第12讲 等腰三角形的性质和判定-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版）

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·模块一 等腰三角形的性质
·模块二 等腰三角形的判定
·模块三 课后作业
模块一
等腰三角形的性质
等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
【考点1 等腰三角形性质“等边对等角”的应用】
【例1.1】在△ABC中，AB=AC，若∠A=40°，则∠C=（ ）
A．40°B．70°C．100°D．70°或100°
【例1.2】已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=70°，则∠BOC=_________．
【例1.3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E、F分别是边AB、AC上，且AF=EF．若∠CFE=72°，则∠B=_________°．
【变式1.1】如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，则∠CAD的度数为（ ）
A．30°B．25°C．22.5°D．21°
【变式1.2】如图，AB∥CD，AB=CB，∠B=80°，则∠ACD等于（ ）
A．50°B．55°C．60°D．85°
【变式1.3】如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD=CD．若∠BAD=40°，则∠C的大小为_____度．
【例2.2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，在AD上取一点E，连结CE，使得AE=CE，若∠ECD=20°，则∠B=_____．
【例2.3】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，求证：DF=DE．（不证△BFD≌△CED）

【变式2.1】如图AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ABE的度数是_______．
【变式2.2】如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF=8，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2.3】如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AM是△ABC的高，将△AMB沿AM折叠得到△AMN，点N落在线段MC上．
(1)求∠MAN的度数．
(2)过点N作∠ANC的平分线NO交AC于点O，若AC=8，求AO的长．
模块二
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【考点1 等腰三角形的判定】
【例1.1】△ABC的三边分别是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．∠A:∠B:∠C=2:2:3B．a:b:c=2:2:3
C．∠B=50°，∠C=80°D．2∠A=∠B+∠C
【例1.2】如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若DE=5，BD=3，则线段CE的长为（ ）

A．2B．1C．3D．4
【例1.3】已知：在△ABC中，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．
【变式1.1】如图，△ABC≌△DEF，点E在AC上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若∠A=40°,∠CED=35°，则下列结论正确的是（ ）

A．EF=EC,AB=FCB．EF≠EC,AE=FC
C．EF=EC,AE≠FCD．EF≠EC,AE≠FC
【变式1.2】如图，在长方形ABCD中，AD=5，将长方形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，且BF=3，则EF的长为______．
【变式1.3】我们知道，如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．证明这种文字性命题一般思路为：画草图，写出已知求证并证明．
按以上思路完成下面的作图与填空．
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC．
求证：AB=AC．
证明：用直尺和圆规作∠CAE的平分线AD．（只保留作图痕迹）
∵AD∥BC，
∴ ① ， ② ，
∵AD平分∠CAE，
∴ ③ ，
∴ ④ ，
∴AB=AC（等角对等边）．
【考点2 等腰三角形的性质与判定的综合应用】
【例2.1】如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，若∠A=∠ABE=46°，则∠F的度数是( )
A．20°B．23°C．44°D．30°
【例2.2】如图所示，在 △ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC，AD//BC，则图中等腰三角形的个数有________个．
【例2.3】请将下面的证明过程补充完整．
已知：如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，且AB=AE．求证：∠ABC=∠ACB．
证明：∵CE∥AD，
∴∠BAD=________（两直线平行，同位角相等），
∠CAD=∠ACE（_____________）．
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠ACE=_____________（等量代换），
∴AE=AC（____________）．
∵AB=AE，
∴AB=AC（等量代换），
∴∠ABC=∠ACB（___________）．
【变式2.1】如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC=125°，则∠ABC为（ ）
A．80°B．70°C．50°D．60°
【变式2.2】如右图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，BF是△EBD的角平分线，若∠BAD=45°，则∠BFD=________.
【变式2.3】如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．若AQ=AR，求证：△ABC是等腰三角形．
模块三
课后作业
1．等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它的底边长为（ ）
A．6B．4C．8D．4或8
2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a=3，b=3，c=4B．a：b：c=2：3：4
C．∠B=50°，∠C=80°D．∠A：∠B：∠C=1：1：2
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD=4，DE=7，则线段EC的长为（ ）
A．3B．4C．3.5D．2
4．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，点Q是OA上一点，且PQ∥OB，若PQ=2，则线段OQ的长是（ ）
A．1.8B．2.5C．3D．2
5．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是中线，BE是角平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为（ ）
A．130°B．125°C．120°D．115°
7．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AC=BD．若∠B=50∘，则∠CAD的度数为（ ）
A．10∘B．15∘C．20∘D．25∘
8．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BD平分∠ABC，且AD∥BC，∠ACB的外角平分线交AD于点E，则DE的长是 ________．
9．聪明的小斐同学这样检查他的课桌桌面是否水平：如图，在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条绳，绳的另一端挂一个重物，把这块三角尺的斜边贴在桌面底部，结果绳子经过三角尺的直角顶点，由此得出桌面是水平的（即挂重物的绳与桌面垂直），小斐用到的数学原理是____________．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的一条角平分线，若∠BDC＝72°，则∠A的度数为 _____．
11．如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为_____．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是__________．
13．如图，已知点D在△ABC的边AB上，且AD=CD．

(1)用直尺和圆规作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并把证明过程补充完整．
判断：DE ① AC，理由如下：
∵AD=CD（已知）
∴∠A= ② （ ③ ）
又∵DE平分∠BDC（已知）
∴∠BDC=2∠CDE（ ④ ）
又∵∠BDC=∠A+∠ACD=2∠ACD
∴∠CDE=∠ACD（等量代换）
∴DE ⑤ AC（ ⑥ ）
14．如图，∠BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点O是AD，BC的交点，过点O作OE⊥AB于点E．
(1)求证：OA=OB；
(2)若AE=8，求AB的长．
15．已知，如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求证：AB=AC．