【期末常考压轴题】苏科版七年级数学下册-专题01 探索直线平行的条件压轴题五种模型 全攻略讲学案

专题01 探索直线平行的条件压轴题五种模型全攻略 【考点导航】 目录 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc6588" 【典型例题】  PAGEREF _Toc6588 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc12430" 考点一 同位角、内错角、同旁内角的辨别  PAGEREF _Toc12430 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc25801" 考点二 同位角相等，两直线平行  PAGEREF _Toc25801 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc17777" 考点三 内错角相等，两直线平行  PAGEREF _Toc17777 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc13604" 考点四 同旁内角互补，两直线平行  PAGEREF _Toc13604 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc21494" 考点五 添加一条件使两条直线平行  PAGEREF _Toc21494 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc1262" 【过关检测】  PAGEREF _Toc1262 \h 8  【典型例题】 考点一 同位角、内错角、同旁内角的辨别 例题：（2022·全国·七年级课前预习）如图，在所标识的角中，∠1与____是同位角，∠2与_____是内错角，∠5与____是同旁内角． 【答案】     ∠4     ∠3     ∠3 【解析】略 【变式训练】 1．（2021·全国·七年级课时练习）如图所示，与是_________角，是直线________和直线________被直线_____所截而形成的，与是_____角，是直线________和直线___________被直线__________所截而形成的． 【答案】     内错     AB     CB     AC     同旁内     AC     BC     AB 【分析】根据三线八角中的内错角，同旁内角定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示，与是内错角，是直线AB和直线CB被直线AC所截而形成的， 与是同旁内角，是直线AC和直线BC被直线AB所截而形成的． 故答案为内错；AB；CB；AC；同旁内；AC；BC；AB． 【点睛】本题考查三线八角中的内错角，同旁内角，掌握三线八角中的截线与被截直线，内错角与同旁内角． 2．（2022·全国·七年级）如图， （1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角； （2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角； （3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角； （4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线_________所截得的________角； （5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线________所截得的________角． 【答案】     BD（BC）     同位     AC     内错     AB     AC     BC     同旁内     AB     AC     BC     同位     AB     CE     BC     同旁内 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的性质判断即可； 【详解】（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线BD（BC）所截得的同位角； （2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线AC所截得的内错角； （3）∠3和∠ABC是直线AB、AC被直线BC所截得的同旁内角； （4）∠ABC和∠ACD是直线AB、AC被直线BC所截得的同位角； （5）∠ABC和∠BCE是直线AB、CE被直线BC所截得的同旁内角． 故答案是：BD（BC）；同位；AC；内错；AB；AC；BC；同旁内；AB；AC；BC；同位；AB；CE；BC；同旁内． 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的判断，准确分析判断是解题的关键． 考点二 同位角相等，两直线平行 例题：（2022·山东泰安·七年级期末）如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？ 【答案】BEDF，见解析 【分析】由已知推出∠3+∠4=90°，利用，，得到∠1=∠4，即可得到结论BEDF． 【详解】解：BEDF， ∵， ∴∠ABC=90°， ∴∠3+∠4=90°， ∵，， ∴∠1=∠4， ∴BEDF． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022·北京市第三十九中学七年级期中）如图，利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据的是______． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】利用同位角相等，两直线平行画一条直线与原直线平行． 【详解】解：在图中画两个相等的同位角，则可判断所画直线与原直线平行． 故答案为同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 2．（2022·江西·定南县教学研究室七年级期末）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2，试判断BM与DN是否平行，为什么？ 【答案】；理由见解析 【分析】根据AB⊥EF，CD⊥EF， 得出∠ABE＝∠CDE＝90°，根据∠1＝∠2，得出∠MBE＝∠NDE，即可得出． 【详解】；理由如下： ∵AB⊥EF，CD⊥EF， ∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定义)， ∵∠1＝∠2， ∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2， 即∠MBE＝∠NDE， ∴ (同位角相等，两直线平行)． