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第2讲 用数轴表示实数及运算(讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）
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模块一：用数轴上的点表示实数
知识精讲
实数的绝对值、相反数
（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．实数的绝对值记作．
（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．非零实数的相反数是．
2、两个实数的大小比较
两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样．
负数小于零；零小于正数．
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．
比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能，以下介绍几种常用的方法：
1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；
2．平方法：将两个数平方，再来判定两个数大小的方法；
3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．
4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．
5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的，两数，若，则；若，则．
3、数轴上两点之间的距离
在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点之间的距离为
．
例题解析
1.下列各组数中互为相反数的是（）
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】A
【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确．
【总结】本题考查了实数的性质及相反数的概念．
2.如图，在数轴上表示实数的点可能是（）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【难度】★
【答案】C
【解析】，即，所以对应的点是M．
【总结】本题考察实数与数轴上的点的对应关系，应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．
3.下列说法正确的是（）
A．一个有理数的绝对值一定大于它本身
B．只有正数的绝对值等于它本身
C．负数的绝对值是它的相反数
D．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数．
【难度】★
【答案】C
【解析】A中若这个有理数是0，则它们相等，错误；B中0的绝对值也等于本身；
C正确；D中0的相反数也是本身．
【总结】本题考查绝对值的性质及其应用，利用举反例进行求解．
4.下列四个结论，中正确的是（）
A.B.C.D.
【难度】★
【答案】D
【解析】四个选项都是正数，乘以最简公分母，即可比较．
【总结】本题考查无理数和有理数的大小判断．
5.填空：
（1）若m，n互为相反数，则5m+5n-5=_________；
（2）已知|x|=5，y=3，则x-y=_______________．
【难度】★★
【答案】（1）-5 （2）2或-8
【解析】（1）m，n互为相反数，m+n=0，所以5m+5n-5= -5；
（2）x=5或-5，所以或．
【总结】本题考查相反数和绝对值的知识，注意绝对值的分类讨论．
6.实数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（）．
A．n＜mB．n2＜m2
C．n0＜m0D．| n |＜| m |．
【难度】★★
【答案】A
【解析】因为-2＜n＜-1＜m＜0，所以B中n2＞m2，C中n0=1，m0=1，相等．
【总结】本题考查了实数与数轴上的点之间的一一对应关系及实数的大小比较，比较简单．
7.已知数轴上A、B、C、D四点所对应的实数分别为－2.5、、、．
（1）在数轴上描出这四个点的大致位置；（2）求A与D，B与C两点间的距离．
【难度】★★
【答案】（1）略； （2），．
【解析】（2），．
【总结】本题考查了在数轴上描出实数以及求数轴上两个店的距离方法，首先根据数轴三要素画出数轴，然后在数轴上描出各点，A、D两点的距离就是A点表示的数减去D点表示的数，然后求它们差的绝对值，同样可求BC的距离．
8.填空：
（1）已知数轴上A，B，C三点表示的数分别是-2，2，3，则A与B，A与C两点之间的距
离分别是__________；
（2）A、B两点在数轴上，点A对应的数为2，若线段AB的长为3，则点B对应的数为________．
【难度】★★
【答案】（1）4，5； （2）或5．
【解析】（1） ，；
（2）分两种讨论，一种是A向左移动3个单位长度，B为5，另一种是A向右移动3个
单位，B为．
【总结】本题考查数轴上两点之间距离，及分类讨论．
9.比较下列各式的大小：
；②；
________；④_______．
【难度】★★
【答案】（1）= ； （2）= ； （3）< ； （4）＞．
【解析】（1）因为，所以； （2）；
（3）因为，，，
所以＜；
（4）因为，，
所以 ＞．
【总结】本题考查实数比较大小，常用的方法是作差法和取倒数法．
10.（1）已知实数n （2）如果，求整数a的值．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）a=2．
【解析】（1），因为，所以，又因为m＜0，所以；
（2）因为，所以a =2．
【总结】本题考查数轴上的点比较大小和无理数与整数比较大小．
11.已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示：
试化简．
【难度】★★
【答案】2a．
【解析】由数轴可得：，，故．
【总结】本题考查了二次根式的化简，得出各项符号是解题关键．
12（2019·上海全国·七年级单元测试）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和的点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x.
