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第02讲 与三角形有关的角-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版）
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这是一份第02讲 与三角形有关的角-2023-2024学年新八年级数学暑假精品课（人教版），文件包含第02讲与三角形有关的角人教版解析版docx、第02讲与三角形有关的角人教版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
·模块一 三角形的内角
·模块二 直角三角形的性质与判定
·模块三 三角形的外角
·模块四 课后作业
模块一
三角形的内角
1．三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°。
【考点1 三角形内角和定理】
【例1.1】在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理_____．
【答案】三角形的内角和是180°
【详解】根据折叠的性质，折叠前后的两个角相等，即∠A=∠1，∠B=∠2，∠C=∠3，根据把三角形的三个角转化为一个平角∠1+∠2+∠3=180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，因此这个定理为：三角形的内角和是180°．
故答案为三角形的内角和是180°．
点睛：本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
【例1.2】如果三角形的三个内角度数分别为x°，y°，y°，则x，y满足的关系式（ ）
A．x+y=90B．2x=yC．x+2y=90D．x+2y=180
【答案】D
【分析】利用三角形的内角和定理，即可得出结论．
【详解】解：∵x°+y°+y°=180°，
∴x+2y=180；
故选D．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理．熟练掌握三角形的内角和为180°，是解题的关键．
【例1.3】如图，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O=30°，若△AOP为钝角三角形，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°<∠A<60°B．90°<∠A<180°
C．10°<∠A<30°或90°<∠A<130°D．0°<∠A<60°或90°<∠A<150°
【答案】D
【分析】当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此可求解．
【详解】解：由三角形内角和可得：∠OAP+∠O+∠APO=180°，
∵∠O=30°，
∴当∠OAP与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有0°<∠A<60°；
当∠OAP大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有90°<∠A<150°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，熟练掌握三角形内角和及一元一次不等式的应用是解题的关键．
【变式1.1】一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A=55°,∠B=60°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ）
A．75°B．65°C．55°D．45°
【答案】B
【分析】由三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=55°,∠B=60°，
∴∠C=180°−∠B−∠A=180°−55∘−60∘=65∘，
故选：B
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【变式1.2】如图，直线a，b所成的角跑到画板外面了，某同学发现只要量出一条直线分别与直线a，b相交所形成的角的度数就可求得该角，已知∠1=71°，∠2=78°，则直线a，b所形成的锐角的度数为__________°．
【答案】31
【分析】直线a，b交于点A，与边框的交点分别为B，C，由对顶角的性质可求解∠ABC和∠ACB的度数，再根据三角形的内角和定理可求解．
【详解】解：直线a，b相交于点A，与边框的交点分别为B，C，如图，
∵∠1=71°，∠2=78°，
∴∠ABC=∠1=71°，∠ACB=∠2=78°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=180°−71°−78°=31°，
故答案为31．
【点睛】本题主要考查对顶角，三角形的内角和定理，利用对顶角的性质求解∠ABC，∠ACB的度数是解题的关键．
【考点2 三角形内角和定理的应用】
【例2.1】如图，在△ABC中，∠B=70°，∠ACD=50°，AB∥CD，则∠ACB的度数为（ ）
A．90°B．85°C．60°D．55°
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质求出∠A=∠ACD=50°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=50°，
∴∠A=∠ACD=50°，
又∵∠B=70°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=60°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180°是解题的关键．
【例2.2】如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，得到△A′DE，若∠DA′E=25°，∠DEA′=115°，则∠ABC的度数是（ ）
A．45°B．40°C．55°D．50°
【答案】B
【分析】根据题意可得∠A′DE=∠ADE，DE∥BC，结合三角形内角和定理可得∠ADE=40°，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：由题意得，∠A′DE=∠ADE，DE∥BC，
又∵∠DA′E=25°，∠DEA′=115°，
∴∠ADE=∠A′DE=180°−∠DA′E−∠DEA′=180°−25°−115°=40°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=40°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和折叠的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
【例2.3】如图，在△ABC中，∠A=100°，△ABC的角平分线BD，CE交于点O，则∠BOC=______．
【答案】140°/140度
【分析】根据角平分线的定义可知∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，然后结合三角形内角和定理即可获得答案．
【详解】解：∵BD，CE为△ABC的角平分线，∠A=100°，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
=180°−(12∠ABC+12∠ACB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12(180°−∠A)
=180°−12×(180°−100°)
=140°．
故答案为：140°．
【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
【变式2.1】将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）度．
A．60B．75C．45D．30
【答案】B
【分析】利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】解：由题意得∠A=60°，∠B=45°，
∴∠1=∠ACB=180°−∠A−∠B=75°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握相关性质是解题的关键．
【变式2.2】将一副三角板如图放放置，使点A在DE上，BC//DE．则∠ACD的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【答案】D
【分析】根据∠ACD=90°-∠ACE，想办法求出∠ACE即可解决问题．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴∠E=∠ECB=30°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
∵∠ECD=90°，
∴∠ACD=90°-15°=75°，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2.3】如图△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠DAE=16°．求∠CAD的度数．
