数学第九章 统计9.1 随机抽样学案

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假设某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人．此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查．
问题：你认为应当怎样抽取样本？
知识点1 分层随机抽样的相关概念
1．分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
2．比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
1．(1)哪种情况下适合选用分层随机抽样？
(2)简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？
[提示] (1)在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异不大，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样．
(2)区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首先将总体分成几层，在各层中按比例分配抽取样本．
联系：①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；
②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小．( )
(2)分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的．( )
(3)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．抽签法
C．随机数表法 D．分层随机抽样
D [从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样．]
3．某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是( )
A．高一学生被抽到的可能性最大
B．高二学生被抽到的可能性最大
C．高三学生被抽到的可能性最大
D．每位学生被抽到的可能性相等
D [按照分层随机抽样，每个个体被抽到的概率是相等的，都等于eq \f(50,400＋380＋220)＝eq \f(1,20)．]
4．某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生．
40 [C专业的学生有1 200－380－420＝400(名)，由分层随机抽样原理，应抽取120×eq \f(400,1 200)＝40(名)．]
知识点2 分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数
2．(1)可以用eq \f(M×\x\t(x)＋N×\x\t(y),M＋N)＝eq \f(M,M＋N)eq \x\t(x)＋eq \f(N,M＋N)eq \x\t(y)估计总体平均数eq \x\t(W)吗？
(2)在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数eq \x\t(w)估计总体平均数eq \x\t(W)吗？
[提示] (1)可以，因为用第1层的样本平均数eq \x\t(x)可以估计第1层的总体平均数eq \x\t(X)，用第2层的样本平均数eq \x\t(y)可以估计第2层的总体平均数eq \x\t(Y)．因此可以用eq \f(M×\x\t(x)＋N×\x\t(y),M＋N)＝eq \f(M,M＋N)eq \x\t(x)＋eq \f(N,M＋N)eq \x\t(y)估计总体平均数eq \x\t(W)．
(2)在比例分配的分层随机抽样中，eq \f(m,M)＝eq \f(n,N)＝eq \f(m＋n,M＋N)，可得eq \f(M,M＋N)eq \x\t(x)＋eq \f(N,M＋N)eq \x\t(y)＝eq \f(m,m＋n)eq \x\t(x)＋eq \f(n,m＋n)eq \x\t(y)＝eq \x\t(w)．因此，在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数eq \x\t(w)估计总体平均数eq \x\t(W)．
5．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高为( )
A．1.57 m B．1.56 m C．1.55 m D．1.54 m
B [因为从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m，从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m，
所以这500名13岁男孩的平均身高是eq \f(1.6×300＋1.5×200,500)＝1.56(m)，据此可估计我国13岁男孩的平均身高为1.56 m．]
类型1 对分层随机抽样概念的理解
【例1】 (1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )
A．抽签法 B．随机数法
C．简单随机抽样法 D．分层随机抽样法
(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
(1)D (2)C [(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]
1．使用分层随机抽样的前提
分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小．
2．使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
eq \([跟进训练])
1．下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
B [A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．]
类型2 分层随机抽样的应用
【例2】 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
[解] 抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为eq \f(20,160)＝eq \f(1,8)．
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×eq \f(1,8)＝2(人)；从教师中抽取112×eq \f(1,8)＝14(人)；从后勤人员中抽取32×eq \f(1,8)＝4(人)．
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
分层随机抽样的步骤是什么？
[提示] 分层随机抽样的步骤：
eq \([跟进训练])
2．在一批电视中，有甲厂生产的56台，乙厂生产的42台，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为14的样本．
[解] (1)确定各厂被抽取电视机的台数，
抽样比为eq \f(14,56＋42)＝eq \f(1,7)，
故从甲厂抽取56×eq \f(1,7)＝8(台)，
从乙厂抽取42×eq \f(1,7)＝6(台)．
(2)在各厂用简单随机抽样抽取作为样本的电视机．
(3)合成每层抽样，组成样本．
类型3 分层随机抽样中的计算问题
【例3】 (1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101 B．808 C．1 212 D．2 012
(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．
(3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为____________．
1．在分层随机抽样中，N为总体容量，n为样本容量，如何确定各层的个体数？
[提示] 每层抽取的个体的个数为ni＝Ni×eq \f(n,N)，其中Ni为第i(i＝1,2，…，k)层的个体数，eq \f(n,N)为抽样比．
2．在分层随机抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？
[提示] 设总体容量为N，样本容量为n，第i(i＝1,2，…，k)层的个体数为Ni，各层抽取的样本数为ni，则eq \f(ni,Ni)＝eq \f(n,N)，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个．
(1)B (2)20 (3)6 [(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，
所以四个社区抽取驾驶员的比例为eq \f(12,96)＝eq \f(1,8)，
所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷eq \f(1,8)＝808(人)．
(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，总体中每个个体被抽到的可能性相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×eq \f(2,10)＝20(个)个体．
(3)eq \x\t(w)＝eq \f(20,20＋30)×3＋eq \f(30,20＋30)×8＝6．]
在例3(2)中，A，B，C三层的样本的平均数分别为15,30,20，则样本的平均数为________．
20.5 [由题意可知样本的平均数为
eq \x\t(w)＝eq \f(5,5＋3＋2)×15＋eq \f(3,5＋3＋2)×30＋eq \f(2,5＋3＋2)×20＝20.5．]
进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的2个关系
(1)eq \f(样本容量n,总体的个数N)＝eq \f(该层抽取的个体数,该层的个体数)．
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
(3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：
eq \x\t(w)＝eq \f(m,m＋n)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(M,M＋N)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N)eq \(y,\s\up6(－))．
eq \([跟进训练])
3．生物等级考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E．各等级人数所占比例依次为∶A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加生物等级考试的学生中抽取300人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为( )
A．95 B．144 C．120 D．165
D [设该样本中获得A或B等级的学生人数为x，则eq \f(x,300)＝eq \f(15＋40,100)，∴x＝165．
故选：D．]
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B．简单随机抽样
C．分层随机抽样 D．随机数法
C [根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．]
2．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )
A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人
B [先求抽样比eq \f(n,N)＝eq \f(90,3 600＋5 400＋1 800)＝eq \f(1,120)，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×eq \f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5 400×eq \f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1 800×eq \f(1,120)＝15(人)，故选B．]
3．某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
60 [根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为eq \f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60．]
4．一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，用分层随机抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本． 请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
[解] 第一步：确定抽样比，因为100＋60＋40＝200，所以eq \f(20,200)＝eq \f(1,10)，
第二步：确定各层抽取的样本数，一级品：100×eq \f(1,10)＝10，二级品：60×eq \f(1,10)＝6，
三级品：40×eq \f(1,10)＝4．
第三步：采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本．
第四步：把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)分层抽样的定义是什么？
(2)分层抽样有什么特征？
(3)如何应用分层抽样的比例分配求值？
(4)如何用分层抽样中的样本平均数估计总体平均数？
学 习 任 务
核 心 素 养
1．通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围．(重点)
2．了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．(重点、难点)
3． 结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值．(重点)
1．通过对分层随机抽样的学习，培养数学抽象素养．
2．通过对分层随机抽样的应用，培养数据分析素养．
1层
2层
层个体数
M
N
层样本量
m
n
层个体变量值
X1，X2，…，XM
Y1，Y2，…，YN
层样本的个体变量值
x1，x2，…，xm
y1，y2，…，yn
层总体平均数
层样本平均数
总体平均数
样本平均数