高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 分层随机抽样教案

《分层随机抽样的均值与方差》教学设计

1.通过具体实例，能够从具体的样本数据中提取需要的基本的数字特征（如平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差）．

2.通过具体实例，计算分层随机抽样的均值与方差．

3.能根据具体实例中提取的样本的数字特征对实际问题作出合理解释．

4.在参与解决统计问题的过程中，能通过对样本数据的分析为合理的决策提供一些依据进一步体会用样本估计总体的思想．

重点：理解分层随机抽样的均值与方差

难点：会用加权平均的方法求分层随机抽样的均值与方差．

一、新课导入

复习回顾： 用样本估计总体常用的数字特征有哪些？统计中得到这些数字特征的目的是什么？

答：平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差． 通过对样本数据的分析，估计总体的性质，为合理的决策提供依据．

说一说：经过分层随机抽样得到样本中的每一个数据，可以计算样本平均数和方差吗？

答：可以算出样本平均数和样本方差．

思考：如果不知道样本中每一个数据，只知道分层随机抽样中各层的平均数和方差，以及各层所占的比例（权重），那么如何计算样本的平均数和方差？

例如：对某学校高一年级，如果只知道甲班和乙班的数学平均成绩和方差，以及甲班和乙班的人数，而缺少每名学生的成绩，如何计算整个高一年级数学的平均成绩和方差？

二、新知探究

分层随机抽样的平均数

实例分析一

某公司的高收入员工月平均工资是11000元，中等收人员工月平均工资是6500元，低收入员工月平均工资是2900元．能否认为该公司员工的月平均工资收入是（元）？这样计算平均数的方法合理吗？

在这个问题中，如果该公司有1000名员工，其中50名属于高收入者，150名属于中等收人者，800名属于低收入者，那么由于每一类员工所占比例不同，特别是高收入者很少，他们的月平均工资对该公司员工的月平均工资影响较小．因此，上述计算方法显然不合理．

实例分析二

甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭．他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率．甲在网站A查到的好评率是98%，而乙在网站B查到的好评率是85%．综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的总好评率？

好评率是由好评人数除以总评价人数得到的．98%的好评率意味着如果有100人评价，那么其中98人给了好评．

设在网站A评价该餐馆的人数为，其中给出好评的人数为；在网站B评价该餐馆的人数为，其中给出好评的人数为．由题目条件，，综合A，B两个网站的信息，这家餐馆的总好评率应为，化简得

其中，和分别是各自的权重，总好评率等于相应的好评率与其权重乘积的和．

所以除非再知道A，B两个网站评价人数的比例关系，否则并不能求出总好评率．

由以上分析可知，当且仅当时，总好评率等于

抽象概括

一般地，将样本和样本合并成一个新样本，则这个新样本的平均数为

于是，当已知上述两层构成的新样本中每层的平均数分别为和时，可得这个新样本的平均数为

记，，则这个新样本的平均数为，其中，称为权重．

更一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为和，，，则这个样本的平均数为．为了简化表示，引进求和符号，记作

分层随机抽样的的方差

实例分析三

甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为80．5分，方差为500；乙班的平均成绩为85分，方差为360．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少？

解设甲班50名学生的成绩分别是，那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为

设乙班40名学生的成绩分别是，那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为

如果不知道和，只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及权重，那么根据前面的分析，全部90名学生的平均成绩应为

而全部90名学生的方差可以用式子

进行计算．因此，

思考：根据方差的定义，全部90名学生的方差应为

它与前面的计算得出的结果一致吗？

设样本中不同层的平均数分别为，方差分别为，，相应的权重分别为，，，则这个样本的方差为

其中为这个样本的平均数．

三、应用举例

例1：某班甲、乙两个小组共18名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：

甲组：76　90　84　86　81　87　86　82

乙组：82　84　85　89　79　80　91　89　79　72

(1)哪个小组的成绩高一些？哪个小组的成绩更整齐一些？

(2)求这18名学生英语口语测试成绩的平均分和方差．

解：(1)(分)，

(分)，

．

因为，所以甲小组的成绩高一些．

因为，所以甲小组的成绩更整齐一些．

(2)这18名学生英语口语测试成绩的平均分(分)，

这18名学生英语口语测试成绩的方差

方法归纳

(1)计算分层随机抽样平均数的关键是知道样本中不同层的平均数及它们相应的权重，然后运用公式计算即可．

(2)计算分层随机抽样方差的关键是知道样本中不同层的平均数、方差及它们相应的权重，然后代入公式计算即可．

四、课堂练习

1．样本中共有五个个体，其值分别为．若该样本的平均数为1，则样本的方差为(　　)

2． 甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从甲、乙机床生产的零件中分别抽取40件、60件，甲的平均尺寸为10，乙的平均尺寸为12，那么抽取的100件产品的平均尺寸是多少？

参考答案:

1.  D

解析：由平均数为1可得，解得．所以样本的方差

，故选D．

2.     11．2

解析：由题知甲机床生产的零件的平均尺寸、权重分别为，，乙机床生产的零件的平均尺寸、权重分别为，，所以抽取的100件产品的平均尺寸．

五、课堂小结

1．分层随机抽样的平均数

一般地，设样本中不同层的平均数和相应权重分别为和，，，则这个样本的平均数为，记作

2．分层随机抽样的方差

一般地，设样本中不同层的平均数分别为，方差分别为，，相应的权重分别为，，，则这个样本的方差为

六、布置作业

教材第173页，练习第1题．