专题04 二次函数的三种实际应用问题-初中数学9年级上册同步压轴题（教师版含解析）

专题04 二次函数的三种实际应用问题

类型一、图形运动问题

例1．如图，矩形中，，，动点和同时从点出发，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动(秒)时，的面积为，则关于的函数的图象大致为(       )

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，

∴y与x的函数图象分三段：

①当0≤x≤2时，AE＝2x，AF＝4x，∴y＝•2x•4x＝4x2，

这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；

②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，AE＝4，此时y＝×4×8＝16，

③当3＜x≤5时，

y＝×4×(4＋8＋4−4x)＝32−8x，由此可排除选项C．

故选：B．

【变式训练1】如图，矩形中，，动点P沿着的路径匀速运动，过点P作，垂足为Q，设点P的运动路程为x，以B，C，P，Q为顶点的四边形的面积为y，则y与x的大致函数图象为(       )

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】解：∵由勾股定理得，分类讨论如下：

(1)如图1，当点P在上移动时(四点围图为梯形)，∴，

，∴，∴， ∴，

∴，∴；

(2)如图2，当点P在上移动时(四点围图为矩形)，

∵点P的运动路程为x，∴PC=x-5，

∵，∴；

故依据函数解析式得图象如图3，

故选：A．

【变式训练2】如果△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，他们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动，在此过程中，设点B移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图像大致为(     )                              

A．B．C． D．

【答案】A

【详解】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．

∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GE＝EJ＝GJ＝x，∠GEJ＝60°，

∴GH＝CGsin60°＝EJ＝x，∴y＝EJ•GH＝x2，

当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．

y＝FJ•GH＝(4﹣x)2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．

类型二、拱桥问题

例1．2022年2月，在北京冬奥会跳台滑雪中，中国选手谷爱凌、苏翊鸣夺金，激起了人们对跳台滑雪运动的极大热情．某跳台滑雪训练场的横截面如图所示，以某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方4米处的点滑出，滑出后沿抛物线运动．当运动员从点滑出运动到离处的水平距离为4米时，距离水平线的高度恰好为8米．

(1)求抛物线的解析式(不要求写自变量的取值范围)；

(2)运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为多少米时，运动员达到最大高度，此时，距离水平线的高度是多少米？

(3)运动员从点滑出后，当运动员距离点的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值是多少米？

【答案】(1)；

(2)当运动员距离的水平距离为米时，运动员达到最大高度，高度为米；

(3)当运动员距离的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值为米．

【解析】(1)解：抛物线经过点，，

，解得．抛物线的解析式为：．

(2)解：，

当运动员距离的水平距离为米时，运动员达到最大高度，最大高度为米．

(3)解：设运动员与小山坡的竖直距离为，则，

当时，取得最大值，最大值为．

当运动员距离的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离达到最大值，最大值为米．

【变式训练1】鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面(如图1)和截面示意图(如图2)，攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s(水平距离=水平速度×时间)与离地高度h的鹰眼数据如下表：

(1)根据表中数据预测足球落地时，s=       m；

(2)求h关于s 的函数解析式；

(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．

①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；

②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．

【答案】(1)30；(2)；

(3)①守门员不能成功防守；说明见解析；②守门员的最小速度为m/s

【解析】(1)解：由函数图象信息可得：顶点坐标为：

所以预测足球落地时， 故答案为：30

(2)解：由数据表得抛物线顶点(15，5)，故设解析式为，

把(12，4.8)代入得 所以解析式为．

(3)解：设守门员到达足球正下方的时间为t s．

①由题意得15t=20+2.5t，解得t=，即s=24 m，把s=24代入解析式得，而，

所以守门员不能成功防守．

②当h=1.8m且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小．所以把h=1.8代入解析式得：

解得：s=27或s=3(不合题意舍去)

所以足球飞行时间，守门员跑动距离为(m)，所以守门员速度为m/s．

【变式训练2】图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向出击时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位：)与飞行时间(单位：)之间具有二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如下表所示．

根据相关信息解答下列问题．

(1)求小球的飞行高度(单位：)关于飞行时间(单位：)的二次函数关系式；

(2)小球从飞出到落地要用多少时间？

(3)小球的飞行高度能否达到？如果能，请求出相应的飞行时间；如果不能，请说明理由．

【答案】(1)；(2)；(3)不能，理由见解析

【解析】(1)由题意可设关于的二次函数关系式为，

因为当，2时，，20，∴，解得：．

∴关于的二次函数关系式为．

(2)当，，解得：，．∴小球从飞出到落地所用的时间为．

(3)小球的飞行高度不能达到．

理由如下：当时，，方程即为，

∵，∴此方程无实数根．

即小球飞行的高度不能达到．

【变式训练3】如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分。据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．

在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部(原点O处)，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB．已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，．

(1)求抛物线的表达式；

(2)通过计算说明石块能否飞越城墙AB；

(3)分别求出和时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离．

【答案】(1)；(2)石块不能飞越防御墙AB，见解析

(3)时石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为米；时石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离为米

【解析】(1)抛物线的顶点坐标是，，

设石块运行的函数关系式为y＝a(x﹣50)2+25，

将代入，得，解得，

抛物线的表达式为；

(2)，把x＝75代入，得，

，．，

∵21＞20，∴石块不能飞越防御墙AB．

(3)解：设直线OA的解析式为y＝kx(k≠0)．，，

把(75，12)代入，得12＝75k，∴k＝．

故直线OA的解析式为y＝x．

设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为(t，)．

过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q(t，)．

∴PQ＝-＝，

∴当t＝时，PQ取最大值，最大值为．

在竖直方向上，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离是米．

当时，是对称轴，

时，石块与斜坡OA在竖直方向上的最大距离是米．

【变式训练4】如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球，球从离地面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距O点4米的B处达到最高点，最高点C距离地面4米；篮球在点D处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同，但高度减少为原来最大高度的一半．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求抛物线ACD的函数表达式；