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，余角的性质，平行线的判定，根据题意得出∠MBE＝∠NDE，是解题的关键． 考点三 内错角相等，两直线平行 例题：（2022·山东·曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线DE上，AB⊥AC于A，∠1与∠C互余，DE和BC平行吗？若平行，请说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】由垂直定义可得∠BAC=90°，根据平角定义得∠1+∠BAC+∠CAE=180°，即可得出∠1+∠CAE=90°，由∠1与∠C互余，根据余角的性质即可得出∠CAE=∠C，根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：平行， 理由如下： ∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， ∵∠1+∠BAC+∠CAE=180°， ∴∠1+∠CAE=90°， ∵∠1与∠C互余，即∠1+∠C=90°， ∴∠CAE=∠C， ∴DEBC． 【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022·云南·弥渡县弥城镇中心学校七年级期中）已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，试说明的理由． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线定义求出∠1＝∠EAC，根据已知求出∠C＝∠EAC，推出∠C＝∠1，根据平行线的判定得出结论． 【详解】理由：∵AD平分∠EAC， ∴∠1＝∠EAC， ∵∠EAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C， ∴∠C＝∠EAC， ∴∠C＝∠1， ∴ADBC． 【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的判定，关键是根据定理和已知推出∠1＝∠C，题目比较典型，难度不大． 2．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）如图，∠1＝∠C，AC平分∠DAB，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据角平分线的定义得出∠1＝∠2，再利用内错角相等，两直线平行证明即可． 【详解】证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠C， ∴∠2＝∠C， ∴． 【点睛】此题考查平行线的判定，关键是根据角平分线的定义得出∠1＝∠2． 考点四 同旁内角互补，两直线平行 例题：（2022·西藏昂仁县中学七年级期中）如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求证：ADBC． 【答案】见解析 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行证明即可． 【详解】解：∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， ∵∠CAD＝20°，∠B＝70°， ∴∠B+∠BAD=70°+90°+20°=180°， ∴ADBC． 【点睛】本题考查平行线的判定、垂直定义，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键． 【变式训练】 1．（2022·江苏·吕良中学七年级阶段练习）如图，直线与射线相交于点O，，直线与平行吗？为什么？ 【答案】ABCD，理由见解析 【分析】先由对顶角性质得∠AOD=∠BOE=130°，再计算∠AOD+∠D=180°，即可得出结论． 【详解】解：ABCD， 理由：∵∠AOD=∠BOE=130°（对顶角相等）， ∴∠AOD+∠D=130°+50°=180°， ∴ABCD(同旁内角互补，两直线平行)． 【点睛】本题考查平行线的判定，对顶角性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 2．（2022·山东·聊城市东昌府区博雅学校七年级阶段练习）如图，射线BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求证：AB∥CD． 【答案】见解析 【分析】先根据角平分线的定义和对顶角相等可得出∠ABC=∠2=70°，再由对顶角相等可得出∠1=∠BCE=110°，则∠ABC+∠BCE=180°，由此可得出结论． 【详解】证明：∵射线BC平分∠ABD， ∴∠ABC=∠2， ∵∠1=110°，∠2=70°，∠1=∠BCE， ∴∠ABC=70°，∠BCE=110°， ∴∠ABC+∠BCE=180°， ∴AB∥CD． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同旁内角互补，两直线平行． 考点五 添加一条件使两条直线平行 例题：（2022·江西赣州·七年级期中）如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可） 【答案】∠1=∠2 等 （写出一种即可） 【分析】根据平行线的判定定理得出直接得出即可． 【详解】解：∵当∠1 =∠2时，（内错角相等，两直线平行）； ∴若要使，则需添加条件∠1 =∠2； 故答案为：∠1=∠2． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． 【变式训练】 1．（2022·甘肃·临泽县第三中学七年级期中）如图，填写一个能使ABCD的条件：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可． 【详解】解：填写的条件为：， ， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 2．（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）． 【答案】(答案不唯一） 【分析】利用两线平行的判定方法，找到一组同位角相等即可． 【详解】解：当时：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查两直线平行的判定方法．利用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，任选其一解题即可． 【过关检测】 一、选择题 1．