高中北师大版 (2019)2.2 分层随机抽样学案设计

6.2.2分层随机抽样

【教学目标】

重点、难点

重点： 正确理解分层抽样的定义 , 灵活应用分层抽样抽取样本 , 并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题 .

难点： 应用分层抽样解决实际问题 ,  并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的。

学科素养

通过对现实生活中实际问题会用分层抽样的方法从总体中抽出样本 , 并能写出具体问题的分层抽样的步骤 .培养学生科学的数学思想和治学态度.

【知识清单】

( 一 ) 分层抽样的定义 .

一般地 , 在抽样时 , 将总体分成互不交叉的层 , 然后按照一定的比例 , 从各层独立地抽取一定数量的个体 , 将各层取出的个体合在一起作为样本 , 这种抽样的方法叫分层抽样｡

【说明】分层抽 样又称类型抽样 , 应用分层抽样应遵循以下要求 :

(1) 分层 : 将相似的个体归人一类 , 即为一层 , 分层要求每层的各个个体互不交叉 , 即遵循不重复､不遗漏的原则｡

(2) 分层抽样为保证每个个体等可能入样 , 需遵循在各层中进行简单随机抽样 , 每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等 , 即保持样本结构与总体结构一致性｡

( 二 ) 分层抽样的步骤 :

(1) 分层 : 按某种特征将总体分成若干部分｡

(2) 按比例确定每层抽取个体的个数｡

(3) 各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取｡

(4) 综合每层抽样 , 组成样本｡

【说明】

(1) 分层需遵循不重复､不遗漏的原则｡

(2) 抽取比例由每层个体占总体的比例确定｡

(3) 各层抽样按简单随机抽样或系统抽样的方法进行｡

【经典例题】

例 1 某高中共有 900 人，其中高一年级 300 人，高二年级 200 人，高三年级 400 人，现采用分层抽样抽取容量为 45 的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为

A.15,5,25      B.15,15, 15     C .10,5,30    D15,10,20

例 2: 一个地区共有 5 个乡镇 , 人口 3 万人 , 其中人口比例为 3:2:5:2:3, 从 3 万人中抽取一个 300 人的样本 , 分析某种疾病的发病率 , 已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关 , 问应采取什么样的方法 ? 并写出具体过程｡

【课堂达标】

1．从年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为、、、、，各等级人数所占比例依次为：等级，等级，等级，等级，等级．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取人作为样本，则该样本中获得或等级的学生人数为（    ）

A．55 B．80 C．90 D．110

2．某工厂生产，，三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B种型号产品抽取了60件，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．教育部日前出台《关于普通高中学业水平考试的实施意见》，根据意见，学业水平考试成绩以“等级”或“合格、不合格”呈现.计入高校招生录取总成绩的学业水平考试的3个科目成绩以等级呈现，其他科目一般以“合格、不合格”呈现.若某省规定学业水平考试中历史科各等级人数所占比例依次为：A等级15％，B等级35％，C等级30％，D、E等级共20％.现采用分层抽样的方法，从某省参加历史学业水平考试的学生中抽取100人作为样本，则该校本中获得A或B等级的学生中一共有（    ）.

A．45人 B．60人 C．50人 D．90人

4．某服装加工厂某月生产甲、乙、丙三种产品共4000件, 为了保证产品质量, 进行抽样检验, 根据分层抽样的结果, 企业统计员制作了如下统计表格. 由于不小心, 表格甲、丙中产品的有关数据已被污染得看不清楚, 统计员记得甲产品的样本容量比丙产品的样本容量多10, 根据以上信息, 可得丙的产品数量是（    ）

A．80 B．800 C．90 D．900

5．某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为人，那么高三被抽取的人数为（    ）

A． B． C． D．

6．某高中有三个年级，其中高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则该高中的学生总人数应为（    ）

A．2600 B．2580 C．2540 D．2500

7．某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（    ）

A．2人 B．3人 C．5人 D．4人

9．某单位职工分老中青三个层次，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（    ）

A．35 B．25 C．20 D．15

10．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则（    ）

A．12 B．16 C．24 D．32

11．某工厂有三组员工，第一组有105人，第二组有135人，第三组有150人，工会决定用分层抽样的方法从这三组中随机抽取几名员工进行问卷调查.如果从第一组抽取得人数为7，那么从第二组抽取的人数为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

12．某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为、，且直线与以为圆心的圆交于、两点，且，则圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

13．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取140人，则n为（    ）

A．300 B．250 C．200 D．150

14．2012年6月16日“神舟”九号载人飞船顺利发射升空，某校开展了“观‘神九’飞天燃爱国激情”系列主题教育活动.该学校高一年级有学生300人，高二年级有学生300人，高三年级有学生400人，通过分层抽样从中抽取40人调查“神舟”九号载人飞船的发射对自己学习态度的影响，则高三年级抽取的人数比高一年级抽取的人数多（    ）

A．5 B．4

C．3 D．2

15．某个年级有男生780人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为20的样本，则此样本中女生人数为______________.