(1)求x的值；
(2)求(x－)2的立方根．
【答案】（1）x=﹣1；（2）1．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；
（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：（1）∵点A、B分别表示1，，∴AB＝－1，即x＝－1；
（2）∵x＝－1，∴原式＝(x−)2＝(−1−)2＝1，∴的立方根为1．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．
13.如图，一辆小车从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m
（1）求的值；
（2）求的值.
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）点B表示的数比点A表示的数大2，所以点B表示的数是；
（2）原式．
【总结】本题主要考察实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m的值是解题关键．
14.已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值．
【难度】★★★
【答案】5或．
【解析】由题意值：a+b=0，cd=1，m=2或-2，
所以原式或 原式．
【总结】本题主要考查倒数，相反数和绝对值的概念及性质，注意分类讨论．
模块二：实数的运算
知识精讲
实数的运算
在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．
实数运算常用到的公式有：
第一组：；；
第二组：；．
例题解析
1.化简：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）1； （2）； （3）4； （4）0.7．
【解析】（1）原式； （2）原式=；
（3）原式=2+2=4； （4）原式=0.2+0.5=0.7．
【总结】本题考察实数的运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.填空：
（1）=_____________；（2）_____________；
（3）=__________．
【难度】★
【答案】（1）3； （2）2 ； （3）．
【解析】（1）原式=3； （2）原式=； （3）原式=．
【总结】本题考察实数的运算，以及有理数的混合运算．
3.填空：
（1）________；（2）=_________．
【难度】★
【答案】（1）； （2）20．
【解析】（1）原式=； （2）原式=．
【总结】本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根及平方运算法则是解题关键．
4.填空：
（1）=__________；（2）=_________．
【难度】★
【答案】（1）30； （2）4．
【解析】（1）原式=； （2）原式=．
【总结】本题考查实数的计算及化简．
5.不用计算器，计算：
（1）；（2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）10； （2）； （3）； （4）0．
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=； （4）原式．
【总结】本题考查了实数的运算，熟练运用相关运算法则．
6.化简求值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）3； （2） ； （3）； （4）1．
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=； （4）原式=1．
【总结】本题考查无理数计算，熟悉各运算公式是解题关键．
7.计算：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）1； （2）．
【解析】（1）原式=； （2）原式=．
【总结】本题考查无理数的计算及化简．
8.如果有平方根，且满足，试求的平方根．
【难度】★★
【答案】．
【解析】（1）因为有平方根，所以，又因为，所以，
所以的平方根是．
【总结】本题考查了绝对值的意义和解一元一次方程以及平方根的概念，非负数有平方根，负数没有平方根，一个负数的绝对值是它相反数，0的绝对值是0．
9.求值：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）17．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】本题考查无理数的计算，注意简便算法．
10.计算：．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】原式=．
【总结】本题考查无理数的计算与化简．
11.计算：
（1）； （2）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）0．
【解析】（1）原式； （2）原式=．
【总结】本题考察实数的运算，数值绝对值的性质及数的开方法则，0指数幂的运算法则是本题关键．
12.计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=．
【总结】本题考查实数计算，熟练运用公式和简便方法是本题关键．
13.已知，求的算术平方根．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由已知得，所以，
所以的算术平方根为．
【总结】由已知条件求代数的值，一定要找到已知条件与要求结果之间的联系．
14.已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式=
，
原式=．
【总结】有关代数式求值的问题，解题技巧一般有以下几种，利用有关概念，利用整体思想
方法，利用分类讨论方法，利用数形结合的思想方法，利用非负数的性质，利用新定义等．
15．（2019·上海市廊下中学七年级月考）如果规定，
（1）求；
（2）当的值为1时，求x的值．
【答案】（1）41；（2）；
【分析】（1）先展开，再根据有理数的运算法则求出即可；
（2）先展开，再根据整式的运算法则进行计算，最后求出x即可．
【详解】解：（1）＝7×8﹣3×5＝56﹣15＝41；
（2）∵＝1，∴（x+1）（2x﹣1）﹣2x（x﹣3）＝1，
∴7x﹣1＝1，即．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算和解一元一次方程，能正确根据整式的运算法则和有理数的混合运算法则进行化简和计算是解此题的关键．
16．（2019·上海浦东新区·七年级期中）先计算下列各式：=_______，=_____________，=____________，=_____________，=_________________．
(1)通过观察并归纳，请写出：_____________．
(2)计算：．
【答案】1,2,3,4,5；（1）；（2）
【分析】（1）先计算出各二次根式的值，根据计算结果找出其中的规律，然后用含n的式子表示；
（2），，，然后找出其中的规律进行计算即可．
【详解】（1）=1；
；
；
…
观察上述算式可知：=n．
（2），
，
．
【点睛】本题主要考查的是探索数字的变化规律，找出其中蕴含的规律是解题的关键．
17．（2019·上海全国·七年级单元测试）如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ；
（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）5； （2）
【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；
（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为的且互相垂直的线段，进而拼合即可．
【详解】（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：．
（2）如图所示，能，正方形的边长为．
【点睛】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.
