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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.1 成对数据的相关关系教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.1 成对数据的相关关系教案，共11页。教案主要包含了本节内容分析，学情整体分析，教学活动准备，教学活动设计等内容，欢迎下载使用。
《成对数据的统计相关性》教学设计
课时1 变量的相关关系
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
变量的相关关系
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
创造迁移能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
逻辑推理
数学抽象
【考查内容】
研究成对数据具有什么样的相关性,结合实例,解决成对数据统计相关性的简单实际问题.
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
样本相关系数
数学建模
样本相关系数的取值范围
数学运算
散点图与相关系数的关系
逻辑推理
数学抽象
直观想象
一、本节内容分析
在必修课程中,我们学习了单个变量的观察数据的直观表示和统计特征的刻画等知识与方法,但现实中,我们还经常需要了解两个或两个以上的变量之间的关系,认识现实生活中除了存在确定的关系外仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图体会这种相关关系.本节内容主要引入两个随机变量间的相关性、散点图的知识,为下面建立数学模型,分析两个随机变量的相关关系做铺垫.
相关系数r最早是由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标,是研究变量之间线性相关程度的量,是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标.本教材着重研究线性的相关系数.
样本相关系数的正负性可以从整体上反映成对样本数据变化方向的异同；当越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强,当接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.需要指出的是相关关系有很多种类型,有线性相关,也有非线性相关,其中非线性相关,还可以分很多不同的种类,例如指数相关、对数相关等,而事实上样本相关系数只能反映成对样本数据相关的正负性和线性相关的强弱.因此,有时为了强调样本相关系数,这个特点也称之为样本线性相关系数,对此教材以边注形式给予说明,并强调当等于零时,只表明成对样本数据间没有线性相关关系,但不排除它们之间有其他相关关系.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识
1.变量的相关关系
2.样本相关系数
3.样本相关系数的取值范围
4.散点图与相关系数的关系
逻辑推理
数学运算
数学建模
直观想象
数学抽象
核心素养
二、学情整体分析
在必修课程中,我们学习了单个变量的观察数据的直观表示和统计特征的刻画等知识与方法,在此基础上研究两个随机变量之间是否具有相关性,有什么样的相关性,学生容易接受.
鉴于本节第1课时难度比较小,建议学生大胆交流总结,形成概念.
在学习第2课时时,学生通过前面的学习已经掌握了统计的基础知识,能够画出所给数据的散点图,并根据散点图能初步分析成对数据的分布规律,已经初步具有对样本数据进行初步分析的能力,且掌握了一定的计算机基础(主要是电子表格的使用),这些为相关系数的学习奠定了基础.高二学生学习习惯较好,基本能独立完成练习,但是对一些概念的理解不是太透彻,所以教师上课时要重点讲概念及相关系数的应用.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.变量的相关关系
2.样本相关系数
【教学目标设计】
1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.
2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中除了存在确定的关系外仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图体会这种相关关系.
3.在利用散点图判断线性相关关系的基础上,让学生自主探究,体会数形结合、类比、及优化的数学思想方法,了解成对样本相关系数的产生和推导过程.
4.利用电子表格求出成对样本相关系数r,并对实际问题进行分析和预测,让学生通过观察、分析、比较对实际问题进行归纳.
5.通过实例加强对成对样本相关系数r含义的理解,使学生理解变量间的相关关系,增强应用相关关系对实际问题进行分析和预测的意识.
【教学策略设计】
第1课时,通过列举现实问题中两个有关联变量的数据,并归纳它们的特征,培养学生直观想象,数学抽象的核心素养.
对于第2课时,本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示,为了让学生通过观察、归纳得到成对样本相关系数,应该为学生创造积极探究的平台.因此,在教学设计中,采取问题引导方式来组织课堂教学,问题的设置给学生留有充分的思考空间,让学生围绕问题主线,通过自主探究来突出教学重点,突破教学难点.
在教学过程中,重视成对样本相关系数的发现与证明,让学生体验成对样本相关系数的提出、产生过程,同时,成对样本相关系数应用其实就是数学模型的建立与应用的典范,因此,本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.
【教学方法建议】
合作教学法、问题教学法,还有________________________________________________.
【教学重点难点】
重点
1.通过收集现实问题两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量间的相关关系.
