数学必修 第二册9.1 随机抽样教案

  第九章 统计

9.1 随机抽样

9.1.2 分层随机抽样

教学设计

一、教学目标

1.   通过实例了解分层随机抽样的特点和适用范围；
2.   了解分层随机抽样的必要性；
3.   掌握各层样本量化比例分配的方法.

二、教学重难点

1.   教学重点

分层随机抽样的方法及计算.

2.   教学难点

实际问题中抽样方法的选择与操作.

三、教学过程

（一）        新课导入

在对树人中学高一年级学生身高的调查中，我们使用简单随机抽样，使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本.可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形.这种“极端”样本的平均数会大幅度地偏离总体平均数，从而使得估计出现较大的误差.

问题1 能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？

（二）探索新知

问题2 在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名、女生有386名.能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？

影响身高的因素有很多，性别是其中的一个主要因素.我们可以利用性别和身高的这种关系，把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本.由于在男生和女生两个群体中都抽取了相应的个体，这样就能有效地避免“极端”样本.

问题3 对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本量在男生、女生中应如何分配？

为了使样本的结构与总体的分布相近，人数多的群体应多抽一些，人数少的群体应少抽一些.因此，按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配是一种比较合理的方式，即

这样无论是男生还是女生，每个学生抽到的概率都相等.当总样本量为50时，可以计算出从男生、女生中分别应抽取的人数为

按上述方法抽取一个容量为50的样本，其观测数据（单位：cm）如下：

男生和女生身高的样本平均数分别为170.6，160.6.根据男生、女生身高的样本平均数以及他们各自的人数，可以估计总体平均数为

即估计树人中学高一年级学生的平均身高在165.2cm左右.

上面我们按性别变量，把高一学生划分为男生、女生两个身高差异较小的子总体分别进行抽样，进而得到总体的估计.

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.

在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n. 我们用表示第1层各个个体的变量值，用表示第1层样本的各个个体的变量值；用表示第2层各个个体的变量值，用表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为

第2层的总体平均数和样本平均数分别为

总体平均数和样本平均数分别为

由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用

估计总体平均数.

在比例分配的分层随机抽样中，

可得

因此，在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数

问题4 与考察筒单随机抽样估计效果类似，小明也想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果.他用比例分配的分层随机抽样方法，从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本，计算出样本平均数如表所示. 与上一小节“探究”中相同样本量的简单随机抽样的结果比较，有什么发现？

把分层随机抽样的平均数与上一小节样本量为50的简单随机抽样的平均数用图形进行表示（如图），其中红线表示整个年级学生身高的平均数.

从试验结果看，分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动，与简单随机抽样的结果比较，分层随机抽样并没有明显优于简单随机抽样.但相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀，简单随机抽样中出现了一个（第2个）偏离总体平均数的幅度比较大的样本平均数，即出现了比较“极端”的样本，而分层随机抽样没有出现.

实际上，在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异不大，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，也好于很多其他抽样方法.分层随机抽样的组织实施也比简单随机抽样方便，而且除了能得到总体的估计外，还能得到每层的估计.

在实际抽样调查中，由于实际问题的复杂性，除了要考虑获得的样本的代表性，还要考虑调查实施中人力、物力、时间等因素，因此通常会把多种抽样方法组合起来使用.

（二）        课堂练习

1.  下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本

C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

答案：B

解析：A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．故选B.

2.  某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)

A．100            B．150            C．200             D．250

答案：A　

解析：由题意得，＝，解得n＝100.故选A.

3.  某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为(　　)

A．60 B．80

C．120 D．180

答案：C　

解析：11～12岁回收180份，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，抽样比为，因为分层抽取样本的容量为300，故回收问卷总数为＝900份，故x＝900－120－180－240＝360份，360×＝120份．故选C.

（四）        小结作业

小结：

1. 分层随机抽样的概念；
2. 分层随机抽样的方法及计算.

作业：

四、板书设计

9.1.2 分层随机抽样

1. 分层随机抽样；

层；

比例分配；

2. 总体平均数；

样本平均数；