2020-2021学年22.3 实际问题与二次函数第3课时教案

第3课时　二次函数与拱桥问题

1．让学生能够用二次函数知识解决拱桥问题．

2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型．

▲重点

建坐标系解决拱桥问题．

▲难点

建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题．

◆活动1　新课导入

现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？

◆活动2　探究新知

教材P51　探究3.

提出问题：

(1)对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线的解析式就好了．你能确定这条抛物线的表达式吗？

(2)水面下降1m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？

(3)你还有其他的解决方法吗？

学生完成并交流展示．

◆活动3　知识归纳

1．将线段长度转化为点的坐标问题．

2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解．

3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度．

◆活动4　例题与练习

例1　如图①，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20m，顶点M距水面6m(即MO＝6m)，小孔顶点N距水面4.5m(即NC＝4.5m)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图②中的平面直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.

图①　　　　　　　　　　图②

解：设大孔对应的抛物线的函数解析式为y＝ax2＋6.

依题意，得B(10，0)，∴a×102＋6＝0，

解得a＝－0.06，即y＝－0.06x2＋6.

当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5.

∴DE＝DF＝5m，∴EF＝10m，即水面宽度EF为10m．

例2　如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A，B距地面高都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子C处，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？

解：建立如图所示的平面直角坐标系．可设它的函数解析式为y＝ax2＋k.把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入，可求得a＝2，k＝0.5，∴抛物线的解析式为y＝2x2＋0.5.∵a＝2＞0，∴y有最小值，∴当x＝0时，y最小＝0.5.答：绳子的最低点距地面的距离为0.5m．

练习

1．欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是____s.

2．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.

(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？

(2)此时，若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，则他能否获得成功？

解：(1)能投中；

(2)当x＝1时，y＝3＜3.1，∴能成功．

◆活动5　课堂小结

利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：

①建立适当的直角坐标系；②写出抛物线上的关键点的坐标；③运用待定系数法求出函数解析式；④求解数学问题；⑤求解抛物线形实际问题．

1．作业布置

(1)教材P57　习题22.3第3题；

(2)对应课时练习．

2．教学反思