【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题02《乘法公式》讲学案

专题02：乘法公式

主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式

公式一、平方差公式

公式二、完全平方公式

在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下：

公式三、立方和公式

公式四、立方差公式

公式五、三数和平方公式

公式六、两数和立方公式

公式七、两数差立方公式

例1、计算

例2、计算

例3、已知a、b是方程的两个根，求：

（1）；（2）；（3）；（4）

【解答】（1）77；（2）；（3）112；（4）24

【解析】∵a、b是方程的两个根，∴a+b=7，ab＝11.

（1）；

（2）；

（3）；

巩固练习

一. 选择题

1． 下列式子计算正确的是（　　）

A．m3•m2＝m6 B．（﹣m）﹣2＝ 

C．m2+m2＝2m2 D．（m+n）2＝m2+n2

2． 如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（　　）

A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2 

C．（m﹣n）2＝m2+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）

3． 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 

C．b（a﹣b）＝ab﹣b2 D．ab﹣b2＝b（a﹣b）

4． 如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）

A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a

5． 已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（　　）

A．12 B．20 C．28 D．36

6．定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是（　　）

A．4 B．﹣1或4 C．0或4 D．1或4

二．填空题

7．已知（a+b）2＝7，a2+b2＝5，则ab的值为　        　．

8．我们规定一种运算：，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2，．按照这种运算规定，当x＝　      　时，＝0．

9．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为Sn，则S2020﹣S2019的值为         　．

10．如果，那么a+2b﹣3c＝　     　．

11．如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图②所示的梯形．观察图①、图②中阴影部分的面积，请写出上述剪拼过程所揭示的乘法公式 　   　．

12．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：

（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；

（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；

…

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）4展开式共有　      　项，系数分别为　            　；

（2）（a+b）n展开式共有　     　项，系数和为　          　．

三．解答题

13．已知x+y＝﹣6，xy＝5，求下列代数式的值：

（1）x+y（1﹣x）；

（2）x2+y2．

14．已知A＝2x+3，B＝x﹣2．化简A2﹣AB﹣2B2，并求当x＝时该代数式的值．

15．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2]÷y，其中x＝﹣1，y＝﹣2．

16. 已知，求的值.

17. （1）若，，求的值；

（2）若，求的值.

18. 已知三角形的三条边分别是a、b、c，且满足等式，试确定三角形的形状.

19．乘法公式的探究及应用：

（1）如图1所示，阴影部分的面积是　   　（写成平方差的形式）

（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是　   　（写成多项式相乘的形式）．

（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：　   　．

（4）应用所得的公式计算：2（1）（1）（1）（1）．

20．用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．

（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立；

（2）利用（1）中的结论计算：已知a+b＝2，ab，求a2b﹣ab2；

（3）根据（1）中的结论：若x2﹣3x+1＝0，分别求出x和x4的值．

21．【阅读材料】

我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．

在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．

【理解应用】

（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；

【拓展升华】

（2）利用（1）中的等式解决下列问题．

①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；

②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝2020，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．

22．如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．

（1）图2中的阴影部分面积为：　                  　（用a、b的代数式表示）；

（2）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　         　；

（3）利用（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求（x﹣y）2的值　           　；

（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式　　；

（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为Sn，则S2020﹣S2019的值为　              　．