人教版八年级下册19.2.2 一次函数第1课时教案

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情景

【问题】

结合生活实际，教师提出问题：

某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃．登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃．试用函数解析式表示y与x的关系．

引导：从大本营向上当海拔每升高1 km时,气温就减少6 ℃,那么海拔增加x km时,气温减少6x ℃.因此y与x的函数关系式为y=5-6x(x≥0).

当然,这个函数也可表示为:y=-6x+5(x≥0).

【想一想】

当登山队员由大本营向上登高0.5 km时,他们所在位置气温就是x=0.5时函数y=-6x+5的值,即y=-6×0.5+5=2(℃).

【思考】

追问：这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有何不同？这种形式的函数你见过吗？

分析：这个函数很明显不是正比例函数，它的解析式中多了一个常数项（+5）.

引入新课：生活中还有这种形式的函数吗？请同学们继续看下面的问题.

思考后写出解析式并展示.

观察写出的解析式，与正比例函数对比，发表见解.

让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系,体会并运用函数建模思想,提高将实际问题抽象为函数模型的能力,以实例引入,激发学生的学习兴趣.

得到的函数不是正比例函数，促使学生对函数特征的思考.

环节二探究新知

教师用课件逐一出示四个问题，要求学生回答：（1）下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？（2）如果是，写出函数关系式（3）说出函数解析式的共同特征.

【思考】

问题1：

（1）有人发现，在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c 与温度 t（单位：℃）有关，且 c 的值约是 t 的7倍 与35的差；

（2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是G 的值；

（3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话 x min 的计时费（按0.1元/min收取）；

（4）把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化．

回顾+分析：函数的概念，引导学生判断四个问题中的变量之间是否为函数关系.（1）c=7t-35（20≤t≤25）（2）G=h-105

（3）y=0.1x+22（4）y=-5x+50（0≤x＜10）

学生讨论时，教师巡视并进行指导，教师回答完问题之后，教师要及时点评，多用一些激励性的语言.

观察：以上出现的4个解析式，很显然不是正比例函数，那它们有哪些共同特征呢？

分析：

引导共同归纳特点：这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.

【归纳】

出示一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．

指导学生找出定义中的关键点：①自变量x的次数为1；②比例系数k≠0；③常数项b为任意实数.

【想一想】

追问：一次函数y=kx＋b（k，b是常数，k≠0）中，当b=0时，一次函数变为什么函数？一次函数与正比例函数有什么关系？

引导归纳：当b=0时，y=kx+b，即y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

认真审题，并进行解答比赛.

观察比较，类比正比例函数定义得出的方法.

思考正比例函数与一次函数之间的关系，明确正比例函数是一次函数的特例.

通过四个问题得到四个函数，引导学生观察各题的特征中发现一类不同于正比例函数的函数，进而引出研究一次函数的必要性，并为下一步类比、抽象、概括出一次函数的定义作铺垫。

使学生在思考、对比、分析、类比、迁移中，亲身经历一次函数的概念的构建过程.

进一步理解从特殊到一般的解决问题的方法，发展学生的抽象思维能力和概括能力。

环节三应用新知

教师活动：教师提出问题，对于学生的回答，给予激励性评价.

【典型例题】

例1：下列函数中是一次函数的有哪些?并说出k和b的值.

(1)y=-x;(2)y=x3+2;(3)y=5x2-3;(4)m=2.5n-0.3;(5)y=3x+3(1-x); (6)l=r-4.                      

引导学生分析:根据一次函数y=kx+b的特征去判断,注意(1)是正比例函数,当然也是一次函数;(5)化简得y=3,不符合k≠0的要求,故不是一次函数.

答案：

一次函数有（1），k=-1，b=0；（4），k=2.5，b=-0.3；（6），k=1，b=-4.

例2：写出下列各题中y与 x之间的关系式 , 并判断 : y是否为x的一次函数 ? 是否为正比例函数 ?

（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶 , 行驶路程y(千米)与行驶时间x(时) 之间的函数关系 .

（2）圆的面积y ( 平方厘米 )与它的半径x ( 厘米)之间的关系 .

答案：（1）y=60x；y是x的一次函数，也是x的正比例函数. 

（2）y=πx2；y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数.

根据一次函数概念进行判断.学生举手进行回答.

思考后写出答案.

对解析式结构的分析与比较，加深对已有知识的理解，促进认知结构的完善.

逐步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.

环节四

巩固新知

【随堂练习】

教师活动：通过抢答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.

练习1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

①y=x-6 ;    ②y=   ;   ③y=   ;   ④y=7-x ;

⑤y=5x2+6 ;  ⑥y=2（x-4） ; ⑦ y=  ;

⑧y= -13  ;  ⑨ y=-1.  

提醒：一次函数右边必须是整式.

答案：

① ③ ④ ⑥ ⑦ ⑨是一次函数；③是正比例函数.

练习2.已知一次函数y=kx+b，当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1.求k和b的值.

答案： 依题意，分别将（1，5）和（-1，1）代入函数解析式得：

解方程组得：k=2   b=3

练习3.已知一次函数y=（m-1）x+1-m2

（1）当m为何值时，这个函数是一次函数？

（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数？

分析：（1）根据一次函数的定义可知m-1≠0确定k的值即可.即m≠1时，这个函数是一次函数.

（2）根据正比例函数的定义，m-1≠0，1-m2=0.解得m=-1.即m=-1时，这个函数是正比例函数.

与定义作比较，作出判断.

认真审题并进行解答比赛.

通过练习1，加深了学生对一次函数定义的理解；练习2，练习2，考察学生对求一次函数解析式的应用，并规范解题过程.练习3，综合考察了学生对一次函数和正比例函数结构特点的理解.

环节五

课堂小结

以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.

教师引导学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答：你如何理解一次函数的意义？能从哪几个方面去认识一次函数.

在教师的引导下，回顾反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法.

培养学生总结知识的能力，巩固新知.

环节六

布置作业

巩固例题练习

教科书第90页练习1、3.

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.