数学必修 第一册4.2 指数函数教学设计

《指数函数及其性质》教学设计

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图像研究指数函数的性质）等，同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．

根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．

1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，掌握指数函数的性质．

2．采用具体到一般、数形结合的思想方法，体会研究具体函数的性质．

3．使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实其他学科的联系；感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感．

【教学重点】

掌握指数函数的概念和性质．

【教学难点】

用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．

引导学生通过实际问题了解指数函数的实际背景，通过本节课导学案的使用和预习，初步理解指数函数的概念和意义，根据图像理解指数函数的性质，带着问题学习．

（一）创设情景，揭示课题

1．对任意实数x，3x的值存在吗？（-3） x的值存在吗？1x的值存在吗？

2．y=3x是函数吗？若是，这是什么类型的函数？

3．（备选引例）

（1）思考1：用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的，则漂洗x次后，衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么？

（2）（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1．3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．

 按照上述材料中的1．3%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？

 到2050年我国的人口将达到多少？

 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？

（3）上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1．073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？

（4）一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

提出问题：上面的几个函数有什么共同特征？

（二）研探新知

1．指数函数的概念

一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：

 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；

 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．

巩固练习：利用指数函数的定义解决．（教材P68例2．3）

2．指数函数的图像和性质

问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图像，结合图像研究函数的性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

探索研究：

思考1：在同一坐标系中画出下列函数的图像：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

思考2：从画出的图像中你能发现函数的图像和函数的图像有什么关系？可否利用的图像画出的图像？

思考3：从画出的图像（、和）中，你能发现函数的图像与其底数之间有什么样的规律？

思考4：你能根据指数函数的图像的特征归纳出指数函数的性质吗？

思考5：利用函数的单调性，结合图像还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

（三）例题讲解

例1．判断下列函数是否为指数函数？

问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？

例2．已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）的图像过点（3， ），求f（0）， f（1）， f（-3）的值．

问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？

说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．

（四）课堂练习

教材对应习题．

（五）课堂小结

本节主要学习了指数函数的图像，及利用图像研究函数性质的方法．

（六）        布置作业

教材对应习题．

略．