18．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．
(2)若，写出满足题意的x的整数值______．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．
【答案】（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255
【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,∴5＜＜6，
∴[]=[2]=2，[]=5，故答案为2，5；
（2）∵12=1，22=4，且[]＝1，∴x=1，2，3，故答案为1，2，3；
（3）第一次：[]=10，第二次：[]=3，第三次：[]=1，故答案为3；
（4）最大的正整数是255，理由是：∵[]=15，[]=3，[]=1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为255．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
随堂检测
1.和数轴上的点一一对应的是（）
A．整数B．有理数C．无理数D．实数
【难度】★
【答案】D
【解析】数轴上的点与实数一一对应
【总结】本题考查实数的概念．
2.（1）的绝对值是____________；相反数是___________；
（2）绝对值等于的数是_________；数轴上离原点的距离等于的是_______．
【难度】★
【答案】（1），； （2），．
【解析】（1）的绝对值是，相反数是=；
（2），．
【总结】本题考查绝对值和相反数的概念．
3.求出下列各数的绝对值和相反数：
（1）-；（2）；（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（11），； （2），； （3），； （4），．
【解析】（1），；
（2），；
（3），；
（4）||=，．
【总结】本题考查绝对值和相反数的概念．
4.比较大小：
（1）2.2______；（2）4_______；
（3）____；（4）_____．
【难度】★★
【答案】（1）＜ ； （2）＞ ； （3）＞ ； （4）＞．
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，，所以＞；
（4）因为，所以．
【总结】本题考查实数比较大小，常用的方法有作差法和取倒数法．
5.化简求值：
（1）；（2）（a＜6）．
【难度】★★
【答案】（1）1； （2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式．
【总结】本题考查实数的计算和绝对值的性质与化简．
6.如果在数轴上点A表示的数是2，点B表示的数是2，求数轴上所有到点A，点B的距离为3的点到原点的距离之和．
【难度】★★
【答案】12．
【解析】到点A距离为3的点是-5和1，到点B距离为3的点是-1和5，这些点到原点的距
离和为5+1+1+5=12．
【总结】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离是解答本题的关键．
7.实数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示：
（1）的值是正数还是负数?为什么．
（2）化简：
【难度】★★
【答案】（1）正数；（2）a．
【解析】（1）因为ac异号，所以为正，因为b2为正，所以为正数；
（2）原式．
【总结】本题考查绝对值的代数意义，注意化简．
8.求值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）12 ； （3）； （4）25．
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=； （4）原式=．
【总结】本题考查实数计算及公式的运用．
9.计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）1； （3）； （4）1．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=； （3）原式=；
（4）原式=．
【总结】本题考查实数的计算和公式运用．
10.计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）； （3）6 ； （4）1．
【解析】（1）原式=；
（2）原式；
（3）原式=；
（4）原式=．
【总结】本题考查实数的计算及乘法运算法则的综合运用．
11.已知：，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式=．
【总结】本题考查平方差公式的应用及化简．
模块一：用数轴上的点表示实数
知识精讲
实数的绝对值、相反数
（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．实数的绝对值记作．
（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．非零实数的相反数是．
2、两个实数的大小比较
两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样．
负数小于零；零小于正数．
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．
比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能，以下介绍几种常用的方法：
1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；
2．平方法：将两个数平方，再来判定两个数大小的方法；
3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．
4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．
5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的，两数，若，则；若，则．
3、数轴上两点之间的距离
在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点之间的距离为
．
例题解析
1.下列各组数中互为相反数的是（）
A．B．C．D．
【难度】★
【答案】A
【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确．
【总结】本题考查了实数的性质及相反数的概念．
2.如图，在数轴上表示实数的点可能是（）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【难度】★
【答案】C
【解析】，即，所以对应的点是M．
【总结】本题考察实数与数轴上的点的对应关系，应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解．
3.下列说法正确的是（）
A．一个有理数的绝对值一定大于它本身
B．只有正数的绝对值等于它本身
C．负数的绝对值是它的相反数
D．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数．
【难度】★
【答案】C
【解析】A中若这个有理数是0，则它们相等，错误；B中0的绝对值也等于本身；
C正确；D中0的相反数也是本身．
【总结】本题考查绝对值的性质及其应用，利用举反例进行求解．
4.下列四个结论，中正确的是（）
A.B.C.D.