（2022·重庆市万州第二高级中学九年级期中）下列图中，不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同位角的定义（在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角）解决此题． 【详解】解：A．由图可知，，是同位角，故不符合题意． B．由图可知，，是同位角，故不符合题意． C．由图可知，，是同位角，故不符合题意． D．由图可知，，不是同位角，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查同位角，解题的关键是熟练掌握同位角的定义． 2．（2022·浙江·之江中学七年级期中）如图所示，下列说法中，错误的是（    ） A．∠3与∠B是同旁内角 B．∠A与∠1是同位角 C．∠2与∠3是内错角 D．∠1与∠B是同位角 【答案】D 【分析】根据两线被第三线所截，同旁内角，内错角和同位角的定义进行判断即可． 【详解】解：A、∠3与∠B是同旁内角，选项正确，不符合题意； B、∠A与∠1是同位角，选项正确，不符合题意； C、∠2与∠3是内错角，选项正确，不符合题意； D、∠1与∠B不是同位角，选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查三线八角，在找角的时候，首先要确定截线，然后根据它们之间的位置关系进行确定． 3．（2022·广东·东莞市石龙第二中学七年级期中）如图，，下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．①② B．②④ C．②③④ D．② 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理，即可一一判定． 【详解】解：由，不能判定， 故①不符合题意； ，， ， ， 故②符合题意； 由，，不能判定， 故③不符合题意； ，， ， ， 故④符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握和运用平行线的判定定理是解决本题的关键． 4．（2022·河北石家庄·七年级期中）用两个完全一样的含30°角的三角尺画平行线，下列画出的直线a与b不一定平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：．根据同位角相等，两直线平行得到；故不符合题意； B．根据内错角相等，两直线平行得到，故不符合题意； C．画出的直线与不一定平行；故符合题意； D．根据内错角相等，两直线平行得到；故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 5．（2022·辽宁·朝阳市第八中学七年级期中）如图，下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理即可判断求解． 【详解】解：A．∠3=∠4，根据内错角相等，两直线平行可判定AD∥CB，不可判定AB∥CD，故A符合题意； B．∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故B不符合题意； C．，根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD，故C不符合题意； D．，根据同位角相等，两直线平行可判定AB∥CD，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同旁内角互补，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“同位角相等，两直线平行”是解题的关键． 二、填空题 6．（2022·广东·黄埔学校九年级开学考试）如图，∠2的同旁内角是_____． 【答案】∠4 【分析】根据同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可． 【详解】解：∠2的同旁内角是∠4， 故答案为：∠4． 【点睛】此题主要考查了同旁内角的概念，关键是掌握同旁内角的边构成“U”形． 7．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知∠1=40°，则∠2=_________°时，直线a，b平行. 【答案】40 【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1=∠2，然后根据∠1的度数，即可得到∠2的度数． 【详解】解：∵a∥b， ∴∠1=∠2， ∵∠1=40°， ∴∠2=40°， 故答案为：40． 【点睛】本题考查平行线的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 8．（2022·江苏泰州·七年级期中）小丽将两块完全相同的直角三角尺如图所示，拼在一起，沿着三角尺的斜边画出线段AB和CD，则小丽判定ABCD，她的依据是______． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据内错角相等，两直线平行即可判断． 【详解】解：由题意：∠BCD=∠ABC=30°， ∴ABCD（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 9．（2022·湖北湖北·七年级期中）如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB//CD，那么可以添加的条件是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可． 【详解】解：根据内错角相等，两直线平行，可添加或等条件， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 10．（2022·江西南昌·七年级期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②当时，则有；③当时，则有；④当时，则有．其中正确的序号是______． 【答案】②③④ 【分析】根据∠CAB=∠EAD=90°及∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，根据等量代换即可判断①；当，可得∠2和∠3的度数，利用内错角相等即可判断②；当时，可求得∠1，根据∠1=∠E内错角相等即可判断③；当时，∠3+∠D=90°即可判断④． 【详解】解：∵∠CAB=∠EAD=90°，∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2， ∴∠1=∠3，故①错误； 当，∠2=90°-∠1=45°，∠3=90°-∠2=45°，且∠B=45°， 因此∠B=∠3， ∴，故②正确； 当时，则∠1=90°-∠2=60°，且∠E=60°， 因此∠1=∠E， ∴，故③正确； 当时，则∠3+∠D=60°+30°=90°， 因此，故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了三角板中角度的计算、平行线的判定及两直线垂直的判定，熟练掌握其相关判定及性质是解题的关键． 