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人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数第1课时教案设计
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这是一份人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数第1课时教案设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第二十二章 二次函数
22.3实际问题与二次函数
第1课时二次函数与图形面积问题
一、教学目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
二、教学重难点
重点：能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
难点：分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
三、教学过程
【新课导入】
[复习引入]
[课件展示]
1.抛物线中，当x ＝ -1 时，y有 最大 值是 2 ．
2．抛物线中，当x ＝ 1 时，y有 最小 值是 2 ．
3．抛物线中，当x ＝时，y有最小（大）值是.
【新知探究】
[课件展示]问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
，
.
因此，小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
[交流讨论]用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
解:根据题意得,
即： (0
[练习]
[课件展示]如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设垂直于墙的边长为x米，面积为S
由题意得：.
又0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
所以最值在其顶点处，即当x=15 m时，S=450m2.
[课件展示]例1 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
解：设矩形窗框的宽为x m，则高为m.，这里应有x＞0，且
故0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是： ，
即：．
配方得，
所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.
x=1满足0＜x＜2，这时１.5
因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2.
[课件展示]例2. 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形面积为S m2,与墙平行的一边为x米，则:
由于0 ＜ x ≤18.
因此当x=18时，S有最大值是378.
[思考] 为什么不是x=30时，S取最大值
[归纳总结]二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
课堂小结
课堂训练
1.如图1，在△ABC中， ∠B=90 °，,AB=12cm，BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 （ 3 ） 秒，四边形APQC的面积最小.
2. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40 m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为x m，绿化带的面积为y m2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
解：（1）
即
(2)满足条件的绿化带的面积公式为：
由于
所以，当x=20时，满足条件的绿化带面积ymax=200
3.如图，矩形ABCD中，AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ 的面积的最大值.
解：（1）由题意得：PB=AB－AP=18－2 x，BQ= x
即：
（2）由（1）知：
∴
∵当，y随x的增大而增大，
而，
∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm2
【教学反思】
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.
第二十二章 二次函数
22.3实际问题与二次函数
第1课时二次函数与图形面积问题
一、教学目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
二、教学重难点
重点：能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
难点：分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
三、教学过程
【新课导入】
[复习引入]
[课件展示]
1.抛物线中，当x ＝ -1 时，y有 最大 值是 2 ．
2．抛物线中，当x ＝ 1 时，y有 最小 值是 2 ．
3．抛物线中，当x ＝时，y有最小（大）值是.
【新知探究】
[课件展示]问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
，
.
因此，小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
[交流讨论]用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
解:根据题意得,
即： (0
[练习]
[课件展示]如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设垂直于墙的边长为x米，面积为S
由题意得：.
又0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
所以最值在其顶点处，即当x=15 m时，S=450m2.
[课件展示]例1 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
解：设矩形窗框的宽为x m，则高为m.，这里应有x＞0，且
故0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是： ，
即：．
配方得，
所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.
x=1满足0＜x＜2，这时１.5
因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2.
[课件展示]例2. 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形面积为S m2,与墙平行的一边为x米，则:
由于0 ＜ x ≤18.
因此当x=18时，S有最大值是378.
[思考] 为什么不是x=30时，S取最大值
[归纳总结]二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
课堂小结
课堂训练
1.如图1，在△ABC中， ∠B=90 °，,AB=12cm，BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 （ 3 ） 秒，四边形APQC的面积最小.
2. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40 m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为x m，绿化带的面积为y m2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
解：（1）
即
(2)满足条件的绿化带的面积公式为：
由于
所以，当x=20时，满足条件的绿化带面积ymax=200
3.如图，矩形ABCD中，AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ 的面积的最大值.
解：（1）由题意得：PB=AB－AP=18－2 x，BQ= x
即：
（2）由（1）知：
∴
∵当，y随x的增大而增大，
而，
∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm2
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