3 换底公式及其应用（重点）
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
【例3-1】 (1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．
延伸探究
若本例(2)条件不变，求log915.(用a，b表示)
【变式训练3-1】（2022·全国·高一课时练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（2022·全国·高一单元测试）已知，则下列能化简为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）计算：____________.
【变式训练3-4】（2022·全国·高一专题练习）若，则___________.
【变式训练3-5】（2021·江苏·高一课时练习）设a，b均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，证明：
（1）；
（2）（，，）.
知识点4 对数运算性质的综合应用
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．
【例4-1】 (1)设3a＝4b＝36，求＋的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
【变式训练4-1】（多选）（2022·全国·高一单元测试）若，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】（2022·上海·高一单元测试）已知，若，则___________.
【变式训练4-3】（2022·全国·高一课时练习）求解下列问题：
(1)证明：．
(2)已知，且．
求证：．
【变式训练4-4】（2021·江苏·高一单元测试）已知a，b，c均为正数，且，求证：；
知识点5 对数的实际应用
【例5-1】（2021•平谷区二模）溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10﹣2摩尔/升，则胃酸的pH是（参考数据：lg2≈0.3010）（ ）
A．1.398 B．1.204 C．1.602 D．2.602
【例5-2】（2022•香坊区校级三模）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若，lg2＝0.3010，则x的值约为（ ）
A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669
【变式训练5-1】（2021秋•房山区期末）当强度为x的声音对应的等级为f（x）分贝时，有f（x）＝10lg（其中A0为常数），装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝．则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）
A． B．10 C．104 D．e4
【变式训练5-2】（2020春•宣威市期末）2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只，则经过（ ）天能达到最初的16000倍（参考数据；ln1.050≈0.0488，lnl.5≈0.4055，ln1600≈7.3778，ln16000≈9.6803）．
A．198 B．199 C．197 D．200
名师导练
A组-[应知应会]
1．（2022·江苏·高一单元测试）已知，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（ ）
A．①② B．②④
C．①③ D．③④
3．（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知函数满足，则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
4．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若，，则的值约为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
6．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·江苏·高一单元测试）已知，均为正实数，若，，则（ ）
A．或2 B． C． D．1
8．（2022·全国·高一课时练习）化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
9．（多选）（2022·湖南湘西·高一期末）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．（多选）（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知，，则的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）若，则_______.
12．（2022·上海·高一单元测试）已知，用表示___________.
13．（2021·江苏·海门市第一中学高一期中）______.
14．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则________，________．
15．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________．（）
16．（2022·江苏·矿大附中高一阶段练习）若实数a，b，c满足，，，则=______．
17．（2022·全国·高一课时练习）(1)；
(2)．
18．（2021·江苏·高一单元测试）设，且，求证：
B组-[素养提升]
1．（2021·湖北黄石·高一期中）若实数a，b满足，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为________．
3．（2022·全国·高一专题练习）把满足，为整数的叫作“贺数”，则在区间内所有“贺数”的个数是______．
4．（2022·全国·高一课时练习）（1）根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么；
（2）请你运用（1）中的对数运算性质计算的值；
（3）因为，所以的位数为4．请判断的位数．
（参考数据：，）
5．（2022·江苏·高一单元测试）设均为正数，且.
(1)试求之间的关系.
(2)求使成立，且与最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）.
(3)比较，，的大小.
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