人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数完整版课件ppt

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人教版数学九年级上册
第二十三章 旋转
22.3.2 实际问题与二次函数
1. 熟练掌握利润问题之间的等量关系.
2. 会建立利润与售价之间的函数表达式.
3. 能够根据自变量的取值范围，结合函数的增减性确定利润的最大值.
重点：利用二次函数求销售问题中的最大利润问题．
难点：根据实际问题建立数学模型．
进价
利润问题的常见等量关系
销售量
(1)在涨价的情况下：
设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化.
涨价x元时，则每星期少卖_____件商品，实际卖出___________件，
10x
(300－10x)
销售额为 _________________元，买进商品需付____________元，
(60+x)(300－10x)
40(300－10x)
因此，所得利润y ＝ ________________________________
(60+x)(300－10x) －40(300－10x)
化简得y＝_________________，其中，0≤x≤30.
 
－10x² +100x+6000
 
5
y最大＝______＝________________＝6250，
 
 
即定价______元时，利润最大，最大利润是________元.
65
6250
(2)在降价的情况下，
降价x元时，每星期多卖_____件，实际卖出_________件，
20x
(300+20x)
销售额为_______________元，买进商品需付____________元，
(60－x)(300+20x)
40(300+20x)
∴所得利润y＝_______________________________，
(60－x)(300+20x) －40(300+ 20x)
即y＝__________________，
－20x² +100x+6000
根据顶点公式知，当x＝_____时，y最大＝________，
2.5
6125
即定价______元时，利润最大，最大利润是_______元.
57.5
6125
综上所述，应定价65元时，才能使一星期的利润最大，最大利润6250元.
③实际问题中的最大利润未必是顶点的纵坐标，即顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据函数的性质去确定最大值.
利用二次函数解决利润问题应注意
①一般运用“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”或“总利润＝总售价一总成本”建立利润与销售单价之间的二次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值.
②现实生活中的许多最值问题都可通过建立二次函数的模型进行解决.
例1 服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件，问厂家批发单价是多少时可以获得最大利润.
解：设降价x元，利润为y元，
 
＝－5000x²+10000x+15000
＝－5000(x－1)²+20000，
∵a＝－5000﹤0，
∴x＝1时，y有最大值，即厂家批发的单价为12元时利润最大.
③根据顶点坐标或最高(低)点求得其最值，即为“最大利润”.
①找出销售单价与利润之间的函数关系表达式(注明自变量的取值范围)；
②顶点横坐标在自变量的取值范围内时，求出函数图象的顶点坐标；顶点横坐标不在自变量取值范围根据函数性质判定最高(低)点；
一件工艺品的进价为100元，以标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，若一件工艺品每降价1元则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价( ) A.3.6元 B.5元 C.10元 D.12元
B
x
多售出4x
y
y＝(135－100－x)(100＋4x)
＝－4x2＋40x＋3500
＝－4(x－5)2＋3600
∴x＝5时，y有最大值.
例2 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件、今年计划通过适当增加成本率提高产品的档次，以拓展市场，若今年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(0(10+7x)
(12+6x)
例2 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件、今年计划通过适当增加成本率提高产品的档次，以拓展市场，若今年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(0(10+7x)
(12+6x)
解：(2) y＝(12+6x) －(10+7x)＝2－x，
即y与x的函数关系式为y＝2－x.
例2 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件、今年计划通过适当增加成本率提高产品的档次，以拓展市场，若今年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(0解： (3)W＝2(1+x)(2－x)＝－2x² +2x+4＝－2(x－0.5) ² +4.5，
∵0∴当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润为4.5万元.
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元至70元之间.市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高l元，平均每天少销售3箱. (1)写出平均每天销售量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数关系式.(注明范围) (2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)，与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式.(每箱的利润＝售价－进价) (3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值.在给出的坐标系中画出函数图象的草图. (4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大?最大利润为多少？
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元至70元之间.市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高l元，平均每天少销售3箱. (1)写出平均每天销售量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数关系式.(注明范围)
∴平均每天销售量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数关系式为：y＝－3x+240(40≤x≤70)；
解：(1)当40≤x≤50，y＝90+3(50－x)＝－3x+240；
当50＜x≤70， y＝90－3(x－50)＝－3x+240，
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元至70元之间.市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高l元，平均每天少销售3箱. (2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)，与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式.(每箱的利润＝售价－进价)
∴平均每天销售这种牛奶的利润W(元)，与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式为：W＝－3x²+360x－9600(40≤x≤70)；
解：(2)w＝(x－40)•y＝(x－40)(－3x+240)
＝－3x²+360x－9600，
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元至70元之间.市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高l元，平均每天少销售3箱. (3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值.在给出的坐标系中画出函数图象的草图.
当x＝40时，w＝－3(40－60)²+1200＝0；当x＝70时，w＝－3(70－60)²+1200＝900；
解：(3)W＝－3x²+360x－9600＝－3(x－60)²+1200，
∴顶点坐标为(60，1200)；
图象如图
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元至70元之间.市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高l元，平均每天少销售3箱. (4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大?最大利润为多少？
解：(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为60元时，平均每天的利润最大.最大利润为1200元.
草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象. (1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为w元，求w的最大值.
 
草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象. (1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为w元，求w的最大值.
解：(2)根据题意可得，该水果销售店试销草莓获得的利润为：W＝(x－20)(－2x+340) ＝－2x ² +380x－6800 ＝－2(x－95)² +11250，故20≤x≤40时，由二次函数的性质可知，y随x的增大而增大，所以当x＝40时，w取得最大值，最大值为－2(40－95)² +11250＝5200(元).
1.某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100－x)件，为了使商品的利润最大，则x的值应该是( )A.70 B.75 C.65 D.60
A
商品的利润y=(x－40)(100－x)
=－x2＋140x－400
=－(x－70)2＋4500
∴当x=70时，商品的利润最大.
2.某商店对于某种商品的销售量与利润做了统计，得到下表：销售量(件) 100 200 300利润(万元) 5 9 9若利润是销售量的二次函数，那么，该商店利润的最大值是( )A.9万元 B.9.25万元 C.9.5万元 D.10万元
C
3.某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价(为偶数)提高( )A.8元或10元 B.12元 C.8元 D.10元
A
4.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足的函数关系p＝at2+bt+c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_________.
3.75分钟
5.某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x(元)与产品的销售量y(件)满足当x＝130时，y＝70，当x＝150时，y＝50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S(元)，每件产品的销售价应定为　________元.
160
6.合肥百货商场春节期间购进儿童玩具，每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件儿童玩具每降价1元，当天的销售量将增加2件.(1)当每件儿童玩具降价多少元时，一天的盈利最多?(2)若商场要求一天的盈利为1200元，同时又使顾客得到实惠，每件儿童玩具降价多少元?
解：(1)设每件儿童玩具降价x元，则每天盈利为S，则S＝(40－x)(2x+20)＝－2x² +60x+800＝－2(x－15)² +1250，当x＝15时，S有最大值为1250元.
6.合肥百货商场春节期间购进儿童玩具，每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件儿童玩具每降价1元，当天的销售量将增加2件.(1)当每件儿童玩具降价多少元时，一天的盈利最多?(2)若商场要求一天的盈利为1200元，同时又使顾客得到实惠，每件儿童玩具降价多少元?
解: (2)一天盈利为1200元，－2x² +60x+800＝1200，整理得－2x² +60x－400＝0，a＝－2，b＝60，c＝－400，Δ＝b² －4ac＝3600－(4×2×400)＝400>0，解得x₁ ＝20，x₂ ＝10(舍去)，所以每件儿童玩具降价20元.
课程结束
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