(2)求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；

(3)若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的长？

【答案】(1)；(2)17.7米；(3)1.7米

【解析】(1)解：设篮球开始飞出到第一次落地时抛物线的表达式为，

∵，，∴，

由已知：当时， ，即，∴，

∴抛物线的函数表达式为；

(2)解：令，则，

解得：，(舍去)，

∴篮球第一次落地距O点约9.7米；

如图，第二次篮球弹出后的距离为DE，

根据题意：，相当于将抛物线ACND向下平移了2个单位，

∴，解得：，，

∴，∴(米)，

∴篮球第二次落地点E距O点的距离约为17.7米；

(3)解：∵运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，即此时，∴，解得，(舍去)，

∴米．

类型三、销售利润问题

例1．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如表：

(1)求出y与x之间的函数表达式；(不需要求自变量x的取值范围)

(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利30000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？

(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w(元)，求w与x之间的函数关系式，x为多少时，w有最大值，最大利润是多少？

【答案】(1)y＝﹣20x+2600；(2)80元

(3)w＝﹣20(x﹣90)2+32000；售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元

【解析】(1)解：设y与x之间的函数关系式为，则，解得，

∴y与x之间的函数表达式是．

(2)解：由题意知，，解得，

∵尽量给客户优惠，

∴这种衬衫定价为80元．

(3)解：由题意可得， ，

∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，

∴，解得，

∵，抛物线开口向下，

∴当x＝75时，w取得最大值，此时w＝27500元，

∴售价定为75元时，可获得最大利润，最大利润是27500元．

【变式训练1】端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒，设肉粽每盒售价x元，y表示该商家每天销售肉棕的利润(单位：元)．

(1)肉粽和豆沙粽每盒的进价分别为多少元

(2)若每盒利润率不超过50%，问肉粽价格为多少元时，商家每天获利1350元？

(3)若x满足，求商家每天的最大利润．

【答案】(1)肉粽每盒40元，豆沙粽每盒30元；(2)55元；(3)1600元

【解析】(1)解：设肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元．

则，解得，经检验是方程的解，．

答：肉粽每盒40元，豆沙粽每盒30元；

(2)解：∵ 肉粽进价每盒40元，每盒利润率不超过50%，∴，

由题意得，，整理得，，解得(舍去)，．

答：肉粽价格为55元时，商家每天获利1350元；

(3)解：设商家的利润为y元，则，

配方得，，

∵时，y随x的增大而增大，，

∴当时，y取最大值，．答：最大利润为1600元．

【变式训练2】某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如表：

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；

(3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件，物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．

【答案】(1)；(2)进价每件40元，当时，w有最大值为元；(3)5

【解析】(1)解：设，将，分别代入得

解得：，∴y关于x的函数解析式为．

(2)设进价为z元，则100(60-z)=2000,解得z=40，

故进价为40元/件．

，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线，

∴当时，

w有最大值为元；

(3)，

∴抛物线开口向下，对称轴为直线，

∴当时，w随x的增大而增大．

又∵，∴当时，

w有最大值：．解得：．

【变式训练3】冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市，非常畅销，小许选两款玩偶各50个，决定在网店进行销售．售后统计，一个冰墩墩玩偶利润为30元/个，一个雪容融玩偶利润为5元/个，调研发现：冰墩墩的数量在50个的基础上每增加3个，平均每个利润减少1元；而雪容融的利润始终不变；小许计划第二次购进两种玩偶共100个进行售卖．设冰墩墩的数量比第一次增加个，第二次冰墩墩售完后的利润为元．

(1)用含的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润；

(2)如何安排购买方案，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是1802元

【解析】(1)由题意，第二次购进冰墩墩的数量为(50+x)个，平均每个的利润减少元，则第二次冰墩墩售完后的的利润；

整理得：．

(2)第二次购进冰墩墩的数量为(50+x)个，第二次购买雪容融的数量为个，

∴第二次售卖两种玩偶的销售利润

,

∴,

由题意知，x为正整数，所以当x=12或13时，w最大，最大值为1802；

当x=12时，50+x=62，50-x=38；当x=13时，50+x=63，50-x=37；

即购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是1802元．

【变式训练4】某商贸公司购进某种水果的成本为20元/，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为(为整数)，已知日销售量y(千克)与时间t(天)之间的变化规律符合一次函数关系，且y与t的关系如表：

(1)试求在第30天的日销售量是多少？

(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

【答案】(1)60 kg；(2)第10天；1250元

【解析】(1)设y＝kt+b，把t＝1，y＝118；t＝3，y＝114代入得到：解得，∴y＝﹣2t+120．

将t＝30代入，得：y＝﹣2×30+120＝60．答：在第30天的日销售量是60 kg．

(2)设第t天的销售利润为w元．

当1≤t≤24时，由题意，

∴t＝10时，w最大值为1250元．

当25≤t≤48时，，

∵对称轴t＝58，a＝1＞0，

∴在对称轴左侧w随t增大而减小，

∴t＝25时，w最大值＝1 085，

答：第10天利润最大，最大利润为1250元．