【答案】22°
【分析】先求解∠BAD=90°−∠B=54°，∠BAE=∠BAD−∠DAE=54°−16°=38°，结合角平分线可得∠CAE=∠BAE=38°，从而可得答案．
【详解】解：∵AD为△ABC的高
∴在Rt△ABC中，∠ADB=90°，∠B=36°，
∴∠BAD=90°−∠B=54°（直角三角形两个锐角互余），
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=54°−16°=38°，
又∵AE为∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE=38°，
∴∠CAD=∠CAE−∠DAE=38°−16°=22°．
【点睛】本题考查的是三角形的高与角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，掌握概念与三角形的内角和定理是解本题的关键．
模块二
直角三角形的性质与判定
1．直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余。
2．直角三角形的判定
有两个角互余的三角形是直角三角形。
【考点1 直角三角形的性质】
【例1.1】已知直角三角形的一个锐角的度数为50°，则其另一个锐角的度数为___度．
【答案】40
【分析】根据直角三角形两个锐角互余求解即可．
【详解】解：∵直角三角形的一个锐角的度数为50°，
∴另一个锐角的度数是90°−50°=40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解答本题的关键．
【例1.2】（2023年山西省运城市中考二模数学试题）如图，在△ABC中，直线m∥BC，AB⊥m于点D，直线m与AC交于点E，若∠C=20°，则∠A的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【分析】根据垂直的定义可得∠ADE=90°，然后根据“两直线平行，同位角相等”可得∠AED=20°，再根据直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵AB⊥m，
∴∠ADE=90°，
∵m∥BC，∠C=20°，
∴∠AED=20°，
∴∠A=90°−20°=70°，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，直角三角形两锐角互余等知识点，熟练掌握相关知识点是解本题的关键，题型比较简单，属于基础题．
【例1.3】如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则∠α的大小为（ ）
A．75°B．65°C．60°D．55°
【答案】A
【分析】如图所示，根据直角三角板的特点，可知∠B=∠D=90°，∠CAB=60°，∠EAD=45°，在Rt△BAF中，根据两锐角互余即可求解．
【详解】解：一副三角尺，如图所示，
∴∠B=∠D=90°，∠CAB=60°，∠EAD=45°，
∴∠BAF=∠CAB−∠EAD=60°−45°=15°，
在Rt△ABF中，∠α=90°−∠BAF=90°−15°=75°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中两个锐角的互余的关系是解题的关键．
【变式1.1】已知直角三角形两个锐角的度数之比为3:2，求这两个锐角的度数．
【答案】这两个锐角的度数为54∘和36∘
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列方程求解即可．
【详解】解：设两个角分别为3x，2x，
根据题意，得3x+2x=90∘，
解得：x=18∘，
∴3x=54∘，2x=36∘，
则这两个锐角的度数为54∘和36∘．
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、解一元一次方程，会通过直角三角形的两锐角互余列方程求解角的度数是解答的关键．
【变式1.2】如图△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′=30°，则∠A=___________°．
【答案】30
【分析】由折叠的性质及已知，可分别求得∠BDC及∠BCD的度数，由三角形内角和定理可求得∠B，进而求得∠A的度数．
【详解】由折叠的性质得：∠BDC=∠B′DC，∠BCD=∠B′CD．
∵∠ADB′=30°，
∴∠BDC=12(180°−∠ADB′)=75°．
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=12∠ACB=45°．
∴∠B=180°−(∠BDC+∠BCD)=180°−(75°+45°)=60°．
∴∠A=90°−∠B=90°−60°=30°．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，直角三角形两内角互余等知识，折叠性质的应用是解题的关键．
【变式1.3】如图，已知∠AON=40°，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A=________．
【答案】90°或50°
【分析】先分类讨论，根据直角三角形的两锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意， △AOP为直角三角形时，
当∠A= 90°，△AOP为直角三角形时，
当∠APO=90°时，∠A=90°−∠AON=90°−40°=50°，
故答案为：90°或50°．
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键．
【考点2 直角三角形的判定】
【例2.1】在△ABC中，满足下列条件：①∠A=60°,∠C=30°；②∠A+∠B=∠C；③∠A:∠B:∠C=3:4:5；④∠A=90°−∠C，能确定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形内角和以及题中各条件，求角度，若存在角度为90°时，则该条件符合题意，进而可得答案．
【详解】①∵∠A=60°,∠C=30°；
∴∠A+∠C=60°+30°=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=180°−90°=90°，
则能确定△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
②∵∠A+∠B=∠C，
∴∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，
∴∠C=90°，
则能确定△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
③∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，
∴最大角∠C=180°×53+4+5=75°，
则不能确定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
③∵∠A=90°−∠C，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°−90°=90°，
则能确定△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．
【例2.2】已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2．求证：△ABC是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理可得∠1+∠2=90°，据此即可证明△ABC是直角三角形．
【详解】解：在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2，
∵∠A+∠2+∠1+∠B=180°，
∴2∠1+2∠2=180°，即∠1+∠2=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于180°”是解题的关键．
【变式2.1】根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B=50° ，∠C=40°B．∠B=∠C=45
C．∠A，∠B，∠C的度数比为5：3：2D．∠A-∠B=90°
【答案】D
【详解】A.是直角三角形，因为∠B+∠C=90°,根据有两个角互余的三角形是直角三角形,可知△ABC是直角三角形；
B.是直角三角形．因为∠B+∠C=90°，根据有两个角互余的三角形是直角三角形,可知△ABC是直角三角形；
C.是直角三角形．因为∠A:∠B:∠C=5:3:2,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形;
D. 由∠A-∠B=90°无法判断哪个角是直角，
故选D.
【变式2.2】如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是______________．
【答案】直角三角形
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论.
