高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线精品一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线精品一课一练，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教A版（2019）选修一3.3.1抛物线及其标准方程
（共19题）

一、选择题（共10题）
1. 已知抛物线 x2=2ay 的准线方程为 y=4，则实数 a 的值为   
A． 8 B． 18 C． −8 D． −18

2. 若动点 Mx,y 到点 F4,0 的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程是   
A． x+4=0 B． x−4=0 C． y2=8x D． y2=16x

3. 若抛物线 x2=2pyp>0 的焦点与椭圆 y29+x25=1 的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为   
A． y=−1 B． y=1 C． y=−2 D． y=2

4. 如图，过抛物线 y2=2pxp>0 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A，B，交其准线于点 C，若 ∣BC∣=2∣BF∣，且 ∣AF∣=6，则此抛物线的方程为   

A． y2=9x B． y2=6x C． y2=3x D． y2=3x

5. 设抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F．若 F 到直线 y=3x 的距离为 3，则 p=   
A．2 B．4 C．23 D．43

6. 已知抛物线 y2=2pxp>0 的准线经过点 −1,1，则抛物线焦点坐标为   
A．−1,0 B．1,0 C．0,−1 D．0,1

7. 抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F，准线为 l，A，B 是抛物线上的两个动点，且满足 ∠AFB=π3．设线段 AB 的中点 M 在准线 l 上的投影为点 N，则 ∣MN∣∣AB∣ 的最大值是   
A． 23 B． 1 C． 32 D． 16

8. 设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2pxp>0 上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 PM=2MF，则直线 OM 的斜率的最大值为   
A．33 B．23 C．22 D．1

9. 已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，∣AB∣=2，以 M 为圆心的圆过 A，B 两点，且与直线 y=1 相切．若存在定点 P，使得当 A 运动时，∣MA∣−∣MP∣ 为定值，则点 P 的坐标为   
A． 0,1 B． 0,−1 C． 0,12 D． 0,−12

10. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为 Fc,0 ,直线 x=a2c 与一条渐近线交于点 A，若 △OAF 的面积为 a22 ( O 为原点)，则抛物线 y2=4abx 的准线方程为   
A．x=−1 B．x=−2 C．y=−1 D．y=−2

二、填空题（共5题）
11. 已知抛物线 y2=4x 上一点 P 到准线的距离为 d1，到直线 l:4x−3y+11=0 的距离为 d2，则 d1+d2 的最小值为 ．

12. 已知抛物线 y2=2px 的准线方程为 x=−1，则 p= ．

13. 若抛物线 x2=2pyp>0 的准线经过双曲线 y2−x2=1 的一个焦点，则 p= ．

14. 已知动圆 M 与直线 y=2 相切，且与定圆 C:x2+y+32=1 外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ．

15. 直线 l 与抛物线 y=x22 相交于 A，B 两点，当 ∣AB∣=4 时，弦 AB 中点 M 到 x 轴距离的最小值为 ．

三、解答题（共4题）
16. 已知分别过抛物线 x2=2py（p>0）上点 A 、 B 的两条切线交于点 M，直线 AB 与 x 轴不平行，线段 AB 的中点为 N，抛物线的焦点为 F．
(1) 求证：直线 MN 与 y 轴平行；
(2) 若点 F 线段 AB 上，点 N 的坐标为 22,1，求抛物线的方程．

17. 设抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F，M 是 C 上任意一点．
(1) 证明：以线段 FM 为直径的圆与 x 轴相切．
(2) 若直线 l:y＝kx+2 与 C 交于 A，B 两点，且 ∣AF∣⋅∣BF∣＝13，求 k 的值．

18. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的点均在圆 C2：x−52+y2=9 外，且对 C1 上任意一点 M，M 到直线 x=−2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值．
(1) 求曲线 C1 的方程；
(2) Px0,y0y0≠±3 为圆 C2 外一点，过 P 作圆 C2 的两条切线，分别与曲线 C1 交于点 A，B 和 C，D．
证明：当 P 在直线 x=−4 上运动时，A，B，C，D 四点的纵坐标之积为定值．

19. 已知抛物线 C1:y2=4x 和 C2:x2=2pyp>0 的焦点分别为 F1，F2，点 P−1,−1 且 F1F2⊥OP（O 为坐标原点）．
(1) 求抛物线 C2 的方程；
(2) 过点 O 的直线交 C1 的下半部分于点 M，交 C2 的左半部分于点 N，求 △PMN 面积的最小值．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】C
【解析】因为抛物线 x2=2ay 的准线方程为 y=4，
所以 −a2=4，解得 a=−8．

2. 【答案】D
【解析】依题意可知，点 M 到点 F 的距离等于点 M 到直线 x=−4 的距离，因此其轨迹是抛物线，且 p=8，顶点在原点焦点在 x 轴正半轴上，所以其方程为 y2=16x．