16．2020年新冠肺炎疫情期间，为停课不停学，某高中实施网上教学．该高中为了解网课学习效果，组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中3个年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生_________人．

【能力提升】

17．采取分层抽样的方式从军区总院和鼓楼医院共抽取100名医生支援湖北,已知从军区总院全体900名医生中抽取的人数为40,则鼓楼医院的医生总人数为_____.

18．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现从这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为__．

19．万源中学扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长30分钟.现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间单位：分钟进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：

若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.

（1）估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少

（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动，求男生和女生各抽取了多少人？

20．来自广西、四川的外来务工人员选择驾乘摩托车沿国道返乡过年，某市在该国道沿线设立了多个休息站．交警小李在某休息站连续天对进站休息的驾驶人员每隔辆摩托车就对其省籍询问一次，询问结果如图所示：

（1）交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？

（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有名，则四川籍的应抽取几名

【参考答案】

【经典例题】

例 1[ 分析 ] 因 为 300 ： 200 ： 400=3 ： 2 ： 4 ，于是将 45 分成 3 ： 2 ： 4 的三部分。设三部分各抽取的个体数分别为 3x,2x,4x, 由 3x+2x+4x=45 ，得 x=5 ，故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 15 ， 10 ， 20 ，故选 D 。

例 2: [ 分析 ] 采用分层抽样的方法｡

解 : 因为疾病与地理位置和水土均有关系 , 所以不同乡镇的发病情况差异明显 , 因而采用分层抽样的方法 , 具体过程如下 :

(1) 将 3 万人分为 5 层 , 其中一个乡镇为一层｡

(2) 按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本｡

30 0 × 3/15=60( 人 ),300 × 2/15=100( 人 ),300 × 2/15=40( 人 ),300 × 2/15=60( 人 ),

因此各乡镇抽取人数分别为 60 人､ 40 人､ 100 人､ 40 人､ 60  人｡

(3) 将 300 人组到一起 , 即得到一个样本｡ 

【课堂达标】

1．D

【解析】

【分析】

利用抽样比求解

【详解】

设该样本中获得或等级的学生人数为，则

故选：D

【点睛】

本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题

2．C

【解析】

【分析】

利用样本容量与总体容量比值相等可得．

【详解】

由题意，，解得．

故选：C．

【点睛】

本题考查分层抽样，解题根据是样本容量与总体容量比值相等．

3．C

【解析】

【分析】

由已知求得或等级所占比例，乘以100即得答案．

【详解】

由题意，、等级人数所占比例依次为：等级，等级，

则或等级所占比例为，

人的样本中，获得或等级的学生一共有50人．

故选：C

【点睛】

本题主要考查分层抽样，明确分层抽样中每一层所占比例数相等是关键，是基础题．

4．B

【解析】

【分析】

【详解】

由已知，设产品分别有件，则，

取出样品数分别为，联立解得，

即C的产品数量是800件.

5．D

【解析】

【分析】

直接利用分层抽样的比例关系得到答案.

【详解】

根据分层抽样的比例关系：高二抽取人数为人，

则高三抽取人.

故选：D.

【点睛】

本题考查了分层抽样，属于简单题.

6．C

【解析】

【分析】

设高三有人，根据分层抽样的特点可得： ，从而得出答案.

【详解】

设高三有人，

高二学生860人，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，根据分层抽样的特点可得：

，得

所以该高中的学生总人数应为

故选：C

【点睛】

本题考查分层抽样的应用，属于基础题.

7．B

【解析】

【分析】

利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.

【详解】

由题意，，解得.

故选：B.

【点睛】

本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.

8．D

【解析】

【分析】

根据题设求得中年人所占的比例，进而求得中年人抽取的人数，得到答案.