2.掌握相关系数的计算公式、取值范围、意义,判断两个随机变量是否线性相关.
难点
1.变量之间相关关系的理解；通过散点图理解两个变量间的相关性.
2.体会相关系数的意义,对两个随机变量是否线性相关进行判断.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、计算器、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________.
四、教学活动设计
教学导入
师:我们知道,如果变量y是变量x的函数,那么x可以唯一确定y.比如,给定一个变量x,就可以唯一确定y.
然而现实世界中还存在这样的情况：我们知道一个人的体重与他的身高有关系,一般而言,个子高的人往往体重值较大,个子矮的人往往体重值较小.但身高是决定体重的唯一因索吗？
生:不是.例如生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素.
【设计意图】
在引入相关关系概念的过程中,对比了函数关系.通过比较,有利于学生理解相关关系的特点,也为后续引入新方法刻画变量相关关系做铺垫.
教学精讲
师:那一个人的身高和体重这两个变量有什么特点？
生:有关系,但一个不能唯一确定另一个.
师:回答正确.那什么是相关关系？
【要点知识】
相关关系
像这样,两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.
师:你能列举一些两个变量具有相关关系的事例吗?
【学生回答,并解释变量之间具有相关关系的原因.教师再补充事例】
师: (1)空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系.一般来说,汽车保有量增加,空气污染指数会上升.但汽车保有量并不是造成空气污染的唯一因素,气象条件、工业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧都是影响空气污染指数的因素.
粮食亩产量y与施肥量x之间的关系,在一定范围内,施肥量越大,粮食亩产量就越高,但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因素,粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量,田间管理水平等因素的影响.
师:上述各例中两个变量之间的相关关系能用函数刻画吗?
生:不能.
师:对上述变量间关系,我们往往会根据以往积累的经验做出推断,但不同经验的人对同一情形可能会得到不同结论,所以我们要借助数据说话.
【设活动 深探究】
以人的体重和身高的关系作为实例,一方面这是比较典型的相关关系,另一方面有利于学生利用他们的生活经验分析和认识两者的关系.通过列举丰富的案例,让学生感受到相关关系在现实中大量存在,体现研究变量之间相关关系的必要性.
【情境设置】
利用数据推断人体的脂肪含量与年龄之间的关系
在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据,如下表所示.表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果,它们构成了成对数据.
编号
1
2
3
4
5
6
7
年龄/岁
23
27
39
41
45
49
50
脂肪含量/%
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
编号
8
9
10
11
12
13
14
年龄/岁
53
54
56
57
58
60
61
脂肪含量/%
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
根据以上数据,你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗?
生:随着年龄的增加,人体中脂肪的含量也在增加.
师:这个表格体现的数据的变化不是很直观,你有其他的方法吗?
【学生提出画图.老师展示作图】
师:由下图你怎样得到两个变量之间的关系?
生:通过观察图象的变化趋势得到.
师:我们把年龄放在x轴,脂肪含量放在y轴,描出表格中的数据对应的点,这样作成的图叫做散点图.
【以学论教】
信息技术既是现代统计的组成部分,也是统计学习的有效辅助手段,通过信息技术,提升课堂学习效果.
【少教精教】
既显示通过数据研究相关关系的必要性,又为后续收集成对样本数据,用成对样本数据呈现的统计相关性去估计变量之间的相关性做铺垫.这个分析过程既突出了统计通过数据研究问题的学科特点,又渗透了理性思维和科学精神.
【要点知识】
散点图及正相关、负相关的概念
1.成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成了统计图,我们把这样的统计图叫做散点图.
2.如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,我们就称这两个变量负相关.
师:通过散点图,我们除了看到变量值的增减趋势,还能发现变量值有什么特点?
生:散点落在某条直线附近.
师：下面我们引入新的概念.
线性相关的概念
一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.
师:观察这三幅散点图,图中两个变量有相关性吗?如果有,是线性相关吗?
生:图中的变量具有相关性,但不是线性相关,图中的变量具有相关性,但既不正相关也不负相关,也不是线性相关图散点杂乱无章,无规律,不具有相关性.
师:你能举出生活中两个变量正相关或负相关的一些例子吗?
