【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题16《集合的含义及表示》讲学案

集合的含义及表示

一、集合

1. 集合的概念：一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集.

（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它；

（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象.

2. 集合中元素的3个特征：

(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.

(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.

3. 元素与集合间的关系

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA；

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作.

4. 集合的分类

(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作；

(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集；

(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.

5. 常用数集及其表示

非负整数集(或自然数集)，记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R.

二、集合的表示方法

1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.

2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….

3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{    }内.

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

例1：集合的概念及元素的性质

集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？

【解答】是

【解析】由分母有理化得，.由题中集合可知均有，

，即.

例2：元素与集合的关系

下列六个关系中，正确的关系是                             .

（1）0     （2）0{－1，1}       （3）{0}

【解析】（2）

【解析】（1）0不是正整数，故错误；

（2）0不是集合{－1，1}中的元素，故正确；

（3）空集是一个集合，使用的符号错误，故错误；

例3：集合中元素的性质

，则M=(      )

A. {2，3}   B. {1，2，3，4}  C. {1，2，3，6}   D. {-1，2，3，4}

【解答】D

【解析】集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以；

由，所以-1≤a≤4；

当a=-1时，符合题意；

当a=0时，不符合题意；

当a=1时，不符合题意；

当a=2时，符合题意；

当a=3时，符合题意；

当a=4时，符合题意.

故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D正确.

例4：集合的表示方法

分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程的所有实数根组成的集合；

(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.

【解答】；．

【解析】(1)设方程的实数根为x，并且满足条件

因此，用描述法表示为；

方程有两个实数根；

因此，用列举法表示为.

(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15<x<25，

因此，用描述法表示为；

大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，

因此，用列举法表示为.

巩固练习

一．选择题（共4小题）

1．下列关系中正确的个数是（　　）

①；②；③0∈N*；④π∈Z．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．若1∈{x，x2}，则x＝（　　）

A．1 B．﹣1 C．0或1 D．0或1或﹣1

3．已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x+1∈A}，则B＝（　　）

A．{﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0} 

C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}

4．已知集合A＝{a+1，a2+4a﹣9，2021}，若﹣4∈A，则实数a的值为（　　）

A．﹣5 B．1 C．5或﹣1 D．﹣5或1

二．多选题（共4小题）

（多选）5．以下元素的全体能够构成集合的是（　　）

A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流 

C．方程x2﹣1＝0的实数解 D．周长为10cm的三角形

（多选）6．已知集合A＝{y|y＝x2+1}，集合B＝{（x，y）|y＝x2+1}，下列关系正确的是（　　）

A．（1，2）∈B B．A＝B C．0∉A D．（0，0）∉B

（多选）7．已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}至多有一个元素，则实数a的值可以是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

（多选）8．由a2，2﹣a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．6 D．2

三．填空题（共4小题）

9．若a∈{﹣1，3，a3}，则实数a的取值集合为 　   　．

10．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{b|b＝3a，a∈A}＝　   　．（用列举法表示）

11．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 　   　．

12．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合A＝{a+b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则A中元素的个数是 　   　．

四．解答题（共7小题）

13．已知关于x的不等式（ax+1）（x﹣2a）＜0的解集为M．

（1）a＝﹣1时，求集合M；

（2）若1∈M，2∉M，求实数a的取值范围．

14．设关于x的不等式ax﹣3＞2x+a的解集为M．

（1）求M；

（2）若﹣1∈M且0∉M，求实数a的取值范围．

15．（1）已知A＝{a﹣1，2a2+5a+1，a2+1}，﹣2∈A，求实数a的值；

（2）已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x﹣4＝0}，若A中有两个元素，求实数a的取值范围．

16．设集合A满足若a∈A，则∈A．

（1）若2∈A，则A中还有几个元素？求出这几个元素；

（2）A能否为单元素集合？请说明理由；

（3）若a∈A，求证：1∈A．

17．设非空集合A中的元素都是实数，且满足：若m∈A（m≠0，m≠1），则∈A．

（1）若﹣1∈A，求出A中的另外两个元素；

（2）给出命题“A中至少有三个元素”，判断该命题是否正确，并证明你的判断；

（3）若A中的元素个数不超过7个，所有元素之和为，所有元素的积恰好等于A中某个元素的平方，求集合A．

18．已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}．

（1）若A是空集，求a的取值范围；

（2）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；

（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围

19．以某些整数为元素的集合P具有以下两个性质：

（1）P中的元素有正整数，也有负整数；

（2）x，y∈P，则x+y∈P．

（Ⅰ）若x∈P，求证：3x∈P；

（Ⅱ）求证：0∈P；

（Ⅲ）判断集合P是有限集还是无限集？请说明理由．