【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题17《集合间的关系》讲学案

集合间的关系

一、集合间的包含关系

1. 子集

集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；

子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集.记作：，当集合A不包含于集合B时，记作.

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

2. 真子集

若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集.记作： (或).

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3. “相等”集合

，则A与B中的元素是一样的，因此A=B.

任何一个集合是它本身的子集，记作.

二、全集、补集

1. 全集

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

2. 补集

对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：

例1：集合间的“包含”关系

集合，集合，那么间的关系是（  ）.

 A.      B.      C. =        D.以上都不对

【解答】B

【解析】先用列举法表示集合A、B，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合A是非负偶数集，即.

集合B中的元素.

而（n为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即n＝1,3,5,7….

由依次得0,2,6,12，，即.

综上知，，应选B.

例2：全集、补集

已知全集，求CuA.

【解答】 当时，CuA= ；当时，CuA= ；

当时，CuA= .

【解析】当时，方程无实数解.

此时.CuA=U，

当时，二次方程的两个根，必须属于U.

因为，所以只可能有下述情形：

当时，，此时 CuA= ；

当时，，此时， CuA= .

综上所述，当时，CuA= ；

当时，CuA= ；

当时，CuA= .

例3：集合间的关系

设集合.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【解答】（1）或；（1）2．

【解析】首先化简集合A，得.

（1）由，可知集合B为，或为、，或为.

①若时，，解得.

②若,代入得.

当时，符合题意；

当时，也符合题意.

③若，代入得，解得或.

当时，已讨论，符合题意；

当时，，不符合题意.

由①②③，得或.

（2）.又，而B至多只有两个根，因此应有A＝B，由（1）知.

巩固练习

一．选择题（共4小题）

1．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围为（　　）

A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤2

2．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则A的含有2个元素的子集的个数是（　　）

A．3 B．5 C．10 D．20

3．已知集合B＝{2，3，4，5}，C＝{﹣2，﹣1，4，5}，非空集合A满足A⊆B，A⊆C，则符合条件的集合A的个数为（　　）

A．3 B．4 C．7 D．8

4．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，则使A⊆∁UB成立的实数m的取值范围是（　　）

A．∅ B．或m＞6} 

C．或m≥6} D．{m|m＜2或m＞6}

二．多选题（共4小题）

（多选）5．已知集合M＝{x|x2＝4}，N为自然数集，则下列结论正确的是（　　）

A．2∈M B．M＝{﹣2，2} C．∅⊆M D．M⊆N

（多选）6．已知集合A＝{x|x2+2x＝0}，则有（　　）

A．∅⊆A B．2∈A C．{0，2}⊆A D．A⊆{y|y＜3}

（多选）7．以下满足{0，2，4}⊆A⫋{0，1，2，3，4}，则A＝（　　）

A．{0，2，4} B．{0，1，3，4} C．{0，1，2，4} D．{0，1，2，3，4}

（多选）8．已知集合M＝{2，4}，集合M⊆N⫋{1，2，3，4，5}，则集合N可以是（　　）

A．{2，4} B．{2，3，4} C．{1，2，3，4} D．{1，2，3，4，5}

三．填空题（共4小题）

9．集合A＝{1，2}的非空子集是 　   　．

10．设集合A＝{1，2，a}，B＝{2，3}．若B⊆A，则a＝　   　．

11．已知全集U＝R，A＝{x|x＜0}，则∁UA＝　   　．

12．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为 　   　．

四．解答题（共5小题）

13．已知A＝{x|x2+4x＝0}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0}，若B⊆A，求a的取值范围．

14．已知集合A＝{x|x2+2x+m＝0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．

15．已知集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．

（1）若A＝{1}，求a，b的值；

（2）若B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}，且A＝B，求a，b的值．

16．设U＝R，已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．

（Ⅰ）当m＝4时，求∁U（A∪B）；

（Ⅱ）若B≠∅，且B⊆A，求实数m的取值范围．

17．已知集合A＝{1，2，3}．

（1）若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M；

（2）若B＝{x|ax﹣3＝0}，且B⊆A，求实数a的取值集合．