【难度】★
【答案】D
【解析】四个选项都是正数，乘以最简公分母，即可比较．
【总结】本题考查无理数和有理数的大小判断．
5.填空：
（1）若m，n互为相反数，则5m+5n-5=_________；
（2）已知|x|=5，y=3，则x-y=_______________．
【难度】★★
【答案】（1）-5 （2）2或-8
【解析】（1）m，n互为相反数，m+n=0，所以5m+5n-5= -5；
（2）x=5或-5，所以或．
【总结】本题考查相反数和绝对值的知识，注意绝对值的分类讨论．
6.实数m、n在数轴上的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（）．
A．n＜mB．n2＜m2
C．n0＜m0D．| n |＜| m |．
【难度】★★
【答案】A
【解析】因为-2＜n＜-1＜m＜0，所以B中n2＞m2，C中n0=1，m0=1，相等．
【总结】本题考查了实数与数轴上的点之间的一一对应关系及实数的大小比较，比较简单．
7.已知数轴上A、B、C、D四点所对应的实数分别为－2.5、、、．
（1）在数轴上描出这四个点的大致位置；（2）求A与D，B与C两点间的距离．
【难度】★★
【答案】（1）略； （2），．
【解析】（2），．
【总结】本题考查了在数轴上描出实数以及求数轴上两个店的距离方法，首先根据数轴三要素画出数轴，然后在数轴上描出各点，A、D两点的距离就是A点表示的数减去D点表示的数，然后求它们差的绝对值，同样可求BC的距离．
8.填空：
（1）已知数轴上A，B，C三点表示的数分别是-2，2，3，则A与B，A与C两点之间的距
离分别是__________；
（2）A、B两点在数轴上，点A对应的数为2，若线段AB的长为3，则点B对应的数为________．
【难度】★★
【答案】（1）4，5； （2）或5．
【解析】（1） ，；
（2）分两种讨论，一种是A向左移动3个单位长度，B为5，另一种是A向右移动3个
单位，B为．
【总结】本题考查数轴上两点之间距离，及分类讨论．
9.比较下列各式的大小：
；②；
________；④_______．
【难度】★★
【答案】（1）= ； （2）= ； （3）< ； （4）＞．
【解析】（1）因为，所以； （2）；
（3）因为，，，
所以＜；
（4）因为，，
所以 ＞．
【总结】本题考查实数比较大小，常用的方法是作差法和取倒数法．
10.（1）已知实数n
【难度】★★
【答案】（1）； （2）a=2．
【解析】（1），因为，所以，又因为m＜0，所以；
（2）因为，所以a =2．
【总结】本题考查数轴上的点比较大小和无理数与整数比较大小．
11.已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示：
试化简．
【难度】★★
【答案】2a．
【解析】由数轴可得：，，故．
【总结】本题考查了二次根式的化简，得出各项符号是解题关键．
12（2019·上海全国·七年级单元测试）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和的点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C表示的数为x.
