【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-第01讲《数与式》同步讲学案

第01讲：数与式

【考点梳理】

考点一、乘法公式

【公式1】平方差公式：

【公式2】完全平方公式：

【公式3】完全立方公式：

【公式4】（完全平方公式）

【公式5】(立方和公式)

【公式6】(立方差公式)

考点二、指数式

当时，.

当时，⑴零指数，  ⑵负指数.

⑶分数指数 为正整数).

幂运算法则：.

⑷

考点三、根式

式子叫做二次根式，其性质如下：

(1)  (2)

(3)  (4)

如果有，那么叫做的次方根，其中为大于的整数．

当n为奇数时，，当n为偶数时，.

四、分式

当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：

(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．

【专题突破】

一、单选题

1．已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（       ）

A． B． C． D．

2．实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A．表示的数可以是 B．

C． D．

3．下列说法正确的是（       ）

①若，则

②，则；

③若，则；

④实数x，y，z满足，则的最大值是20

A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④

4．若，则的值是（       ）

A． B． C． D．

5．已知，，则代数式的值为（       ）

A． B． C． D．

6．已知、为不同的两个实数，且满足，，当为整数时，的值为（       ）

A．或 B．或 C．或 D．或

7．如果，，那么代数式的值是（       ）

A． B． C． D．

8．若，则等于（ ）

A．4 B．2 C．－2 D．1

9．下列运算正确的是（       ）

A． B．

C． D．

10．乘积等于（       ）

A． B．

C． D．

11．若是的三条边，且，则这个三角形是（       ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

12．小明同学做了下面四道计算题：①；②；③；④，其中正确的是（       ）

A．① B．② C．③ D．④

13．已知a＝+2，b＝2﹣，则a2020b2019的值为（　　）

A．﹣﹣2 B．﹣+2 C．1 D．﹣1

14．已知m，n是方程x2＋5x＋3＝0的两根，则m＋n的值为（       ）

A．－2 B．2 C．±2 D．以上都不对

15．已知均为正整数，且满足，则（       ）

A．13 B．14 C．15 D．16

二、填空题

16．设，且，求=_________.

17．_____________.

18．已知，，则的值为____________.

19．若为非零实数，且，则____________.

20．已知是方程的两个实数根，且，则____．

21．已知，求=_______.

22．计算___________

23．已知，，则的值为__________．

三、解答题

24．已知一元二次方程的两个实数根为.

求值：（1）；   

（2）.

25．阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：＝＝＝

方法二：＝＝＝＝

（1）请用两种不同的方法化简：；

（2）化简：.

26．回答下列问题.

（1）正数，满足，求的值.

（2）若，求的值.

27．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝，求a4+b4+c4的值．

28．若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根．

（1）求| x1-x2|的值；   （2）求的值；   （3）．

29．计算或化简下列各式

(1);

(2).

30．（1）化简：；

（2）先化简再求值：，其中．

参考答案：

1．A

【详解】

由数轴可知 ， ，

， ， ，

.

故选：A

2．C

【详解】

A选项，由于，所以A选项错误.

B选项，由于，所以，所以B选项错误.

C选项，由于，所以，所以，所以C选项正确.

D选项，，所以，所以D选项错误.

故选：C

3．A

【解析】

【分析】

先利用配方法将等式变形为，再根据偶次方的非负性即可判断①；利用整式的乘法法则求出，由此即可判断②；先将两个已知等式相加可得，令，则，解一元二次方程求出的值，由此即可判断③；先求出，从而可得，再利用完全平方公式求出的值，然后利用偶次方的非负性求出最大值即可判断④．

【详解】

解：，

，

，

，

，说法①正确；

，

，

，说法②正确；

，

，

令，则，

解得或，

即或，说法③错误；

，

，

，

，

则的最大值是28，说法④错误；

综上，说法正确的是①②，

故选：A．

4．D

【解析】

【分析】

先根据已知条件求得，从而求得.

【详解】

依题意可知，

所以.

故选：D

5．B

【解析】

【分析】

由已知可得：，，把变形并代入计算即可求解.

【详解】

由已知可得：，

故选：B

6．A

【解析】

【分析】

由已知可得，可得出，求出的可能取值，即可得出结果.

【详解】

因为，可得，

因为，且，则，

因为为整数，则也为整数，且或，故或.

故选：A.

7．A

【解析】

【分析】

转化所求的代数式，结合已知条件求得正确答案.

【详解】

.

故选：A

8．B

【解析】

【分析】

由得出，再求即可.

【详解】

因为，所以

即

故选：B

9．D

【解析】

【分析】

根据乘法的分配律即可判断A；

根据完全平方公式即可判断B；

根据指数幂的乘方即可判断C；

根据分数的减法运算即可判断D.

【详解】

解：对于A，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：D.

10．C

【解析】

【分析】

利用平方差公式将式子展开，进而对式子化简.

【详解】

原式=

故选：C.

11．D

【解析】

【分析】

先将等式进行因式分解为，再对两个因式进行讨论即可．

【详解】

解：，

，

，

，

或，

或，

，，为的三条边，

为等腰三角形或直角三角形．

故选：D

12．C

【解析】

【分析】

由整数指数幂的运算可判断①④ ；由完全平方公式可判断② ；由平方差公式可判断③

【详解】

由题意，①由整数指数幂的运算，，故①错误；

②由完全平方公式，，故②错误；

③由平方差公式，，故③正确；

④由整数指数幂的运算，，故④错误

故选：C

13．A

【解析】

【分析】

由积的乘方与同底数幂的乘法，可得a2020b2019＝（ab）2019•a，然后由平方差公式求解即可求得答案.