【学生回答后,老师补充我国人均拥有的汽车数量和人均寿命的例子】
师:注意相关关系不同于因果关系.如分析我国人均拥有的汽车数量与人均寿命数据,可以发现它们存在相关关系,而且高度正相关.但显然不是因为人们拥有的汽车数量多导致他们长寿,也不是因为人们长寿导致他们拥有的汽车数量多.可见,相关关系不一定意味着因果关系.两个变量之间的相关性往往受其他潜在变量的影响.例如,人均拥有汽车数量多与人们生活水平高有关,生活水平高还与健身意识强、医疗条件改善等有关,这些又与长寿有关.这些潜在变量可能都有相同的变化趋势,但却不一定有相互因果关系,可见,统计只是从数量关系来分析问题,其结论不可混同于因果关系.
师:相关关系与函数关系有什么区别?
生:函数关系是两个变量之间有完全确定的关系,当自变量给定,函数值确定：而相关关系是两个变量之间并没有严格的确定关系.
师:为了更好地理解相关关系和散点图,我们看两道例题.
【推测解释能力】在大数据时代,人们更多地关心变量之间的相关关系,而不是因果关系.因此,相关关系及后续的样本相关系数这个指标变得越来越重要,这是高中数学课程中设计这部分内容的重要原因.通过学习提升推测解释能力.
【简单问题解决能力】综合利用本节课所学知识,分析具体情境特征,并正确选用相应原理进行计算,解决实际问题,加深对线性相关和非线性相关的把握,提高学生简单问题解决能力.
【典型例题】
相关关系的判断
例1 5位学生的数学成绩和物理成绩如下表.
学科
A
B
C
D
E
数学
80分
75分
70分
65分
60分
物理
70分
66分
68分
64分
62分
则数学成绩与物理成绩之间( )
A.是函数关系
B.是相关关系,但相关性很弱
C.具有较好的相关关系,且是正相关
D.具有较好的相关关系,且是负相关
(2)(多选题)某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示,则下列说法正确的是( )
A.沸点与海拔高度呈正相关
B.沸点与气压呈正相关
C.沸点与海拔高度呈负相关
D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
【自主学习】
通过典型问题情境,以所学内容为抓手,引发学生自主探究的兴趣,以学生为主体,自主运用相关关系和散点图的知识,提升了学生的数学运算和数学抽象能力.
【学生思考讨论、相互交流,教师稍后出示答案】
【推测解释能力】
学生通过理解散点图与相关关系的关系,解决问题,提升推测解释能力.
【典型解析】
相关关系的判断
解:数学成绩x和物理成绩y的散点图如图所示.
从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系,且成正相关.
答案:C
结合绘制的散点图可得：海拔高度与气压呈负相关,气压与沸点成正相关,所以沸点与海拔高度呈负相关且它们的相关性都很强.A错误,BCD正确.
答案:BCD
师:我们刚刚讨论的都是线性相关性,还有一个和它对应的概念——非线性相关.
【要点知识】
非线性相关
一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
师:这节课我们就上到这里,请同学们回忆一下这节课所学内容.
生:本节学习了变量之间的相关关系、散点图和两个变量的线性相关的部分内容,通过归纳具体实例抽象出一般性的结论,理解了相关关系和函数关系的区别、相关关系和因果关系的区别.
师:同学们回答正确,请看本节课堂小结.
【设计意图】
课时小结,先让学生自主总结回顾,教师再归纳本节重点内容,小结本课时学习内容,让学生对变量的相关关系及其与函数关系的区别等内容进行整体学习,培养学生对所学内容的整体认识.
【归纳总结】
变量的相关关系
1.相关关系
2.散点图
3.正相关、负相关
4.线性相关与非线性相关
教学评价
本节课学习了变量之间的相关关系、散点图和相关系数的内容.通过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系,并学会了利用散点图及其分布来说明两个变量的相关关系,通过相关系数判断多组成对数据的相关性,另外,本节课选取与实际生活息息相关的案例,体现了数学与生活的密切联系,提高学生的学习兴趣.
应用所学知识,完成下题:
某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量X(小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图.
依据数据的折线图,基地的西红柿增加量y与使用基种液体肥料x之间是否具有较强相关关系.
解析:由已知数据可得,
因为,
,
,
所以相关系数,
因为,所以与之间具有较强的相关关系.