(1)求x的值；
(2)求(x－)2的立方根．
【答案】（1）x=﹣1；（2）1．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；
（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：（1）∵点A、B分别表示1，，∴AB＝－1，即x＝－1；
（2）∵x＝－1，∴原式＝(x−)2＝(−1−)2＝1，∴的立方根为1．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解答此题的关键．
13.如图，一辆小车从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m
（1）求的值；
（2）求的值.
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）点B表示的数比点A表示的数大2，所以点B表示的数是；
（2）原式．
【总结】本题主要考察实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m的值是解题关键．
14.已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值．
【难度】★★★
【答案】5或．
【解析】由题意值：a+b=0，cd=1，m=2或-2，
所以原式或 原式．
【总结】本题主要考查倒数，相反数和绝对值的概念及性质，注意分类讨论．
模块二：实数的运算
知识精讲
实数的运算
在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．
实数运算常用到的公式有：
第一组：；；
第二组：；．
例题解析
1.化简：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（1）1； （2）； （3）4； （4）0.7．
【解析】（1）原式； （2）原式=；
（3）原式=2+2=4； （4）原式=0.2+0.5=0.7．
【总结】本题考察实数的运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.填空：
（1）=_____________；（2）_____________；
（3）=__________．
【难度】★
【答案】（1）3； （2）2 ； （3）．
【解析】（1）原式=3； （2）原式=； （3）原式=．
【总结】本题考察实数的运算，以及有理数的混合运算．
3.填空：
（1）________；（2）=_________．
【难度】★
【答案】（1）； （2）20．
【解析】（1）原式=； （2）原式=．
【总结】本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根及平方运算法则是解题关键．
4.填空：
（1）=__________；（2）=_________．
【难度】★
【答案】（1）30； （2）4．
【解析】（1）原式=； （2）原式=．
【总结】本题考查实数的计算及化简．
5.不用计算器，计算：
（1）；（2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）10； （2）； （3）； （4）0．
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=； （4）原式．
【总结】本题考查了实数的运算，熟练运用相关运算法则．
6.化简求值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）3； （2） ； （3）； （4）1．
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=； （4）原式=1．
【总结】本题考查无理数计算，熟悉各运算公式是解题关键．
7.计算：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）1； （2）．
【解析】（1）原式=； （2）原式=．
【总结】本题考查无理数的计算及化简．
8.如果有平方根，且满足，试求的平方根．
【难度】★★
【答案】．
【解析】（1）因为有平方根，所以，又因为，所以，
所以的平方根是．
【总结】本题考查了绝对值的意义和解一元一次方程以及平方根的概念，非负数有平方根，负数没有平方根，一个负数的绝对值是它相反数，0的绝对值是0．
9.求值：
（1）；（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）17．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】本题考查无理数的计算，注意简便算法．
10.计算：．
【难度】★★
【答案】1．
【解析】原式=．
【总结】本题考查无理数的计算与化简．
11.计算：
（1）； （2）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）0．
【解析】（1）原式； （2）原式=．
【总结】本题考察实数的运算，数值绝对值的性质及数的开方法则，0指数幂的运算法则是本题关键．
12.计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=．
【总结】本题考查实数计算，熟练运用公式和简便方法是本题关键．
13.已知，求的算术平方根．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由已知得，所以，
所以的算术平方根为．
【总结】由已知条件求代数的值，一定要找到已知条件与要求结果之间的联系．
14.已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式=
，
原式=．
【总结】有关代数式求值的问题，解题技巧一般有以下几种，利用有关概念，利用整体思想
方法，利用分类讨论方法，利用数形结合的思想方法，利用非负数的性质，利用新定义等．
15．（2019·上海市廊下中学七年级月考）如果规定，
（1）求；
（2）当的值为1时，求x的值．
【答案】（1）41；（2）；
【分析】（1）先展开，再根据有理数的运算法则求出即可；
（2）先展开，再根据整式的运算法则进行计算，最后求出x即可．
【详解】解：（1）＝7×8﹣3×5＝56﹣15＝41；
（2）∵＝1，∴（x+1）（2x﹣1）﹣2x（x﹣3）＝1，
∴7x﹣1＝1，即．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算和解一元一次方程，能正确根据整式的运算法则和有理数的混合运算法则进行化简和计算是解此题的关键．
16．（2019·上海浦东新区·七年级期中）先计算下列各式：=_______，=_____________，=____________，=_____________，=_________________．
(1)通过观察并归纳，请写出：_____________．
(2)计算：．
【答案】1,2,3,4,5；（1）；（2）
【分析】（1）先计算出各二次根式的值，根据计算结果找出其中的规律，然后用含n的式子表示；
（2），，，然后找出其中的规律进行计算即可．
【详解】（1）=1；
；
；
…
观察上述算式可知：=n．
（2），
，
．
【点睛】本题主要考查的是探索数字的变化规律，找出其中蕴含的规律是解题的关键．
17．（2019·上海全国·七年级单元测试）如图1，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ；
（2）仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗？若能，在图2中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）5； （2）
【分析】（1）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5的算术平方根；
（2）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，在所给图形中截取两条长为的且互相垂直的线段，进而拼合即可．
【详解】（1）拼成的正方形的面积是：5，边长为：．
（2）如图所示，能，正方形的边长为．
【点睛】本题考查了图形的剪拼、勾股定理、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键.