【详解】

解：∵，

∴a2020b2019＝（ab）2019•a＝[（+2）（2﹣）]2019•（+2）＝﹣（+2）＝﹣﹣2.

故选：A.

【点睛】

此题考查了二次根式的乘法以及积的乘方与同底数幂的乘法.注意掌握积的乘方与同底数幂的乘法公式的逆用.

14．A

【解析】

【分析】

根据韦达定理得到，，且，，利用，代入原式可得结果.

【详解】

因为m，n是方程x2＋5x＋3＝0的两根，

所以，，所以，，

所以m＋n.

故选：A.

【点睛】

本题考查了韦达定理，属于基础题.

15．D

【解析】

【分析】

根据表达式进行转化．

【详解】

，

∴，∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查小数与分数的转化，掌握分数的变形是解题基础．

16．

【解析】

【分析】

可对左右同时平方，结合平方关系即可求解

【详解】

对左右同时平方得

同时由可判断，则，

故答案为

【点睛】

本题考查利用整体法求解表达式数值，和的平方与差的平方的关系，可简单记为：

17．

【解析】

【分析】

根据根式的化简和分母有理化即可得出答案.

【详解】

解：

化简得：，

整理得：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二次根式的乘除法和利用分母有理化化简根式.

18．24

【解析】

【分析】

由题得即得解.

【详解】

由题得.

故答案为24

19．或

【解析】

【分析】

由于与不能同时为0，不妨设，由解得或，再代入即可得出结果.

【详解】

由有意义，可知与不能同时为0．

不妨设，由，化为，解得或，

把代入，可得，

把代入，可得，

故答案为：或.

【点睛】

本题主要考查了方程的解法和求代数式的值，属于基础题

20．

【解析】

【分析】

根据题意得到，根据，结合不等式的性质，即可求解.

【详解】

因为是方程的两个实数根，所以，

由，

又因为，所以，所以．

故答案为：.

21．１

【解析】

将式子三个一分组，每组都有因式x2+x+1，求得答案.

【详解】

由，则

.

故答案为：１.

【点睛】

本题考查了多项式化简求值，整体代入法，属于基础题.

22．

【解析】

【分析】

把分母有理化，可得，然后合并同类项可求.

【详解】

当为正整数时，，

所以

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查分母有理化，平方差公式是去掉分母中根号的利器，侧重考查数学运算的核心素养.

23．.

【解析】

【分析】

根据完全平方公式，展开，代入已知即可求解.

【详解】

根据完全平方公式可得：

，

所以，

解得：.

【点睛】

本题主要考查了三个数的和的完全平方公式，属于中档题.

24．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

利用韦达定理可得，再对所求式子进行变行，即；；两根和与积代入式子，即可得到答案；

【详解】

解：因为一元二次方程的两个实数根为，所以由根与系数关系可知.

（1）；

（2）.

25．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用分母有理化和平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可.

【详解】

（1）方法一：原式＝＝；

方法二：原式＝＝；

（2）原式＝

.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，属于基础题.

26．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由题意解得，的关系，代入所求式子即可得结果.

（2）利用偶次根式性质先化简所求的根式，再将代入计算.

【详解】

（1）由可得，

即，则或，

由，为正数，可得，则.

（2）

.

27．0.005．

【解析】

【分析】

先对a+b+c＝0两边平方，从而得出2ab+2ac+2bc＝﹣0.1，再对2ab+2ac+2bc＝﹣0.1，两边平方，从而得出a2b2+a2c2+b2c2＝0.0025和(a2+b2+c2)2＝0.01，即可得出a4+b4+c4．

【详解】

解：∵a+b+c＝0，

∴(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0，

∵a2+b2+c2＝＝0.1，

∴2ab+2ac+2bc＝﹣0.1，

∵(2ab+2ac+2bc)2＝4(a2b2+a2c2+b2c2+2a2bc+2ab2c+2abc2)＝0.01，

∵2a2bc+2ab2c+2abc2＝2abc(a+b+c)＝0，

∴a2b2+a2c2+b2c2＝0.0025①,

(a2+b2+c2)2＝a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)＝0.01②

由①②得出，a4+b4+c4＝0.005．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的应用，是中档题，有一定的难度，要准确把握公式的反复使用．

28．（1）；（2）；（3）-．

【解析】

【分析】

(1)利用韦达定理求出，将| x1-x2|平方并用表示出即可得解；

(2)利用韦达定理求出，将通分并用表示出即可得解；

(3) 利用韦达定理求出，将分解因式并用表示出即可得解.

【详解】

x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根， 由韦达定理得，，

(1)，

则；

(2)；

(3).

29．(1);(2).

【解析】

【分析】

（1）根据指数幂的运算性质可得；

（2）利用立方差与立方和以及平方差公式因式分解可得.

【详解】

(1)原式

.

(2)原式.

【点睛】

本题考查了指数幂的运算性质，考查了立方，立方差与平方差公式，属于基础题.

30．（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）将和写成完全平方形式，开方可得结果.

（2）利用完全平方式和平方差公式先化简式子，然后将代入即可得到答案.

【详解】

（1），

，

（2）将已知式子化简得

，

其中，故