【设计意图】
结合实例了解变量间的相关关系,根据散点图分析变量间的相关关系.在线性相关系数r的学习过程中,必须体现学生的主体地位,让学生参与到线性相关系数r的生成过程中,进行数学运算、逻辑推理,推导出运算公式及其范围,在实际问题的解决过程中,让学生进行数学建模,解决简单问题,提高学生的分析计算、推测解释、说明论证等学科能力.
【简单问题解决能力】
通过教学评价考查学生对线性相关系数的理解和应用,提升简单问题解决能力.
教学反思
本节课的第1课时,概念较新,内容较为简单,在教学中应鼓励学生自己进行交流讨论,归纳总结,允许学生回答不完整,甚至有错误的见解,培养学生数学抽象核心素养第2课时是成对样本相关系数的探究,在教学中注意以下几点:
本节课以“成对样本相关系数”的形成过程为主线,让学生思维由单个变量到成对变量,推理、演绎、计算、归纳,得出定理.培养学生猜想、归纳能力,整节课以学生为主体,师生互动,体现了新课标的教学理念.
本节课通过学生小组合作探究,教师引导点拨,学生归纳总结,让学生对成对样本相关系数的生成、取值范围、应用通过体验得以认知.培养了学生观察归纳和分析问题的能力,培养了数形结合的数学思想,培养了学生的进取意识和科学精神.在习题的搭配上,力求让学生处理每一个问题都必须有所思考,使学生体会到:数学不能生搬硬套,应该用数学的思想方法去学习数学、认识数学、应用数学.
由于探究层次分明,问题梯度设计合理、有效,本节的教学条理清晰,学生活动充分,体现出——教师是教学的设计者,学生是课堂的主人.同时观察与归纳的有机结合,使得本节课的教学张弛有度,有助于学生学习策略的提升.
【以学定教】
理解变量的相互关系、散点图、成对样本线性相关系数的公式以及其范围和应用,掌握判断成对样本相关关系的两种方法,能够通过数学知识在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
整堂课都是采用老师指导,学生小组合作交流的形式.教师都较好地创设了良好的课堂学习氛围,给学生自主探究学习提供了平台.因此,本节课以学论教显得尤为重要.
《成对数据的统计相关性》教学设计
课时1 变量的相关关系
必备知识
学科能力
学科素养
高考考向
变量的相关关系
学习理解能力
观察记忆
概括理解
说明论证
应用实践能力
分析计算
推测解释
简单问题解决
创造迁移能力
综合问题解决
猜想探究
发现创新
逻辑推理
数学抽象
【考查内容】
研究成对数据具有什么样的相关性,结合实例,解决成对数据统计相关性的简单实际问题.
【考查题型】
选择题、填空题、解答题
样本相关系数
数学建模
样本相关系数的取值范围
数学运算
散点图与相关系数的关系
逻辑推理
数学抽象
直观想象
一、本节内容分析
在必修课程中,我们学习了单个变量的观察数据的直观表示和统计特征的刻画等知识与方法,但现实中,我们还经常需要了解两个或两个以上的变量之间的关系,认识现实生活中除了存在确定的关系外仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图体会这种相关关系.本节内容主要引入两个随机变量间的相关性、散点图的知识,为下面建立数学模型,分析两个随机变量的相关关系做铺垫.
相关系数r最早是由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标,是研究变量之间线性相关程度的量,是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标.本教材着重研究线性的相关系数.
样本相关系数的正负性可以从整体上反映成对样本数据变化方向的异同；当越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强,当接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.需要指出的是相关关系有很多种类型,有线性相关,也有非线性相关,其中非线性相关,还可以分很多不同的种类,例如指数相关、对数相关等,而事实上样本相关系数只能反映成对样本数据相关的正负性和线性相关的强弱.因此,有时为了强调样本相关系数,这个特点也称之为样本线性相关系数,对此教材以边注形式给予说明,并强调当等于零时,只表明成对样本数据间没有线性相关关系,但不排除它们之间有其他相关关系.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识
1.变量的相关关系
2.样本相关系数
3.样本相关系数的取值范围
4.散点图与相关系数的关系
逻辑推理
数学运算
数学建模
直观想象
数学抽象
核心素养
二、学情整体分析
在必修课程中,我们学习了单个变量的观察数据的直观表示和统计特征的刻画等知识与方法,在此基础上研究两个随机变量之间是否具有相关性,有什么样的相关性,学生容易接受.
