第03讲 多边形及其内角和-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版）

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·模块一 多边形
·模块二 多边形的内角和
·模块三 课后作业
模块一
多边形
1.多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2.正多边形
各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．
3.多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
【要点】①从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；②n边形共有n(n−3)2条对角线.
【考点1 多边形及其概念】
【例1.1】下列说法错误的是（ ）
A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形
B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形
C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形
D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形
【例1.2】下列图中不是凸多边形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1.1】在四边形ABCD中，边AB的对边是（ ）
A．BCB．ACC．BDD．CD
【变式1.2】如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（ ）
A．只有三角形B．只有三角形和四边形
C．只有三角形、四边形和五边形D．只有三角形、四边形、五边形和六边形
【考点2 多边形的对角线】
【例2.1】从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【例2.2】一个多边形从同一个顶点引出的对角线，将这个多边形分成5个三角形．则这个多边形有______条边．
【例2.3】（1） 从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成_______个三角形.若是一个六边形，可以分割成_______个三角形.n边形可以分割成______个三角形.
（2）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成多少个三角形？
（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点）,再将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成多少个三角形？
【变式2.1】若一个多边形无对角线，则这个多边形是_______________
【变式2.2】已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63．求(n−m)t的值．
【考点3 正多边形】
【例3.1】下列图形中，是正多边形的是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．长方形D．正方形
【例3.2】对于正多边形，下列说法正确的是（ ）
A．正多边形的边都相等，内角都相等；
B．各边相等的多边形是正多边形；
C．各角相等的多边形是正多边形；
D．由正多边形构成的多边形是正多边形；
【例3.3】如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长是多少？
【变式3.1】已知正多边形的周长为 56，从其一个顶点出发共有 4 条对角线，求这个正多边形的边长．
【变式3.2】下列图形中，正多边形的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3.3】如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为__．
模块二
多边形的内角和
1.多边形的内角和公式
n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
2.多边形的多边形外角和
n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
3.多边形的边数与内角和、外角和的关系
n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
【考点1 多边形的内角和】
【例1.1】如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（ ）
A．720°B．540°C．360°D．180°
【例1.2】一块四边形ABCD玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的玻璃，经测量∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，则∠D的度数（ ）
A．115°B．65°C．75°D．30°
【例1.3】小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920°
(1)多算进去的那个内角为多少度？
(2)求这个多边形的边数？
【变式1.1】一个n边形的所有内角和等于540°，则n的值等于__．
【变式1.2】在△ABC中，∠C=55°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于___°．
【变式1.3】一个多边形的边数由5增加到11 ，则内角和增加的度数是__________
【考点2 多边形的外角和】
【例2.1】若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形是（ ）．
A．正六边形B．正五边形C．正方形D．等边三角形
【例2.2】如图，CG是正六边形ABCDEF的边BC上的延长线，∠DCG的度数是______．
【例2.3】如下图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝68°，则∠AED的度数是（ ）
A．88°B．98°C．92°D．112°
【变式2.1】如图，在正六边形ABCDEF中，延长BA，EF交于点O，则∠BOE=______°．
【变式2.2】如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_________米．
【变式2.3】如图，正十边形与正方形共边AB，延长正方形的一边AC与正十边形的一边ED，两线交于点F，设∠AFD=x°，则x的值为（ ）．
A．15B．18C．21D．24
【考点3 多边形的内角和与外角和的综合应用】
【例3.1】一个多边形外角和是内角和的15，则这个多边形的边数是________．
【例3.2】若一个三角形的外角和为a，一个五边形的内角和为b，则a，b的关系是（ ）
A．a=bB．b−a=90°C．b=2aD．b−a=180°
【例3.3】如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（ ）
A．45°B．54°C．60°D．64°
【变式3.1】一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角与相邻外角度数比均为7:2，则这个正多边形的边数是_______．
【变式3.2】一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是( )
A．8B．14C．16D．20
【变式3.3】一个多边形的内角和为α，外角和为β，则α=2β的多边形的是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【变式3.4】已知一个多边形的内角和比外角和多900°，并且这个多边形各个内角的度数都相等．这个多边形的每个内角是多少度？
模块三
课后作业
1．如图所示的图形中，属于多边形的有
A．3个B．4个C．5个D．6个
2．下列说法错误的是（ ）
A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点；
B．四边形有2条对角线；
C．连接对角线，可以把多边形分成三角形；
D．六边形的六个角都相等；
3．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边分成10个三角形，则这个多边形是（ ）边形
A．十B．十一C．十二D．十三
5．如图1所示的是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一．燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔，十三层均为正八边形砖木结构，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，其内角和为（ ）
A．135°B．360°C．1080°D．190°
6．已知一个多边形内角和为1080°，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）
A．10B．16C．20D．40
7．如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则∠EAF度数为（ ）
A． 30° B． 48° C． 45° D． 60°
8．从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成__________个三角形．
9．一个n边形，若其中(n－1)个内角的和为800°，则n＝________．
10．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______．
11．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的和等于230°，则∠BOD的度数为______．
12．在△ABC中，如果∠A、∠B、∠C的外角的度数之比是4：3：2，求∠A的度数．
13．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和．
14．已知一个正多边形相邻的内角比外角大120°．
(1)求这个正多边形的内角与外角的度数；
(2)求这个正多边形的边数．
15．按要求回答下列各小题．
(1)若一个n边形的内角和的13比一个四边形的内角和多360°，求n的值；
(2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数．