【详解】

根据题设知，中年人所占的比例为，所以在抽取的一个容量为12的样本中，中年人中应抽取人.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了分层抽样的概念及其应用，其中解答中熟记分层抽样的概念，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

9．D

【解析】

【分析】

由分层抽样的性质列方程即可得解.

【详解】

设样本容量为x，则由分层抽样的性质可得，

所以，所以样本容量为15.

故选：D.

【点睛】

本题考查了分层抽样的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

10．C

【解析】

【分析】

先求得总人数，然后根据总人数中“不喜欢的男性青年观众”所占的比例列方程，解方程求得抽取的人数.

【详解】

依题意，总人数为，其中“不喜欢的男性青年观众”有人，故

，解得.所以本小题选C.

【点睛】

本小题主要考查分层抽样的有关计算，考查图表分析能力，属于基础题.

11．B

【解析】

【分析】

根据分层抽样的比例求解.

【详解】

设从第二组抽取的人数为x，

所以，

解得，

故选：B

【点睛】

本题主要考查分层抽样，属于基础题.

12．C

【解析】

【分析】

利用分层抽样的概念，先求出与，然后求出直线方程，然后，根据圆与直线的位置关系求出圆心到直线的距离，进而求解即可.

【详解】

∵高一：高二：高三为，

该直线方程为，即，

圆心到直线的距离，又，

该圆的方程为.

故选：C

【点睛】

本题考查分层抽样的概念，属于基础题

13．C

【解析】

【分析】

根据分层抽样的比例，由求解.

【详解】

由题意得：，

解得，

故选：C

【点睛】

本题主要考查分层抽样，属于基础题.

14．B

【解析】

【分析】

由分层抽样的抽样比一样，可算出高一抽取的人数与高三抽取的人数，可得答案.

【详解】

解：由已知可得该校学生一共有1000人，则高一抽取的人数为，高三抽取的人数为，所以高三年级抽取的人数比高一年级抽取的人数多4，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查分层抽样的知识，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题.

15．7

【解析】

【分析】

直接利用分层抽样的比例关系得到答案.

【详解】

样本中男女生人数为：.

故答案为：7.

【点睛】

本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力，属于基础题.

16．3000

【解析】

【分析】

根据已知利用减法求得高三年级抽取的学生人数，根据分层抽样的等比例原则设未知数列方程求得该高中的学生总数.

【详解】

由已知可知，高三年级抽取的学生数为，

设该高中的学生总数为n，则，

解得，即该高中的学生共有3000人．

故答案为：3000

【点睛】

本题考查分层抽样中的样本总量计算问题，属基础题，难度容易.

【能力提升】

17．1350.

【解析】

【分析】

先求出从鼓楼医院抽取的医生总人数为60, 设鼓楼医院的医生总人数为m,所以,解方程即得解.

【详解】

已知从军区总院全体900名医生中抽取的人数为40,

则从鼓楼医院抽取的医生总人数为100﹣40=60,

设鼓楼医院的医生总人数为m,所以,∴m=1350,

故答案为:1350.

【点睛】

本题主要考查分层抽样的概念及其运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

18．8

【解析】

【分析】

根据总人数和抽取的人数，求出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．

【详解】

高一年级有30名，高二年级有40名，

这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，

故每个个体被抽到的概率是，

高二年级有40名，抽取的人数为．

故答案为：8．

【点评】

本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．

19．（1）(人)（2）男生抽取4人，女生抽取1人.

【解析】

【分析】

（1）由表中数据求出“锻炼达人”的频率，从而可计算全校“锻炼达人”的人数；

（2）按分层抽样法计算抽取男女生人数．

【详解】

由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”为人；

由知，100名学生中“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人，从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人.

【点睛】

本题考查用样本估计总体，考查分层抽样，属于基础题．

20．（1）系统抽样方法；（2）2名.

【解析】

【分析】

（1）直接判断可知，交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法；

（2）被询问了省籍的驾驶人员，广西籍的与四川籍的人数，求出比例，利用所抽概率相等求出结果.

【详解】

(1)根据题意，因为有相同的间隔，符合系统抽样的特点，所以交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．

(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员中广西籍的有 (人)

四川籍的有 (人)，

设四川籍的驾驶人员应抽取 名，依题意得，解得，

即四川籍的应抽取2名

【点睛】

此题考的是折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，考查了抽样方法的选择，属于基础题.