鉴于本节第1课时难度比较小,建议学生大胆交流总结,形成概念.
在学习第2课时时,学生通过前面的学习已经掌握了统计的基础知识,能够画出所给数据的散点图,并根据散点图能初步分析成对数据的分布规律,已经初步具有对样本数据进行初步分析的能力,且掌握了一定的计算机基础(主要是电子表格的使用),这些为相关系数的学习奠定了基础.高二学生学习习惯较好,基本能独立完成练习,但是对一些概念的理解不是太透彻,所以教师上课时要重点讲概念及相关系数的应用.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.变量的相关关系
2.样本相关系数
【教学目标设计】
1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.
2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中除了存在确定的关系外仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图体会这种相关关系.
3.在利用散点图判断线性相关关系的基础上,让学生自主探究,体会数形结合、类比、及优化的数学思想方法,了解成对样本相关系数的产生和推导过程.
4.利用电子表格求出成对样本相关系数r,并对实际问题进行分析和预测,让学生通过观察、分析、比较对实际问题进行归纳.
5.通过实例加强对成对样本相关系数r含义的理解,使学生理解变量间的相关关系,增强应用相关关系对实际问题进行分析和预测的意识.
【教学策略设计】
第1课时,通过列举现实问题中两个有关联变量的数据,并归纳它们的特征,培养学生直观想象,数学抽象的核心素养.
对于第2课时,本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示,为了让学生通过观察、归纳得到成对样本相关系数,应该为学生创造积极探究的平台.因此,在教学设计中,采取问题引导方式来组织课堂教学,问题的设置给学生留有充分的思考空间,让学生围绕问题主线,通过自主探究来突出教学重点,突破教学难点.
在教学过程中,重视成对样本相关系数的发现与证明,让学生体验成对样本相关系数的提出、产生过程,同时,成对样本相关系数应用其实就是数学模型的建立与应用的典范,因此,本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.
【教学方法建议】
合作教学法、问题教学法,还有________________________________________________.
【教学重点难点】
重点
1.通过收集现实问题两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量间的相关关系.
2.掌握相关系数的计算公式、取值范围、意义,判断两个随机变量是否线性相关.
难点
1.变量之间相关关系的理解；通过散点图理解两个变量间的相关性.
2.体会相关系数的意义,对两个随机变量是否线性相关进行判断.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、计算器、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________.
四、教学活动设计
教学导入
师:我们知道,如果变量y是变量x的函数,那么x可以唯一确定y.比如,给定一个变量x,就可以唯一确定y.
然而现实世界中还存在这样的情况：我们知道一个人的体重与他的身高有关系,一般而言,个子高的人往往体重值较大,个子矮的人往往体重值较小.但身高是决定体重的唯一因索吗？
生:不是.例如生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素.
【设计意图】
在引入相关关系概念的过程中,对比了函数关系.通过比较,有利于学生理解相关关系的特点,也为后续引入新方法刻画变量相关关系做铺垫.
教学精讲
师:那一个人的身高和体重这两个变量有什么特点？
生:有关系,但一个不能唯一确定另一个.
师:回答正确.那什么是相关关系？
【要点知识】
相关关系
像这样,两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.
师:你能列举一些两个变量具有相关关系的事例吗?
【学生回答,并解释变量之间具有相关关系的原因.教师再补充事例】
师: (1)空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系.一般来说,汽车保有量增加,空气污染指数会上升.但汽车保有量并不是造成空气污染的唯一因素,气象条件、工业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧都是影响空气污染指数的因素.
粮食亩产量y与施肥量x之间的关系,在一定范围内,施肥量越大,粮食亩产量就越高,但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因素,粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量,田间管理水平等因素的影响.
师:上述各例中两个变量之间的相关关系能用函数刻画吗?
生:不能.
师:对上述变量间关系,我们往往会根据以往积累的经验做出推断,但不同经验的人对同一情形可能会得到不同结论,所以我们要借助数据说话.
【设活动 深探究】
以人的体重和身高的关系作为实例,一方面这是比较典型的相关关系,另一方面有利于学生利用他们的生活经验分析和认识两者的关系.通过列举丰富的案例,让学生感受到相关关系在现实中大量存在,体现研究变量之间相关关系的必要性.