【详解】解: 在Rt△ABC 中，
∵∠B＝90°,
∴∠A+∠C=90°,
∵∠DEC＝∠A,
∴∠DEC+∠C=90°,
∴∠EDC=90°,
∴△EDC 是直角三角形,
故答案为 直角三角形.
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握.
模块三
三角形的外角
1．三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
【考点1 三角形的外角】
【例1.1】图中，∠1是△ABC的外角的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【例1.2】如图所示，下列说法错误的是( )
A. ∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角
B. ∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角
C. ∠ABF是△ABF的一个内角，也是△AEF的一个外角
D. ∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角
【答案】C
【详解】解：由图可得
∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角，故A正确，不符合题意；
∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角，故B正确，不符合题意；
∠ABF是△ABF的一个内角，不是△AEF的一个外角，故C错误，符合题意；
∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角，故D正确，不符合题意．
故选C．
【变式1.1】如图，以∠AOD为外角的三角形是 ．
【答案】△AOB和△COD
【变式1.2】如图，下列说法中错误的是( )
A. ∠1不是△ABC的外角 B. ∠ACD是△ABC的外角
C. ∠ACD>∠A+∠B D. ∠B<∠1+∠2
【答案】C
【详解】解：A、∠1不是△ABC的外角，正确；
B、∠ACD是△ABC的外角，正确；
C、∠ACD=∠A+∠B，错误；
D、∠B<∠1+∠2，正确；
故选：C．
根据三角形的外角性质解答即可．
此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
【考点2 三角形的外角的性质】
【例2.1】如图，∠A的度数为_______°
【答案】80
【分析】根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：由图可知：∠A=∠ACD−∠B=110°−30°=80°；
故答案为：80．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
【例2.2】如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD．下列结论正确的是（ ）
A．∠BOD=∠BB．∠AOC<∠D
C．∠BOD=∠C+∠DD．∠AOC=∠A+∠C
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质进行求解即可．
【详解】解：由三角形外角的性质可知，∠BOD=∠B+∠A=∠C+∠D，∠AOC=∠D+∠C=∠A+∠B，
∴∠AOC>∠D，
∴四个选项中只有C选项结论正确，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
【例2.3】如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．45°B．50°C．75°D．80°
【答案】C
【分析】由题意得∠E=90°，∠EAC=60°，∠DAC=45°，根据角的和差关系，得∠EAD=∠EAC−∠DAC=15°，再根据三角形的外角的性质，得∠ADC=∠E+∠EAD=105°，从而解决此题．
【详解】解：如图：
由题意得，∠E=90°，∠EAC=60°，∠DAC=45°，
∴∠EAD=∠EAC−∠DAC=15°，
∴∠ADC=∠E+∠EAD=105°，
∴α=180°−∠ADC=75°，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的外角，熟练掌握三角形的外角的性质，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解决本题的关键．
【变式2.1】直角三角形最小的一个外角为______度.
【答案】90
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，两个锐角处的外角等于直角和另一个锐角的和，而直角处的外角是两个锐角的和等于90°，所以最小的一个外角为90°．
【详解】解：如图，根据三角形的外角性质，锐角处的外角为钝角，直角处的外角为直角，
钝角大于直角，所以最小的一个外角为90°．
故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角的度数等于和它不相邻的两个内角的度数和是解题的关键．
【变式2.2】如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（ ）
A．360°B．180°C．250°D．245°
【答案】C
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．掌握外角的性质是解题的关键.
【变式2.3】如图，直线a∥b，∠1=39°，∠2=70°，则∠A度数是（ ）
A．39°B．21°C．31°D．70°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出∠3=∠2=70°，根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵a∥b，∠2=70°，
∴∠3=∠2=70°，
又∵∠3=∠1+∠A，∠1=39°，
∠A=∠3−∠1=70°−39°=31°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质以及三角形的外角的性质是解题的关键．
【变式2.4】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
模块四
课后作业
1．已知Rt△ABC中，∠B=90°，若∠C比∠A大20°，则∠A等于（ ）
A．35°B．55°C．60°D．40°
【答案】A
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠C=90°，结合条件即可求解．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∵∠C比∠A大20°，
∴∠A+∠A+20°=90°，
解得：∠A=35°，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【答案】C
【分析】分别在Rt△BDE和Rt△DFC中，求得∠EDB和∠FDC，再利用平角的性质即可求解．
【详解】解：∵DE⊥AB，∠B=50°，
∴∠EDB=90°−∠B=40°，
∵DF⊥AC，∠C=60°，
∴∠FDC=90°−∠C=30°，
∵∠EDB+∠FDC+∠EDF=180°，
∴∠EDF=180°−∠EDB−∠FDC=110°，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是180°．
3．在△ABC中，已知∠B=3∠A，∠C=2∠B，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】求出△ABC三个内角的度数进行判断即可．
【详解】解：设∠A=x，则∠B=3∠A=3x，∠C=2∠B=6x，根据题意得：
x+3x+6x=180°，
解得：x=18°，
则∠A=18°，∠B=54°，∠C=108°，
∴这个三角形是钝角三角形，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形分类，解题的关键是求出∠A=18°，∠B=54°，∠C=108°．
4．如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA=80°，∠D=45°，则∠E的度数为( )
A．35°B．25°C．20°D．15°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可以求得∠EFC的度数，然后即可得到∠EFD的度数，再根据三角形内角和，即可求得∠E的度数．
【详解】解：∵ AB∥CD，∠EBA=80°，
∴∠EBA=∠EFC=80°，
∴∠EFD=180°−∠EFC=180°−80°=100°，
∵∠EFD+∠D+∠E=180°，