3. 【答案】C
【解析】因为椭圆 y29+x25=1 的上焦点坐标为 0,2，
所以抛物线的焦点坐标为 0,2，
所以抛物线的准线方程为 y=−2．

4. 【答案】B
【解析】如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，垂足分别为 E，D，
设 ∣BF∣=a，
则由已知得 ∣BC∣=2a，由抛物线的定义得 ∣BD∣=a，故 ∠BCD=30∘．
在 Rt△ACE 中，易知 ∣AE∣=∣AF∣=6，∣AC∣=6+3a，2∣AE∣=∣AC∣，
所以 6+3a=12，解得 a=2，
所以 ∣FC∣=3a=6，
所以 p=∣FG∣=12∣FC∣=3，
因此抛物线的方程为 y2=6x．


5. 【答案】B
【解析】由题意得抛物线的焦点坐标为 Fp2,0，则点 F 到直线 y=3x 的距离为 ∣3×p2−0∣32+−12=3p4=3，解得 p=4．

6. 【答案】B

7. 【答案】B
【解析】如图，作 AQ⊥l，BP⊥l，设 ∣AF∣=a，∣BF∣=b．
由抛物线定义得 ∣AF∣=∣AQ∣，∣BF∣=∣BP∣，在梯形 ABPQ 中，2∣MN∣=∣AQ∣+∣BP∣=a+b．在 △AFB 中，由余弦定理得，∣AB∣2=a2+b2−2abcosπ3=a2+b2−ab，配方得 ∣AB∣2=a+b2−3ab．
又因为 ab≤a+b22，
所以 ∣AB∣2=a+b2−3ab≥a+b2−34a+b2=14a+b2，得到 ∣AB∣≥12a+b，当且仅当 a=b 时，等号成立．
所以 ∣MN∣∣AB∣≤1，即 ∣MN∣∣AB∣ 的最大值为 1．


8. 【答案】C
【解析】设 P2pt2,2pt，Mx,y（不妨设 t>0），则 FP=2pt2−p2,2pt．
因为 FM=13FP，
所以 x−p2=2p3t2−p6,y=2pt3, 所以 x=2p3t2+p3,y=2pt3,
所以 kOM=2t2t2+1=1t+12t≤1212=22，
所以 kOMmax=22．

9. 【答案】D
【解析】设 Mx,y，
因为点 A，B 关于坐标原点 O 对称，
所以 O 是线段 AB 的中点，
又因为以 M 为圆心的圆过 A，B 两点，
所以有 OA⊥OM，
因此有 ∣OM∣2+∣OA∣2=∣MA∣2，又 ∣AB∣=2，
所以 ∣OA∣=1．
又因为以 M 为圆心的圆与直线 y=1 相切，
所以有 ∣MA∣=∣y−1∣，
把 ∣OA∣=1，∣MA∣=∣y−1∣ 代入 ∣OM∣2+∣OA∣2=∣MA∣2 中，得 x2+y2+1=∣y−1∣2，化简得 x2=−2y（y≤0），
因此点 M 的轨迹是抛物线，
该抛物线的焦点坐标为 0,−12，准线方程为 y=12，记 F0,−12
又 ∣MA∣−∣MP∣=∣y−1∣−∣MP∣=1−y−∣MP∣=12−y−∣MP∣+12=12−y−∣MP∣+12，
由抛物线的定义可知：12−y=∣MF∣，
所以有 ∣MA∣−∣MP∣=∣MF∣−∣MP∣+12，
由题意可知存在定点 P，使得当 A 运动时，∣MA∣−∣MP∣ 为定值，
因此一定有 ∣MF∣=∣MP∣，此时定点 P 即为该抛物线的焦点 F0,−12．
故选D．

10. 【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线方程为 y=bax .则与直线 x=a2c 的交点坐标为 Aa2c,abc，所以 S△OAF=12OF⋅ yA=12c⋅abc=a22，所以 a=b，则抛物线方程为 y2=4x，则抛物线方程为 x=−1 .

二、填空题（共5题）
11. 【答案】 3
【解析】因为点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离，
所以过焦点 F 作直线 4x−3y+11=0 的垂线，则点到直线的距离为 d1+d2 最小值，
因为 F1,0，直线 4x−3y+11=0，
所以 d1+d2=4+1132+42=3．

12. 【答案】 2

13. 【答案】 22
【解析】根据题意，双曲线的方程为：y2−x2=1，
则其焦点在 y 轴上，且 c=2，
则抛物线 x2=2pyp>0 焦点坐标为 0,±p2，
所以 p2=2，可得 p=22．

14. 【答案】 x2=−12y

15. 【答案】 32

【解析】设抛物线的焦点为 F，过点 A，B，M 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 A1，B1，M1，连接 AF，BF，如图，
抛物线 y=x22 的焦点坐标为 0,12．
根据抛物线的定义得，
MM1=AA1+BB12=∣AF∣+∣BF∣−12≥∣AB∣−12=32,
当直线 l 过点 F 时取等号，则 32 即为要求的最小值．