【情境设置】
利用数据推断人体的脂肪含量与年龄之间的关系
在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据,如下表所示.表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果,它们构成了成对数据.
编号
1
2
3
4
5
6
7
年龄/岁
23
27
39
41
45
49
50
脂肪含量/%
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
编号
8
9
10
11
12
13
14
年龄/岁
53
54
56
57
58
60
61
脂肪含量/%
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
根据以上数据,你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗?
生:随着年龄的增加,人体中脂肪的含量也在增加.
师:这个表格体现的数据的变化不是很直观,你有其他的方法吗?
【学生提出画图.老师展示作图】
师:由下图你怎样得到两个变量之间的关系?
生:通过观察图象的变化趋势得到.
师:我们把年龄放在x轴,脂肪含量放在y轴,描出表格中的数据对应的点,这样作成的图叫做散点图.
【以学论教】
信息技术既是现代统计的组成部分,也是统计学习的有效辅助手段,通过信息技术,提升课堂学习效果.
【少教精教】
既显示通过数据研究相关关系的必要性,又为后续收集成对样本数据,用成对样本数据呈现的统计相关性去估计变量之间的相关性做铺垫.这个分析过程既突出了统计通过数据研究问题的学科特点,又渗透了理性思维和科学精神.
【要点知识】
散点图及正相关、负相关的概念
1.成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成了统计图,我们把这样的统计图叫做散点图.
2.如果从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减少的趋势,我们就称这两个变量负相关.
师:通过散点图,我们除了看到变量值的增减趋势,还能发现变量值有什么特点?
生:散点落在某条直线附近.
师：下面我们引入新的概念.
线性相关的概念
一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.
师:观察这三幅散点图,图中两个变量有相关性吗?如果有,是线性相关吗?
生:图中的变量具有相关性,但不是线性相关,图中的变量具有相关性,但既不正相关也不负相关,也不是线性相关图散点杂乱无章,无规律,不具有相关性.
师:你能举出生活中两个变量正相关或负相关的一些例子吗?
【学生回答后,老师补充我国人均拥有的汽车数量和人均寿命的例子】
师:注意相关关系不同于因果关系.如分析我国人均拥有的汽车数量与人均寿命数据,可以发现它们存在相关关系,而且高度正相关.但显然不是因为人们拥有的汽车数量多导致他们长寿,也不是因为人们长寿导致他们拥有的汽车数量多.可见,相关关系不一定意味着因果关系.两个变量之间的相关性往往受其他潜在变量的影响.例如,人均拥有汽车数量多与人们生活水平高有关,生活水平高还与健身意识强、医疗条件改善等有关,这些又与长寿有关.这些潜在变量可能都有相同的变化趋势,但却不一定有相互因果关系,可见,统计只是从数量关系来分析问题,其结论不可混同于因果关系.
师:相关关系与函数关系有什么区别?
生:函数关系是两个变量之间有完全确定的关系,当自变量给定,函数值确定：而相关关系是两个变量之间并没有严格的确定关系.
师:为了更好地理解相关关系和散点图,我们看两道例题.
【推测解释能力】在大数据时代,人们更多地关心变量之间的相关关系,而不是因果关系.因此,相关关系及后续的样本相关系数这个指标变得越来越重要,这是高中数学课程中设计这部分内容的重要原因.通过学习提升推测解释能力.
【简单问题解决能力】综合利用本节课所学知识,分析具体情境特征,并正确选用相应原理进行计算,解决实际问题,加深对线性相关和非线性相关的把握,提高学生简单问题解决能力.
【典型例题】
相关关系的判断
例1 5位学生的数学成绩和物理成绩如下表.
学科
A
B
C
D
E
数学
80分
75分
70分
65分
60分
物理
70分
66分
68分
64分
62分
则数学成绩与物理成绩之间( )
A.是函数关系
B.是相关关系,但相关性很弱
C.具有较好的相关关系,且是正相关
D.具有较好的相关关系,且是负相关
(2)(多选题)某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示,则下列说法正确的是( )
A.沸点与海拔高度呈正相关
B.沸点与气压呈正相关
C.沸点与海拔高度呈负相关
D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
【自主学习】
通过典型问题情境,以所学内容为抓手,引发学生自主探究的兴趣,以学生为主体,自主运用相关关系和散点图的知识,提升了学生的数学运算和数学抽象能力.
