初中数学18.2.1 矩形第2课时教案设计

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【复习回顾】

教师活动：教师引导学生回顾矩形的概念和性质，并通过情境引导学生思考如何判断一个图形是矩形，自然引出本节课要学习的内容.

矩形的概念：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

矩形的性质：

矩形的四个角都是直角.

矩形的对角线相等.

【情境引入】

工人师傅在做门窗时，为了确保所做的门窗是矩形，需要测量一些数据，你能帮忙解决这个问题吗？

提问：如何判断一个图形是矩形呢？

回顾矩形的概念和性质

复习回顾矩形的概念和性质，为本节课要学习的内容作准备.通过熟悉的情境自然引出矩形的判定，激发学生的探索欲和求知欲.

环节二 探究新知

【合作探究】

教师活动：根据矩形的定义给出矩形的判定方法1，并类比研究平行四边形的判定的方法，引导学生研究矩形的性质定理的逆命题.

由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形.由此，可得到矩形的一个判定方法.

矩形的判定1：

有一个角是直角的平行四边形是矩形.

提问：还有其他判定方法吗？

【思考】

我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？

【证明】

已知：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD.

求证：四边形ABCD是矩形.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB=DC， AB//CD.

又∵AC=DB，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB（SSS），

∴∠ABC=∠DCB.

∵ AB//CD，

∴∠ABC+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB=90°.

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形.

【归纳】

矩形的判定2：

对角线相等的平行四边形是矩形.

几何语言：

∵四边形ABCD是平行四边形，

    且AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形.

【思考】

我们知道矩形的四个角都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？

【探究】

至少有几个角是直角的四边形是矩形？

分析：

(1)有一个角是直角的四边形是矩形吗？

(2)有两个角是直角的四边形是矩形吗？

(3)有三个角是直角的四边形是矩形吗？

【证明】

已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.

求证：四边形ABCD是矩形.

证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°， 

∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，

∴ AD//BC， AB//CD，

∴四边形ABCD是平行四边形.

又∵ ∠A=90°

∴四边形ABCD是矩形.

【归纳】

矩形的判定3：

有三个角是直角的四边形是矩形.

    几何语言：

∵四边形ABCD中，  

  ∠A=∠B=∠C=90°，

∴四边形ABCD是矩形.

     【想一想】

现在你知道工人师傅怎样测量才能保证门窗是矩形吗？  

   方法1：

①测量两组对边的长度是否相等；

②测量其中一个内角是否为直角.   

方法2：

①测量两组对边的长度是否相等；

②测量两条对角线是否相等.

方法3：

测量其中三个内角是否为直角.

练习：

判断下列说法是否正确.

(1)对角线相等的四边形是矩形. (     )

(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.(     )

(3)有一个角是直角的四边形是矩形. (     )

(4)四个角都相等的四边形是矩形.(      )

(5)一组对角互补的平行四边形是矩形. (   )

预设答案：

(1)×；  (2)√；  (3)×； (4)√； (5)√.

    认真思考、探究交流

熟悉证明过程

 熟练掌握矩形的判定定理

在教师的引导下认真思考

熟悉证明过程

熟练掌握矩形的判定定理

认真完成

根据矩形的定义自然得到矩形的一个判定方法.

通过分组探究，让学生类比平行四边形判定定理的研究过程探索矩形的判定定理，体会数学思考的方法，渗透类比迁移的数学思想.

通过证明让学生明确矩形的判定定理.

通过归纳让学生进一步熟悉矩形的判定方法和几何语言表示.

通过分组探究，让学生类比平行四边形判定定理的研究过程探索矩形的判定定理，体会数学思考的方法，渗透类比迁移的数学思想.

通过证明让学生明确矩形的判定定理.

通过归纳让学生进一步熟悉矩形的判定方法和几何语言表示.

解决前面的实际问题巩固矩形的判定定理，培养应用意识，提高学习兴趣.

通过练习进一步熟悉矩形的判定定理.

环节三

应用新知

【典型例题】

【例】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°. 求∠OAB的度数.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC=AC， OB=OD=BD.

又 OA=OD，

∴AC=BD.

∴四边形ABCD是矩形.

∴ ∠DAB=90°.

又 ∠OAD=50°，

∴ ∠OAB=40°.

【变式】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAC=∠ADB. 求证：四边形ABCD是矩形.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC=AC， OB=OD=BD.

又 ∠DAC=∠ADB，

∴OA=OD

∴AC=BD.

∴四边形ABCD是矩形.

明确例题的做法

    让学生在探究过程中进一步加深对矩形的判定定理的认识和理解，培养学生的应用意识.

环节四

巩固新知

【随堂练习】

1.判断下列说法是否正确.

(1)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；(　　)

(2)对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；(　 　)

(3)一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；(     )

(4)两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形.(　 　)

2.已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求∠ACB的度数．

3.如图，平行四边形ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由．

答案：

1.(1)×； (2) ×；  (3)√；  (4)√.

2.解：∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB．

 ∵四边形ABCD是平行四边形，

 ∴OA=OC，OB=OD．∴AC=BD．

 ∴平行四边形ABCD是矩形．

在Rt△ABC中，

∵∠BAC=60°，

∴∠ACB=30°．

3. 解：四边形EFGH为矩形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB+∠ABC=180°．

∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ，           ∴∠EAB+∠EBA=90 °．

∴∠AEB=90°，即∠HEF=90°．

同理，∠EFG=90°，∠FGH=90°．

∴四边形EFGH是矩形．

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五

课堂小结

回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置作业

教科书第55页

练习第1、2题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.