三、解答题（共4题）
16. 【答案】
(1) 设 Mx,y，Nx0,y0，Ax1,y1，Bx2,y2，
因为 A 、 B 两点在抛物线上，故 x12=2py1，x22=2py2，
两式相减得 x12−x22=2py1−2py2．
化简得 x1+x2=2p⋅y1−y2x1−x2，即 x0=p⋅kAB ⋯⋯①．
因为切线 MA 的斜率为 kMA=x1p，
所以切线 MA 的方程为 y−y1=x1px−x1 ⋯⋯②．
同理得切线 MB 的方程为 y−y2=x2px−x2 ⋯⋯③．
由 ②−③，化简得 −y2−y1x2−x1=1px−x1−x2，即 −kAB=1px−2x0 ⋯⋯④．
由 ①，④ 求解得 x=x0，故直线 MN 与 y 轴平行．
(2) 由点 F0,p2 在线段 AB 上，N 为 AB 中点，
则 F 、 A 、 B 、 N 四点共线，故 kAB=kFN．
由 ① 知 kAB=x0p，则 kFN=y0−p2x0=x0p，
所以 x02=y0p−p22．
又 N22,1，则 222=p−p22，解得 p=1．
所以抛物线的方程为 x2=2y．

17. 【答案】
(1) 设 M（m,n），抛物线的焦点 F（0,1），
以线段 FM 为直径的圆的圆心为 N，可得 Nm2,n+12，
由抛物线的定义可得 ∣FM∣＝1+n，
N 到 x 轴的距离为 n+12=12∣FM∣，
可得以线段 FM 为直径的圆与 x 轴相切．
(2) ±1
【解析】
(2) 设点 Ax1,y1，Bx2,y2，
由 y=kx+2x2=4y，得 x2−4kx−8=0，Δ=16k2+32>0，
由一元二次方程根与系数的关系得 x1+x2=4k，x1x2=−8，
由抛物线的定义知，∣AF∣=y1+1=kx1+3，∣BF∣=y2+1=kx2+3，
则 ∣AF∣⋅∣BF∣=kx1+3kx2+3=k2x1x2+3kx1+x2+9=4k2+9=13，
解得 k=±1．

18. 【答案】
(1) 由题设知，曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C25,0 的距离等于它到直线 x=−5 的距离，因此，曲线 C1 是以 5,0 为焦点，直线 x=−5 为准线的抛物线，故其方程为 y2=20x．
(2) 当点 P 在直线 x=−4 上运动时，P 的坐标为 −4,y0，又 y0≠±3，则过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0，所以切线方程为 y−y0=kx+4，即 kx−y+4k+y0=0，所以 ∣9k+y0∣1+k2=3，
整理得 72k2+18y0k+y02−9=0.  ⋯⋯①
设过 P 所作的两条切线 PA，PC 的斜率分别为 k1，k2，则 k1，k2 是方程 ① 的两个实根，故 k1k2=y02−972，k1+k2=−18y072=−y04.  ⋯⋯②
由 k1x−y+4k1+y0=0,y2=20x,，得 k1y2−20y+204k1+y0=0.  ⋯⋯③
设 A，B，C，D 四点的纵坐标分别为 y1，y2，y3，y4，则 y1，y2 是方程 ③ 的两个实根，所以 y1y2=204k1+y0k1.  ⋯⋯④
同理可得 y3y4=204k2+y0k2.  ⋯⋯⑤
于是由 ②④⑤ 三式得
y1y2y3y4=204k1+y0k1⋅204k2+y0k2=40016k1k2+4k1+k2y0+y02k1k2=40016k1k2+4−y04y0+y02k1k2=6400.
所以，当 P 在直线 x=−4 上运动时，A，B，C，D 四点的纵坐标之积为定值 6400．

19. 【答案】
(1) 因为 F11,0，F20,p2，
所以 F1F2=−1,p2，
F1F2⋅OP=−1,p2⋅−1,−1=1−p2=0，
所以 p=2，
所以抛物线 C2 的方程为 x2=4y．
(2) 设过点 O 的直线 MN 的方程为 y=kxk<0，
联立 y2=4x,y=kx, 得 kx2=4x，解得 M4k2,4k，
联立 x2=4y,y=kx, 得 N4k,4k2，
从而 ∣MN∣=1+k24k2−4k=1+k24k2−4k，
点 P 到直线 MN 的距离 d=∣k−1∣1+k2，
所以
S△PMN=12⋅∣k−1∣1+k2⋅1+k24k2−4k=21−k1−k3k2=21−k21+k+k2k2=2k+1k−2k+1k+1,
令 t=k+1kt≤−2，则 S△PMN=2t−2t+1，
当 t=−2，即 k=−1 时，S△PMN 取得最小值，最小值为 8．
即当过原点的直线方程为 y=−x 时，△PMN 的面积取得最小值 8．