【学生思考讨论、相互交流,教师稍后出示答案】
【推测解释能力】
学生通过理解散点图与相关关系的关系,解决问题,提升推测解释能力.
【典型解析】
相关关系的判断
解:数学成绩x和物理成绩y的散点图如图所示.
从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系,且成正相关.
答案:C
结合绘制的散点图可得：海拔高度与气压呈负相关,气压与沸点成正相关,所以沸点与海拔高度呈负相关且它们的相关性都很强.A错误,BCD正确.
答案:BCD
师:我们刚刚讨论的都是线性相关性,还有一个和它对应的概念——非线性相关.
【要点知识】
非线性相关
一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
师:这节课我们就上到这里,请同学们回忆一下这节课所学内容.
生:本节学习了变量之间的相关关系、散点图和两个变量的线性相关的部分内容,通过归纳具体实例抽象出一般性的结论,理解了相关关系和函数关系的区别、相关关系和因果关系的区别.
师:同学们回答正确,请看本节课堂小结.
【设计意图】
课时小结,先让学生自主总结回顾,教师再归纳本节重点内容,小结本课时学习内容,让学生对变量的相关关系及其与函数关系的区别等内容进行整体学习,培养学生对所学内容的整体认识.
【归纳总结】
变量的相关关系
1.相关关系
2.散点图
3.正相关、负相关
4.线性相关与非线性相关
教学评价
本节课学习了变量之间的相关关系、散点图和相关系数的内容.通过身边的具体实例说明了两个变量的相关关系,并学会了利用散点图及其分布来说明两个变量的相关关系,通过相关系数判断多组成对数据的相关性,另外,本节课选取与实际生活息息相关的案例,体现了数学与生活的密切联系,提高学生的学习兴趣.
应用所学知识,完成下题:
某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量X(小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图.
依据数据的折线图,基地的西红柿增加量y与使用基种液体肥料x之间是否具有较强相关关系.
解析:由已知数据可得,
因为,
,
,
所以相关系数,
因为,所以与之间具有较强的相关关系.
【设计意图】
结合实例了解变量间的相关关系,根据散点图分析变量间的相关关系.在线性相关系数r的学习过程中,必须体现学生的主体地位,让学生参与到线性相关系数r的生成过程中,进行数学运算、逻辑推理,推导出运算公式及其范围,在实际问题的解决过程中,让学生进行数学建模,解决简单问题,提高学生的分析计算、推测解释、说明论证等学科能力.
【简单问题解决能力】
通过教学评价考查学生对线性相关系数的理解和应用,提升简单问题解决能力.
教学反思
本节课的第1课时,概念较新,内容较为简单,在教学中应鼓励学生自己进行交流讨论,归纳总结,允许学生回答不完整,甚至有错误的见解,培养学生数学抽象核心素养第2课时是成对样本相关系数的探究,在教学中注意以下几点:
本节课以“成对样本相关系数”的形成过程为主线,让学生思维由单个变量到成对变量,推理、演绎、计算、归纳,得出定理.培养学生猜想、归纳能力,整节课以学生为主体,师生互动,体现了新课标的教学理念.
本节课通过学生小组合作探究,教师引导点拨,学生归纳总结,让学生对成对样本相关系数的生成、取值范围、应用通过体验得以认知.培养了学生观察归纳和分析问题的能力,培养了数形结合的数学思想,培养了学生的进取意识和科学精神.在习题的搭配上,力求让学生处理每一个问题都必须有所思考,使学生体会到:数学不能生搬硬套,应该用数学的思想方法去学习数学、认识数学、应用数学.
由于探究层次分明,问题梯度设计合理、有效,本节的教学条理清晰,学生活动充分,体现出——教师是教学的设计者,学生是课堂的主人.同时观察与归纳的有机结合,使得本节课的教学张弛有度,有助于学生学习策略的提升.
【以学定教】
理解变量的相互关系、散点图、成对样本线性相关系数的公式以及其范围和应用,掌握判断成对样本相关关系的两种方法,能够通过数学知识在不同的具体情境中合理应用,使用不同的数学策略解决问题.
【以学论教】
整堂课都是采用老师指导,学生小组合作交流的形式.教师都较好地创设了良好的课堂学习氛围,给学生自主探究学习提供了平台.因此,本节课以学论教显得尤为重要.
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