∴∠E=180°−∠EFD−∠D=180°−100°−45°=35°，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1=130°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【答案】B
【分析】直接利用三角形的外角性质及平行线的性质进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵ ∠1=130°，
∴∠ABC=∠1−∠BAC=130°−90°=40°，
∵直线a∥ b，
∴∠2=∠ABC=40°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
6．一副三角板如图所示摆放，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=60°，∠AED=45°，BC∥DE，则∠BAD的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】A
【分析】利用平行线的性质求得∠1=45°，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵BC∥DE，∠B=30°，∠D=45°，
∴∠1=∠D=45°，
∴∠BAD=∠1−∠B=45°−30°=15°，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
7．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示摆放，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．65°B．60°C．55°D．45°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可得出∠3=∠1=25°，进而可求出∠4=90°−∠3=65°，最后根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=25°，
∴∠4=90°−∠3=65°，
∴∠2=∠4=65°．
故选A．
【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，对顶角相等．利用数形结合的思想是解题关键．
8．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为_______．
【答案】25°/25度
【分析】根据三角形外角性质得出∠3=∠1+∠B=65°，再由平行线性质得出∠3+∠2+90°=180°，即可解题．
【详解】解：如解图，
由三角形的内外角关系得：∠3=∠1+∠B=65°，
∵a∥b，∠DCB=90°，
∴∠2=180°−∠3−90°=180°−65°−90°=25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9．若一个三角形三个内角度数的比为3：7：4，那么这个三角形最大的一个角是_______度．
【答案】90
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k，根据三角形的内角和等于180°列方程求出k的值，从而确定三角形的最大角的度数．
【详解】解：设三个内角的度数分别为3k，7k，4k．
则3k+7k+4k=180，
解得k=907，
7k=90，
这个三角形最大的角等于90°．
故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理．解答此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算．
10．如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DB的度数为____．
【答案】50°/50度
【分析】根据折叠性质，∠A′ED=∠AED=180°−∠A′EC2=55°，根据三角形内角和定理，得到∠A′DE=∠ADE=180°−60°−55°=65°，根据平角计算即可．
【详解】根据折叠性质，得∠A′ED=∠AED，∠A′DE=∠ADE，
∵∠A′EC=70°，
∴∠A′ED=∠AED=180°−∠A′EC2=55°，
∵∠A=60°，
∴∠A′DE=∠ADE=180°−60°−55°=65°，
∴∠A′DB=180°−∠A′DE−∠ADE=180°−65°−65°=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角，熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
11．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=54°，∠D=12°，则∠P的度数为____．
【答案】21°
【分析】延长AC交BD于点E，设∠ABP=α，利用外角的性质表示出∠ACD，结合角平分线得到∠ACP，根据∠AFP=∠P+∠ACP列出等式，即可求出∠P．
【详解】解：延长AC交BD于点E，
设∠ABP=α，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABE=2α，
∴∠AED=∠ABE+∠A=2α+54°，
∴∠ACD=∠AED+∠D=2α+66°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=12∠ACD=α+33°，
∵∠AFP=∠ABP+∠A=α+54°，
∠AFP=∠P+∠ACP
∴α+54°=∠P+α+33°，
∴∠P=21°，
故答案为：21°．
【点睛】本题考查三角形，角平分线，解题的关键是熟练运用三角形的外角性质，本题属于基础题型．
12．已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A=30∘，∠C=2∠B，求∠B的度数．
【答案】50°
【分析】根据三角形内角和定理列方程计算可得答案．
【详解】解：∵∠A=30∘，∠C=2∠B，∠A+∠C+∠B=180°，
∴30°+2∠B+∠B=180°，
解得∠B=50°．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理的应用，正确掌握三角形的内角和是180°是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A=70°，求∠D的度数．
【答案】125°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，再由角平分线的定义推出∠DBC+∠DCB=55°，进而利用三角形内角和定理求出∠D的度数．
【详解】解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=110°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=12∠ABC+12∠ACB=55°，
∴∠D=180°−∠DBC−∠DCB=125°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和为180°是解题的关键．
14．已知：如图，∠ABD=∠DBF，过AC上一点D，作DF∥AB交BC于点F．求证：∠DFC=2∠BDF．
【答案】证明见解析
【分析】先证明∠ABD=∠BDF，再证明∠BDF=∠DBF，结合∠DFC=∠DBF+∠BDF，从而可得结论．
【详解】证明：∵DF∥AB，
∴∠ABD=∠BDF，
∵∠ABD=∠DBF，
∴∠BDF=∠DBF，
∵∠DFC=∠DBF+∠BDF，
∴∠DFC=2∠BDF．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，熟记三角形的外角的性质并灵活运用是解本题的关键．
15．学习了证明的必要性，张明尝试证明三角形内角和定理，下面是他的部分证明过程．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180∘．
证明：过点A作直线DE∥BC…
【答案】见解析
【分析】过点A作直线DE∥BC，根据平行线的性质可证得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，再根据平角的性质，即可证得．
【详解】证明：如图：过点A作直线DE∥BC，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180∘，
∴∠B+∠BAC+∠C=180∘．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明方法，熟练掌握和运用三角形内角和定理的证明方法是解决本题的关键．
·模块一 三角形的内角
·模块二 直角三角形的性质与判定
·模块三 三角形的外角
·模块四 课后作业
模块一
三角形的内角
1．三角形内角和定理