18．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，=3．
(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．
(2)若，写出满足题意的x的整数值______．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次=1，这时候结果为1．
(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．
【答案】（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255
【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,∴5＜＜6，
∴[]=[2]=2，[]=5，故答案为2，5；
（2）∵12=1，22=4，且[]＝1，∴x=1，2，3，故答案为1，2，3；
（3）第一次：[]=10，第二次：[]=3，第三次：[]=1，故答案为3；
（4）最大的正整数是255，理由是：∵[]=15，[]=3，[]=1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为255．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
随堂检测
1.和数轴上的点一一对应的是（）
A．整数B．有理数C．无理数D．实数
【难度】★
【答案】D
【解析】数轴上的点与实数一一对应
【总结】本题考查实数的概念．
2.（1）的绝对值是____________；相反数是___________；
（2）绝对值等于的数是_________；数轴上离原点的距离等于的是_______．
【难度】★
【答案】（1），； （2），．
【解析】（1）的绝对值是，相反数是=；
（2），．
【总结】本题考查绝对值和相反数的概念．
3.求出下列各数的绝对值和相反数：
（1）-；（2）；（3）；（4）．
【难度】★
【答案】（11），； （2），； （3），； （4），．
【解析】（1），；
（2），；
（3），；
（4）||=，．
【总结】本题考查绝对值和相反数的概念．
4.比较大小：
（1）2.2______；（2）4_______；
（3）____；（4）_____．
【难度】★★
【答案】（1）＜ ； （2）＞ ； （3）＞ ； （4）＞．
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，，所以＞；
（4）因为，所以．
【总结】本题考查实数比较大小，常用的方法有作差法和取倒数法．
5.化简求值：
（1）；（2）（a＜6）．
【难度】★★
【答案】（1）1； （2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式．
【总结】本题考查实数的计算和绝对值的性质与化简．
6.如果在数轴上点A表示的数是2，点B表示的数是2，求数轴上所有到点A，点B的距离为3的点到原点的距离之和．
【难度】★★
【答案】12．
【解析】到点A距离为3的点是-5和1，到点B距离为3的点是-1和5，这些点到原点的距
离和为5+1+1+5=12．
【总结】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离是解答本题的关键．
7.实数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图所示：
（1）的值是正数还是负数?为什么．
（2）化简：
【难度】★★
【答案】（1）正数；（2）a．
【解析】（1）因为ac异号，所以为正，因为b2为正，所以为正数；
（2）原式．
【总结】本题考查绝对值的代数意义，注意化简．
8.求值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）12 ； （3）； （4）25．
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=； （4）原式=．
【总结】本题考查实数计算及公式的运用．
9.计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）1； （3）； （4）1．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=； （3）原式=；
（4）原式=．
【总结】本题考查实数的计算和公式运用．
10.计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）； （3）6 ； （4）1．
【解析】（1）原式=；
（2）原式；
（3）原式=；
（4）原式=．
【总结】本题考查实数的计算及乘法运算法则的综合运用．
11.已知：，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式=．
【总结】本题考查平方差公式的应用及化简．
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