【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题01《绝对值》讲学案

专题01：绝对值

1、绝对值的定义

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．

①绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

②绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．

③一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．

2、绝对值的性质

①0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．

②互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.

③绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．

3、数轴上两点之间的距离

 若A、B是数轴上的两个点，它们表示的数分别为x1、x2，则A、B两点之间的距离为.

4、含绝对值的方程与函数

①含有绝对值的方程要先去掉绝对值的符号，再求未知数的值；

②绝对值函数的定义：，绝对值函数的定义域是一切实数，值域是非负数.

例1、利用绝对值的性质化简

如果a、b、c、d为互不相等的有理数，且，那么等于  （    ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【解答】C

【解析】由已知可得，不妨设，

∵，∴a－c与b－c互为相反数，即a－c＝－（b－c），a＋b＝2c，

又∵，∴，

∵，∴b－c与d－b相等，即b－c＝d－b，2b＝c＋d，

∵，∴，∴，∴，

同理，若设，可得，∴C选项正确.

例2、化简求最值

已知实数x、y、z满足，则代数式的最大值是                  .

【解答】24

【解析】∵当时，，

当时，，

当时，，

故的最小值为4，

同理可得，当时，最小值为3；

当时，最小值为9，则4×3×9＝108，

故x、y取最大值，z取最小值时，代数式的值最大，最大值为.

例3、绝对值方程

解方程：

【解答】

【解析】计算步骤如下：

∴.

例4、绝对值函数

作出函数的图像.

【解答】见解析

【解析】由题意可得，函数图像如图所示：

巩固练习

一．选择题

1． 把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（　　）

A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11

2． 设x为有理数，若|x|＝x，则（　　）

A．x为正数 B．x为负数 C．x为非正数 D．x为非负数

3． 已知x是正实数，则|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|的最小值是（　　）

A．2 B． C． D．0

4． 已知实数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＜0，，则x2019的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．32019 D．﹣32019

5． 能使等式|2x﹣3|+2|x﹣2|＝1成立的x的取值可以是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

6． 已知x，y都是整数，若x，y的积等于8，且x﹣y是负数，则|x+y|的值有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

7．定义：平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法），若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点M，已知点M在第一象限，且2≤|M|≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，则t的取值范围为（　　）

A．2018≤t≤2019 B．2019≤t≤2020 

C．2020≤t≤2021 D．2021≤t≤2022

8．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题

9． 已知，则x＝　   　．

10．若x＝|x﹣|x﹣2017||，则x＝　        　．

11． 若对于某一范围内的x的任意值，|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣10x|的值为定值，则这个定值为　        　．

12．已知|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a﹣2b的值为　    　．

13．若|m﹣n|＝n﹣m，且|m|＝4，|n|＝3，则m+n＝　    　．

14．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x0有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大于负根的绝对值，则m的取值范围是 　   　．

15．已知a，b为实数，且|b|＝0，则a+b的绝对值为　   　．

三．解答题

16．已知a、b、c的大致位置如图所示：化简|a+c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|．

17．计算：已知，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．

18．设a＜0，且，求|x+1|﹣|x﹣2|的值．

19．已知实数a，b，c满足：a+b+c＝﹣2，abc＝﹣4．

（1）求a，b，c中的最小者的最大值；

（2）求|a|+|b|+|c|的最小值．

20．四个数分别是a，b，c，d，满足|a﹣b|+|c﹣d|＝|a﹣d|，（n≥3且为正整数，a＜b＜c＜d）．

（1）若n＝3．

①当d﹣a＝6时，求c﹣b的值；

②对于给定的有理数e（b＜e＜c），满足|b﹣e|＝|a﹣d|，请用含b，c的代数式表示e；

（2）若e＝|b﹣c|，f＝|a﹣d|，且|e﹣f|＞|a﹣d|，试求n的最大值．

21．若x，y为非零有理数，且x＝|y|，y＜0，化简：|y|+|﹣2y|﹣|3y﹣2x|﹣2y．

22．已知：b是最大的负整数，且a，b，c满足|a+b|+（4﹣c）2016＝0，试回答问题：

（1）请直接写出a，b，c的值；

（2）若a，b，c所对应的点分别为A，B，C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即0≤x≤1），请化简式子：|x+1|﹣|1﹣x|+2|x﹣4|．

23．已知a，b，c都不等于零，且的最大值是m，最小值为n，求的值．

24．再看绝对值

（1）当x＝3，|x﹣2|＝　　；当x＝2，|x﹣2|＝　　；当x＝﹣1，|x﹣2|＝　　；

（2）化简：|x﹣2|；

（3）在|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|中．当x＝　　．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值，最小值为　　；

（4）在|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+…+|x﹣xn|中，若x1＜x2＜x3＜…＜xn（其中：x1，x2，x3，…，xn为常数），试回答：当x为何值时，|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+…+|x﹣xn|有最小值，最小值为多少？

25．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，则A，B两点间的距离表示为AB|＝|a﹣b|．

根据以上信息解答下列问题：

（1）若数轴上A，B两点表示的数分别为x，﹣1：

①A，B之间的距离可用含x的式子表示为 　   　；

②若连接两点之间的距离为2，则x值为 　   　．

（2）|x+1|+|x﹣2|的最小值为3，此时x的取值范围是 　   　．

（3）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣3|+|y+2|）＝15，求x﹣2y的最大值和最小值．

26．同学们都知道：|6﹣（﹣3）|表示6与﹣3之差的绝对值，实际上，也可以理解为：6与﹣3两数在数轴上所对应的点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：

（1）7与﹣4在数轴上所表示的点之间的距离为　   　；

x与2在数轴上所表示的点之间的距离为　   　；

（2）若|x﹣2|＝5，则x＝　   　；

（3）同理，|x+3|+|x﹣1|表示有理数x在数轴上的对应点与﹣3和1所对应的点的距离之和．请求出所有符合条件：|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x．