三角形的内角和等于180°。
【考点1 三角形内角和定理】
【例1.1】在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理_____．
【答案】三角形的内角和是180°
【详解】根据折叠的性质，折叠前后的两个角相等，即∠A=∠1，∠B=∠2，∠C=∠3，根据把三角形的三个角转化为一个平角∠1+∠2+∠3=180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，因此这个定理为：三角形的内角和是180°．
故答案为三角形的内角和是180°．
点睛：本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
【例1.2】如果三角形的三个内角度数分别为x°，y°，y°，则x，y满足的关系式（ ）
A．x+y=90B．2x=yC．x+2y=90D．x+2y=180
【答案】D
【分析】利用三角形的内角和定理，即可得出结论．
【详解】解：∵x°+y°+y°=180°，
∴x+2y=180；
故选D．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理．熟练掌握三角形的内角和为180°，是解题的关键．
【例1.3】如图，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合），∠O=30°，若△AOP为钝角三角形，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°<∠A<60°B．90°<∠A<180°
C．10°<∠A<30°或90°<∠A<130°D．0°<∠A<60°或90°<∠A<150°
【答案】D
【分析】当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此可求解．
【详解】解：由三角形内角和可得：∠OAP+∠O+∠APO=180°，
∵∠O=30°，
∴当∠OAP与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有0°<∠A<60°；
当∠OAP大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有90°<∠A<150°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，熟练掌握三角形内角和及一元一次不等式的应用是解题的关键．
【变式1.1】一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A=55°,∠B=60°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为（ ）
A．75°B．65°C．55°D．45°
【答案】B
【分析】由三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=55°,∠B=60°，
∴∠C=180°−∠B−∠A=180°−55∘−60∘=65∘，
故选：B
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【变式1.2】如图，直线a，b所成的角跑到画板外面了，某同学发现只要量出一条直线分别与直线a，b相交所形成的角的度数就可求得该角，已知∠1=71°，∠2=78°，则直线a，b所形成的锐角的度数为__________°．
【答案】31
【分析】直线a，b交于点A，与边框的交点分别为B，C，由对顶角的性质可求解∠ABC和∠ACB的度数，再根据三角形的内角和定理可求解．
【详解】解：直线a，b相交于点A，与边框的交点分别为B，C，如图，
∵∠1=71°，∠2=78°，
∴∠ABC=∠1=71°，∠ACB=∠2=78°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A=180°−71°−78°=31°，
故答案为31．
【点睛】本题主要考查对顶角，三角形的内角和定理，利用对顶角的性质求解∠ABC，∠ACB的度数是解题的关键．
【考点2 三角形内角和定理的应用】
【例2.1】如图，在△ABC中，∠B=70°，∠ACD=50°，AB∥CD，则∠ACB的度数为（ ）
A．90°B．85°C．60°D．55°
【答案】C
【分析】先根据平行线的性质求出∠A=∠ACD=50°，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD，∠ACD=50°，
∴∠A=∠ACD=50°，
又∵∠B=70°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=60°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180°是解题的关键．
【例2.2】如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，得到△A′DE，若∠DA′E=25°，∠DEA′=115°，则∠ABC的度数是（ ）
A．45°B．40°C．55°D．50°
【答案】B
【分析】根据题意可得∠A′DE=∠ADE，DE∥BC，结合三角形内角和定理可得∠ADE=40°，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：由题意得，∠A′DE=∠ADE，DE∥BC，
又∵∠DA′E=25°，∠DEA′=115°，
∴∠ADE=∠A′DE=180°−∠DA′E−∠DEA′=180°−25°−115°=40°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=40°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和折叠的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
【例2.3】如图，在△ABC中，∠A=100°，△ABC的角平分线BD，CE交于点O，则∠BOC=______．
【答案】140°/140度
【分析】根据角平分线的定义可知∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，然后结合三角形内角和定理即可获得答案．
【详解】解：∵BD，CE为△ABC的角平分线，∠A=100°，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
=180°−(12∠ABC+12∠ACB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12(180°−∠A)
=180°−12×(180°−100°)
=140°．
故答案为：140°．
【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
【变式2.1】将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）度．
A．60B．75C．45D．30
【答案】B
【分析】利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】解：由题意得∠A=60°，∠B=45°，
∴∠1=∠ACB=180°−∠A−∠B=75°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握相关性质是解题的关键．
【变式2.2】将一副三角板如图放放置，使点A在DE上，BC//DE．则∠ACD的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【答案】D
【分析】根据∠ACD=90°-∠ACE，想办法求出∠ACE即可解决问题．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴∠E=∠ECB=30°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
∵∠ECD=90°，
∴∠ACD=90°-15°=75°，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式2.3】如图△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠DAE=16°．求∠CAD的度数．
【答案】22°
【分析】先求解∠BAD=90°−∠B=54°，∠BAE=∠BAD−∠DAE=54°−16°=38°，结合角平分线可得∠CAE=∠BAE=38°，从而可得答案．
【详解】解：∵AD为△ABC的高
∴在Rt△ABC中，∠ADB=90°，∠B=36°，
∴∠BAD=90°−∠B=54°（直角三角形两个锐角互余），
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=54°−16°=38°，
