第14讲 等腰三角形常用作辅助线的方法-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版）

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第14讲 等腰三角形常用作辅助线的方法
人教版

·模块一 作平行线
·模块二 作垂线
·模块三 倍长中线法
·模块四 截长补短法
·模块五 课后作业
模块一
作平行线



【例1】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（    ）

A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25
【例2】P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．

【变式1】如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME

模块二
作垂线



【例1】如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．

【例2】如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,A(0,3),C(1,0)，则点B的坐标为________．

【例3】如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°，BA=BD，BC=BE，延长CB交DE于F.求证：EF=DF.

【变式1】如图，D是CB延长线上一点，且BD=BC，E是AB上一点，DE=AC，求证：∠BAC=∠BED.

【变式2】如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.
求证：BF＝AC．

模块三
倍长中线法



【例1】如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，EF=1.6，则CF的长为____________．

【例2】已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是______．
【例3】如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD，若∠ABE=∠D．

(1)猜想BD=________BE；
(2)完成（1）的证明过程．
【变式1】如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD．

【变式2】如图，已知AP//BC，点E是DC的中点，且AD+BC=AB，求证：AE⊥BE．

模块四
截长补短法



【例1】如图，在△ABC中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D，若AC+CD=AB，求∠C的度数．

【例2】如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°， ∠BCD=150°，CB=CD，M、N分别为AB、AD上的动点，且∠MCN=75°．求证： MN=BM+DN．

【变式1】如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α(0°<α<60°)，则∠BCD=__________（用含α的式子表示）．

【变式2】如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．

模块五
课后作业


1．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，点P是△OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：①∠CPD＝135°；②BA＝BP；③△PAC≌△PDB；④S△ABP＝S△DCP；⑤PM＝12CD．其中正确的是___．（填序号）

2．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．

3．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．

4．【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法回答下列问题．

(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是____________．
A．SSS        B．SAS        C．AAS        D．HL
(2)探究得出AD的取值范围___________．
A．6 【问题解决】
(3)如图2，在△ABC中，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．
5．如图，AD为△ABC的中线，F在AC上，BF交AD于E，且BE=AC．求证：AF=EF．

6．已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．

(1)求∠AFC的度数；
(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．