三、解答题 11．（2022·江苏常州·七年级期末）填写下列空格： 已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1=∠2．求证：ABCD． 证明：∵CE平分∠ACD（已知）， ∴____________________（__________）． ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠1=_______（___________________）． ∴ ABCD（ ______________________ ）． 【答案】；角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】先利用角平分线定义得，从而可得出=，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】解：CE平分（已知）， （  角平分线定义  ）． （已知）， = （等量代换）． ABCD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查解增分线的定义，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定的定理是解题的关键． 12．（2022·北京延庆·七年级期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：ABCD．请将下面的证明过程补充完整． 证明： ∵∠B+∠BAD=180°（已知）， ∠1+∠BAD=180°（ ）， ∴∠1=∠B（ ）． ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠2＝ （ ）． ∴ABCD（ ）． 【答案】见解析 【分析】根据平行的判定定理证明即可． 【详解】∵∠B+∠BAD=180°（已知）， ∠1+∠BAD=180°（平角定义）， ∴∠1=∠B（同角的补角相等）． ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠2=∠B（等量代换）． ∴ABCD（同位角相等，两条直线平行）． 【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 13．（2022·安徽·滁州市南谯区黄泥岗镇张浦郢中学八年级开学考试）完成下面的证明： 如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD． 证明：∵BE平分∠ABD （ ） ∴∠ABD＝2∠α （ ） ∵DE平分∠BDC（已知） ∵∠BDC＝ （ ） ∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β） （ ） ∵∠α+∠β＝90°（已知） ∴∠ABD+∠BDC＝（ ） ∴ AB∥CD （ ） 【答案】已知；角平分线的定义；2∠β ；角平分线的定义；等量代换；180°；同旁内角互补两直线平行 【分析】首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2（∠α+∠β），进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】解：∵BE平分∠ABD （已知）， ∴∠ABD=2∠α（角平分线的定义）． ∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC=2∠β （角平分线的定义）， ∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2（∠α+∠β）（等量代换）， ∵∠α+∠β=90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法． 14．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图，直线AF、DE，射线平分∠ABD交DE于点C． (1)若∠DBF=54°，求∠2的度数； (2)若．请说明：AB//CD． 【答案】(1)∠2=63° (2)见解析 【分析】（1）根据∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180°，得到∠ABD=126°，根据平分得到∠2=×126°=63°； (2)根据平分，得到，根据，得到 ，推出． （1） （1）∵∠DBF=54°，∠ABD+∠DBF=180° ∴∠ABD=126° ∵平分 ∴∠2=×126°=63°； （2） (2)∵平分 ∴ ∵ 且 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了邻补角性质，角平分线性质，对顶角性质，平行线的判定定理，熟练掌握邻补角的和等于180°，角平分线把一个角分成两个相等的角，对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，是解决此题的关键． 15．（2022·黑龙江·大庆市高新区学校七年级期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G． (1)填空：∠2和∠D可用关系式表示为______；∠1与∠D有怎样的关系式：______； (2)求证： 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据互余的定义及三角形内角和定理进行求解即可； （2）根据同角的余角相等可得，继而证明，根据内错角相等，即可得到结论． （1） ∠2和∠D互余， ； BE⊥FD， ， ， ； 故答案为：；； （2） ∠2和∠D互余， ， BE⊥FD， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了余角的定义，同角的余角相等及平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 16．（2022·江苏·七年级）如图，点在直线上，射线、分别平分、． (1)试判断、的位置关系，并说明理由； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义以及平角的定义即可求证； （2）由等角的余角相等可证得，进而可得，再由内错角相等两直线平行即可证得． (1) 解：， 理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵（已证），（已知）， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平角定义，平行线的判定，等角的余角相等，综合掌握以上知识并熟练应用是解题的关键．