又∵AE为∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE=38°，
∴∠CAD=∠CAE−∠DAE=38°−16°=22°．
【点睛】本题考查的是三角形的高与角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，掌握概念与三角形的内角和定理是解本题的关键．
模块二
直角三角形的性质与判定
1．直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余。
2．直角三角形的判定
有两个角互余的三角形是直角三角形。
【考点1 直角三角形的性质】
【例1.1】已知直角三角形的一个锐角的度数为50°，则其另一个锐角的度数为___度．
【答案】40
【分析】根据直角三角形两个锐角互余求解即可．
【详解】解：∵直角三角形的一个锐角的度数为50°，
∴另一个锐角的度数是90°−50°=40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解答本题的关键．
【例1.2】（2023年山西省运城市中考二模数学试题）如图，在△ABC中，直线m∥BC，AB⊥m于点D，直线m与AC交于点E，若∠C=20°，则∠A的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【分析】根据垂直的定义可得∠ADE=90°，然后根据“两直线平行，同位角相等”可得∠AED=20°，再根据直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵AB⊥m，
∴∠ADE=90°，
∵m∥BC，∠C=20°，
∴∠AED=20°，
∴∠A=90°−20°=70°，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，直角三角形两锐角互余等知识点，熟练掌握相关知识点是解本题的关键，题型比较简单，属于基础题．
【例1.3】如图所示，将一副三角尺叠放在一起，则∠α的大小为（ ）
A．75°B．65°C．60°D．55°
【答案】A
【分析】如图所示，根据直角三角板的特点，可知∠B=∠D=90°，∠CAB=60°，∠EAD=45°，在Rt△BAF中，根据两锐角互余即可求解．
【详解】解：一副三角尺，如图所示，
∴∠B=∠D=90°，∠CAB=60°，∠EAD=45°，
∴∠BAF=∠CAB−∠EAD=60°−45°=15°，
在Rt△ABF中，∠α=90°−∠BAF=90°−15°=75°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中两个锐角的互余的关系是解题的关键．
【变式1.1】已知直角三角形两个锐角的度数之比为3:2，求这两个锐角的度数．
【答案】这两个锐角的度数为54∘和36∘
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列方程求解即可．
【详解】解：设两个角分别为3x，2x，
根据题意，得3x+2x=90∘，
解得：x=18∘，
∴3x=54∘，2x=36∘，
则这两个锐角的度数为54∘和36∘．
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、解一元一次方程，会通过直角三角形的两锐角互余列方程求解角的度数是解答的关键．
【变式1.2】如图△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′=30°，则∠A=___________°．
【答案】30
【分析】由折叠的性质及已知，可分别求得∠BDC及∠BCD的度数，由三角形内角和定理可求得∠B，进而求得∠A的度数．
【详解】由折叠的性质得：∠BDC=∠B′DC，∠BCD=∠B′CD．
∵∠ADB′=30°，
∴∠BDC=12(180°−∠ADB′)=75°．
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=12∠ACB=45°．
∴∠B=180°−(∠BDC+∠BCD)=180°−(75°+45°)=60°．
∴∠A=90°−∠B=90°−60°=30°．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，直角三角形两内角互余等知识，折叠性质的应用是解题的关键．
【变式1.3】如图，已知∠AON=40°，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A=________．
【答案】90°或50°
【分析】先分类讨论，根据直角三角形的两锐角互余即可求解．
【详解】解：依题意， △AOP为直角三角形时，
当∠A= 90°，△AOP为直角三角形时，
当∠APO=90°时，∠A=90°−∠AON=90°−40°=50°，
故答案为：90°或50°．
【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键．
【考点2 直角三角形的判定】
【例2.1】在△ABC中，满足下列条件：①∠A=60°,∠C=30°；②∠A+∠B=∠C；③∠A:∠B:∠C=3:4:5；④∠A=90°−∠C，能确定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形内角和以及题中各条件，求角度，若存在角度为90°时，则该条件符合题意，进而可得答案．
【详解】①∵∠A=60°,∠C=30°；
∴∠A+∠C=60°+30°=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°−∠A−∠C=180°−90°=90°，
则能确定△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
②∵∠A+∠B=∠C，
∴∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，
∴∠C=90°，
则能确定△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
③∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，
∴最大角∠C=180°×53+4+5=75°，
则不能确定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
③∵∠A=90°−∠C，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°−90°=90°，
则能确定△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．
【例2.2】已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2．求证：△ABC是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】利用三角形内角和定理可得∠1+∠2=90°，据此即可证明△ABC是直角三角形．
【详解】解：在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2，
∵∠A+∠2+∠1+∠B=180°，
∴2∠1+2∠2=180°，即∠1+∠2=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于180°”是解题的关键．
【变式2.1】根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠B=50° ，∠C=40°B．∠B=∠C=45
C．∠A，∠B，∠C的度数比为5：3：2D．∠A-∠B=90°
【答案】D
【详解】A.是直角三角形，因为∠B+∠C=90°,根据有两个角互余的三角形是直角三角形,可知△ABC是直角三角形；
B.是直角三角形．因为∠B+∠C=90°，根据有两个角互余的三角形是直角三角形,可知△ABC是直角三角形；
C.是直角三角形．因为∠A:∠B:∠C=5:3:2,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形;
D. 由∠A-∠B=90°无法判断哪个角是直角，
故选D.
【变式2.2】如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是______________．
【答案】直角三角形
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论.
【详解】解: 在Rt△ABC 中，
∵∠B＝90°,
∴∠A+∠C=90°,
∵∠DEC＝∠A,
∴∠DEC+∠C=90°,
∴∠EDC=90°,
∴△EDC 是直角三角形,
故答案为 直角三角形.
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握.
