初中数学4 利用轴对称进行设计教案

课题　线段的垂直平分线与角平分线

【学习目标】

1．经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念，探索并了解线段垂直平分线的有关性质.

2．进一步体会简单轴对称图形的特征，发展空间观念，探索并了解角平分线的有关性质及画法．

【学习重点】

1．线段垂直平分线的性质的运用，线段垂直平分线的画法．

2．角平分线性质的应用及角平分线的尺规作图．

【学习难点】

1．线段垂直平分线性质的应用．

2．角平分线性质的应用．

一、情景导入　生成问题

旧知回顾：

等腰三角形的性质是什么？

答：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角平分线，底边上中线，底边上的高互相重合，它们所在直线都是等腰三角形的对称轴，等腰三角形两底角相等．　

二、自学互研　生成能力

阅读教材P123，完成下列问题：

1．线段是轴对称图形吗？线段的对称轴是什么？什么是线段的垂直平分线？

　答：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．(简称中垂线)　

2．线段垂直平分线有何性质？

　答：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．　

3．(1)在一张纸上任意画∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线．(2)在∠AOB的平分线上任意取一点C，分别折出过点C，且与∠AOB两边垂直的直线，垂足分别为D、E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？

答：能重合．　

范例1.如图，△ABC中，AC＝5，DE垂直平分BC，若△AEC的周长为12，则AB的长为(　C　)

A．5　　B．6　　C．7　D．8

仿例1.如图，BD垂直平分AC，若AB＝4，CD＝7，则四边形ABCD的周长为__22__．

仿例2.如图，DE是△ABC的边AB的中垂线，分别交AB，BC于D，E两点．若∠BAC＝70°，∠B＝40°，则∠CAE的度数为__30°__．

仿例3.(苏州中考)如图，MP，NQ分别垂直平分AB，AC，且BC＝13 cm，则△APQ的周长为__13__cm__．

(仿例3图)　　　　(仿例4图)

仿例4.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝6 cm，△ABD的周长为26 cm，则△ABC的周长为__38__cm.

范例2.如图，在△ABC中，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE，则：

(1)∠ADE＝__90__°；

(2)AE__＝__EC(选填“＝”“＞”或“＜”)；

(3)当AB＝3，BC＝5时，△ABE的周长为__8__．

仿例1.已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线．

　作法：(1)分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于C、D两点；(2)作直线CD，直线CD即为所求．　

仿例2.如图，某地由于居民增多，要在公路边增加一个公共汽车站，A、B是路边两小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？

　解：建在AB的垂直平分线和公路的交点P处，图略．　

阅读教材P125，回答下面的问题：

角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

范例3.如图所示，点P在∠AOB的角平分线上，C、D在OA上，E、F在OB上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则下列说法正确的有(　D　)

A．PC＝PD　　　　　　　　　　B．PC＝PF

C．PD＝PF　　　　　　　　　　D．PD＝PE

(范例3图)　　　　(仿例1图)　　　　　(仿例2图)

仿例1.如图，已知AB∥CD，点O为∠CAB，∠ACD角平分线的交点，点O到AC的距离为1.5 cm，则两平行线间的距离为__3__cm__．

仿例2.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6 cm，则△BDE的周长为__6__cm__．

仿例3.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B.下列结论中不一定成立的是(　D　)

A．PA＝PB

B．PO平分∠APB

C．OA＝OB

D．AB垂直平分OP

仿例4.如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.试说明：DE＝DF.

证明：连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠BAD＝∠CAD.∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE＝DF.

阅读教材P126，完成下列问题：

范例4.(杭州模拟)用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是(　A　)

A.SSS　　　　　　　　　　

B．SAS

C．ASA

D．AAS

仿例　尺规作图：如图，作∠AOB的平分线．

作法：(1)以点__O__为圆心，以__任意长__为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M、N；

(2)分别以M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧交于点C；

(3)作射线OC，OC即为所求．

三、交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　线段垂直平分线的概念及性质

知识模块二　线段垂直平分线的画法

知识模块三　角平分线的性质

知识模块四　角平分线的画法

四、检测反馈　达成目标

见《名师测控》学生用书．

五、课后反思　查漏补缺

1．收获：_____________________________________

2．存在困惑：_________________________________________