模块三
三角形的外角
1．三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
【考点1 三角形的外角】
【例1.1】图中，∠1是△ABC的外角的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【例1.2】如图所示，下列说法错误的是( )
A. ∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角
B. ∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角
C. ∠ABF是△ABF的一个内角，也是△AEF的一个外角
D. ∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角
【答案】C
【详解】解：由图可得
∠ADC是△ABD的一个外角，也是△ADC的一个内角，故A正确，不符合题意；
∠AEB是△AEB的一个内角，也是△AEF的一个内角，故B正确，不符合题意；
∠ABF是△ABF的一个内角，不是△AEF的一个外角，故C错误，符合题意；
∠C是△ABC的一个内角，也是△ADC的一个内角，故D正确，不符合题意．
故选C．
【变式1.1】如图，以∠AOD为外角的三角形是 ．
【答案】△AOB和△COD
【变式1.2】如图，下列说法中错误的是( )
A. ∠1不是△ABC的外角 B. ∠ACD是△ABC的外角
C. ∠ACD>∠A+∠B D. ∠B<∠1+∠2
【答案】C
【详解】解：A、∠1不是△ABC的外角，正确；
B、∠ACD是△ABC的外角，正确；
C、∠ACD=∠A+∠B，错误；
D、∠B<∠1+∠2，正确；
故选：C．
根据三角形的外角性质解答即可．
此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
【考点2 三角形的外角的性质】
【例2.1】如图，∠A的度数为_______°
【答案】80
【分析】根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：由图可知：∠A=∠ACD−∠B=110°−30°=80°；
故答案为：80．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
【例2.2】如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD．下列结论正确的是（ ）
A．∠BOD=∠BB．∠AOC<∠D
C．∠BOD=∠C+∠DD．∠AOC=∠A+∠C
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质进行求解即可．
【详解】解：由三角形外角的性质可知，∠BOD=∠B+∠A=∠C+∠D，∠AOC=∠D+∠C=∠A+∠B，
∴∠AOC>∠D，
∴四个选项中只有C选项结论正确，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
【例2.3】如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．45°B．50°C．75°D．80°
【答案】C
【分析】由题意得∠E=90°，∠EAC=60°，∠DAC=45°，根据角的和差关系，得∠EAD=∠EAC−∠DAC=15°，再根据三角形的外角的性质，得∠ADC=∠E+∠EAD=105°，从而解决此题．
【详解】解：如图：
由题意得，∠E=90°，∠EAC=60°，∠DAC=45°，
∴∠EAD=∠EAC−∠DAC=15°，
∴∠ADC=∠E+∠EAD=105°，
∴α=180°−∠ADC=75°，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的外角，熟练掌握三角形的外角的性质，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解决本题的关键．
【变式2.1】直角三角形最小的一个外角为______度.
【答案】90
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，两个锐角处的外角等于直角和另一个锐角的和，而直角处的外角是两个锐角的和等于90°，所以最小的一个外角为90°．
【详解】解：如图，根据三角形的外角性质，锐角处的外角为钝角，直角处的外角为直角，
钝角大于直角，所以最小的一个外角为90°．
故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角的度数等于和它不相邻的两个内角的度数和是解题的关键．
【变式2.2】如图，△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（ ）
A．360°B．180°C．250°D．245°
【答案】C
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．掌握外角的性质是解题的关键.
【变式2.3】如图，直线a∥b，∠1=39°，∠2=70°，则∠A度数是（ ）
A．39°B．21°C．31°D．70°
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出∠3=∠2=70°，根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵a∥b，∠2=70°，
∴∠3=∠2=70°，
又∵∠3=∠1+∠A，∠1=39°，
∠A=∠3−∠1=70°−39°=31°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质以及三角形的外角的性质是解题的关键．
【变式2.4】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（ ）
A．20°B．30°C．35°D．40°
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【详解】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
模块四
课后作业
1．已知Rt△ABC中，∠B=90°，若∠C比∠A大20°，则∠A等于（ ）
A．35°B．55°C．60°D．40°
【答案】A
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠C=90°，结合条件即可求解．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∵∠C比∠A大20°，
∴∠A+∠A+20°=90°，
解得：∠A=35°，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
【答案】C
【分析】分别在Rt△BDE和Rt△DFC中，求得∠EDB和∠FDC，再利用平角的性质即可求解．
【详解】解：∵DE⊥AB，∠B=50°，
∴∠EDB=90°−∠B=40°，
∵DF⊥AC，∠C=60°，
∴∠FDC=90°−∠C=30°，
∵∠EDB+∠FDC+∠EDF=180°，
∴∠EDF=180°−∠EDB−∠FDC=110°，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质．注意利用隐含在题中的已知条件：三角形内角和是180°．
3．在△ABC中，已知∠B=3∠A，∠C=2∠B，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】求出△ABC三个内角的度数进行判断即可．
【详解】解：设∠A=x，则∠B=3∠A=3x，∠C=2∠B=6x，根据题意得：
x+3x+6x=180°，
解得：x=18°，
则∠A=18°，∠B=54°，∠C=108°，
∴这个三角形是钝角三角形，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形分类，解题的关键是求出∠A=18°，∠B=54°，∠C=108°．
4．如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA=80°，∠D=45°，则∠E的度数为( )
A．35°B．25°C．20°D．15°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可以求得∠EFC的度数，然后即可得到∠EFD的度数，再根据三角形内角和，即可求得∠E的度数．
【详解】解：∵ AB∥CD，∠EBA=80°，
∴∠EBA=∠EFC=80°，
∴∠EFD=180°−∠EFC=180°−80°=100°，
∵∠EFD+∠D+∠E=180°，
∴∠E=180°−∠EFD−∠D=180°−100°−45°=35°，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1=130°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【答案】B
【分析】直接利用三角形的外角性质及平行线的性质进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵ ∠1=130°，
∴∠ABC=∠1−∠BAC=130°−90°=40°，
∵直线a∥ b，
∴∠2=∠ABC=40°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
6．一副三角板如图所示摆放，∠BAC=∠DAE=90°，∠ACB=60°，∠AED=45°，BC∥DE，则∠BAD的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】A
【分析】利用平行线的性质求得∠1=45°，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵BC∥DE，∠B=30°，∠D=45°，
∴∠1=∠D=45°，
∴∠BAD=∠1−∠B=45°−30°=15°，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
7．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示摆放，若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．65°B．60°C．55°D．45°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可得出∠3=∠1=25°，进而可求出∠4=90°−∠3=65°，最后根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠3=∠1=25°，
∴∠4=90°−∠3=65°，
∴∠2=∠4=65°．
故选A．
【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，对顶角相等．利用数形结合的思想是解题关键．
8．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为_______．
【答案】25°/25度
【分析】根据三角形外角性质得出∠3=∠1+∠B=65°，再由平行线性质得出∠3+∠2+90°=180°，即可解题．
【详解】解：如解图，
由三角形的内外角关系得：∠3=∠1+∠B=65°，
∵a∥b，∠DCB=90°，
∴∠2=180°−∠3−90°=180°−65°−90°=25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
9．若一个三角形三个内角度数的比为3：7：4，那么这个三角形最大的一个角是_______度．
【答案】90
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k，根据三角形的内角和等于180°列方程求出k的值，从而确定三角形的最大角的度数．
【详解】解：设三个内角的度数分别为3k，7k，4k．
则3k+7k+4k=180，
解得k=907，
7k=90，
这个三角形最大的角等于90°．
故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理．解答此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算．
10．如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DB的度数为____．
【答案】50°/50度
【分析】根据折叠性质，∠A′ED=∠AED=180°−∠A′EC2=55°，根据三角形内角和定理，得到∠A′DE=∠ADE=180°−60°−55°=65°，根据平角计算即可．
【详解】根据折叠性质，得∠A′ED=∠AED，∠A′DE=∠ADE，
∵∠A′EC=70°，
∴∠A′ED=∠AED=180°−∠A′EC2=55°，
∵∠A=60°，
∴∠A′DE=∠ADE=180°−60°−55°=65°，
∴∠A′DB=180°−∠A′DE−∠ADE=180°−65°−65°=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角，熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
11．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=54°，∠D=12°，则∠P的度数为____．
【答案】21°
【分析】延长AC交BD于点E，设∠ABP=α，利用外角的性质表示出∠ACD，结合角平分线得到∠ACP，根据∠AFP=∠P+∠ACP列出等式，即可求出∠P．
【详解】解：延长AC交BD于点E，
设∠ABP=α，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABE=2α，
∴∠AED=∠ABE+∠A=2α+54°，
∴∠ACD=∠AED+∠D=2α+66°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=12∠ACD=α+33°，
∵∠AFP=∠ABP+∠A=α+54°，
∠AFP=∠P+∠ACP
∴α+54°=∠P+α+33°，
∴∠P=21°，
故答案为：21°．
【点睛】本题考查三角形，角平分线，解题的关键是熟练运用三角形的外角性质，本题属于基础题型．
12．已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A=30∘，∠C=2∠B，求∠B的度数．
【答案】50°
【分析】根据三角形内角和定理列方程计算可得答案．
【详解】解：∵∠A=30∘，∠C=2∠B，∠A+∠C+∠B=180°，
∴30°+2∠B+∠B=180°，
解得∠B=50°．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理的应用，正确掌握三角形的内角和是180°是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠A=70°，求∠D的度数．
【答案】125°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，再由角平分线的定义推出∠DBC+∠DCB=55°，进而利用三角形内角和定理求出∠D的度数．
【详解】解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=110°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=12∠ABC+12∠ACB=55°，
∴∠D=180°−∠DBC−∠DCB=125°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和为180°是解题的关键．
14．已知：如图，∠ABD=∠DBF，过AC上一点D，作DF∥AB交BC于点F．求证：∠DFC=2∠BDF．
【答案】证明见解析
【分析】先证明∠ABD=∠BDF，再证明∠BDF=∠DBF，结合∠DFC=∠DBF+∠BDF，从而可得结论．
【详解】证明：∵DF∥AB，
∴∠ABD=∠BDF，
∵∠ABD=∠DBF，
∴∠BDF=∠DBF，
∵∠DFC=∠DBF+∠BDF，
∴∠DFC=2∠BDF．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，熟记三角形的外角的性质并灵活运用是解本题的关键．
15．学习了证明的必要性，张明尝试证明三角形内角和定理，下面是他的部分证明过程．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180∘．
证明：过点A作直线DE∥BC…
【答案】见解析
【分析】过点A作直线DE∥BC，根据平行线的性质可证得∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，再根据平角的性质，即可证得．
【详解】证明：如图：过点A作直线DE∥BC，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180∘，
∴∠B+∠BAC+∠C=180∘．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明方法，熟练掌握和运用三角形内角和定理的证明方法是解决本题的关键．
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