专题09 几何中种动角问题的两种考法-初中数学7年级上册同步压轴题（教师版含解析）

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专题09 几何中动角问题的两种考法

类型一、判断角的数量之间的关系
例．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分．

(1)如图①，若，求的度数；
(2)在图①，若，直接写出的度数_________(用含a的代数式表示)；
(3)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置．
①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在的内部有一条射线，满足，试确定与的度数之间的关系，说明理由．
【答案】(1)14°；(2)；(3)①∠AOC＝2∠DOE；(2)2∠DOE−∠AOF＝90°
【详解】解：(1)∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝28°，
∴∠BOC＝180°−∠AOC＝152°，∠COE＝∠BOC，∠COD＝90°．
∴∠COE＝76°，∠DOE＝∠COD−∠COE＝90°−76°＝14°．即∠DOE＝14°；
(2)∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝a，
∴∠DOE＝90°−＝．故答案是：；
(3)①∠AOC＝2∠DOE．
理由：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE．
∵∠COD是直角，∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴∠DOE＋∠COE＝90°，∠AOC＋2∠COE＝180°．
∴∠AOC＋2(90°−∠DOE)＝180°．
化简，得∠AOC＝2∠DOE；
②2∠DOE−∠AOF＝90°．
理由：∵，
∴2∠AOF＋∠BOE＝(∠AOC−∠AOF)，
∴2∠AOF＋∠BOE＝∠AOC−∠AOF．
又∵∠AOC＝2∠DOE，
∴∠AOF＝∠DOE−∠BOE，
∴∠AOF＝∠DOB．
∵∠DOB＋∠BOC＝90°，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝2∠DOE．
∴∠AOF＋180°−∠AOC＝90°．
∴∠AOF＋180°−2∠DOE＝90°．
化简，得2∠DOE−∠AOF＝90°．
【变式训练1】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．

(1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；(直接写出答案)
(2)将(1)中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由；
(3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．(不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面)
【答案】(1)60°；(2)，理由见解析
(3)∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°
【解析】(1)解：∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°，
∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=30°，
∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°，故答案为：60°
(2)解： ，理由如下：
∵∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-∠AOC
∵OE平分∠BOC，∴
∵∠COD=90°，∴
(3)：如图3-1所示，当OD在∠AOB内部时，
∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2∠COE，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-∠COE，
∴∠AOC+2∠DOE=90°+2∠COE+180°-2∠COE=270°；

如图3-2所示，当OD在∠AOB外部时，
同理可以求出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD+∠COE=90°+∠COE，
∴2∠DOE-∠AOC= 180°+2∠COE-90°-2∠COE =90°；

如图3-3所示，当OD在∠AOB外部时，
同理可以求出∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°+∠COE，
∴∠AOC+2∠DOE=270°-2∠COE+180°+2∠COE=450°；

如图3-4所示，当OD在△AOB外部时，
同理可以求出∠AOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°-∠COE，∴∠AOC-2∠DOE=90°；
综上所述，∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°．

【变式训练2】如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．(注：)
(1)如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则________；
(2)如图②，将直角三角板DOE转到如图位置，当OC恰好平分时，求的度数；
(3)如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在的内部，直接写出和的数量关系_________．

【答案】(1)20；(2)25°；(3)∠COE-∠BOD=20°
【详解】解：(1)如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，故答案为：20；
(2)如图②，∵OC平分∠EOD，∠DOE=90°，∴∠COD=∠DOE=45°，
∵∠BOC=70°，∴∠BOD=∠BOC-∠COD=25°；
(3)∠COE-∠BOD=20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴(∠COE+∠COD)-(∠BOD+∠COD)=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD=∠COE-∠BOD=90°-70°=20°，
即∠COE-∠BOD=20°．
【变式训练3】已知，，，分别平分，．

(1)如图1，当，重合时， 度；
(2)若将的从图1的位置绕点顺时针旋转，旋转角，满足且．
①如图2，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；
②在旋转过程中，请用等式表示与之间的数量关系，并直接写出答案．
【答案】(1)；(2)①；②时，；时，
【解析】(1)，重合，
，，
平分，平分，
，，
；
(2)①；理由如下：
平分，平分，
，，
，
；
②由①得：，，
当时，如图2所示：

，
，
，∴
当时，如图3所示：

，
，
；
∴
综上所述，时，；时，
【变式训练4】如图，已知，将一个直角三角形纸片()的一个顶点放在点处，现将三角形纸片绕点任意转动，平分斜边与的夹角，平分.
(1)将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若，则_______；
(2)将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若射线恰好平分，若，求的度数;
(3)将三角形纸片绕点从与重合位置逆时针转到与重合的位置，猜想在转动过程中和的数量关系？并说明理由.


【答案】(1)；(2)；(3)，证明见解析
【详解】解：(1)∵平分斜边与的夹角，平分．
∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD
∴设
∴，
∵
∴，∴，故答案为:
(2)∵，∴设
∵射线恰好平方，∴
∴
∵平分斜边与的夹角，平分．∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD
∴ ，∴
∵，∴，∴
(3) ,证明如下：
当OC与OA重合时，设∠COD=x,则
∵ON平分∠BOD
∴
∴ ，∴

当OC在OA的左侧时
设∠AOD=a，∠AOC=b，则∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b
∵ON平分∠BOD，∴
∵OM平分∠AOC，∴
∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON

当OD与OA重合时，∵ON平分∠AOB，∴
∵OM平分∠AOC，∴ ，∴
综上所述
类型二、定值问题
例．已知将一副三角尺(直角三角尺和)的两个顶点重合于点，，

(1)如图1，将三角尺绕点逆时针方向转动，当恰好平分时，求的度数；
(2)如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角尺在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
【答案】(1)；(2)不变．
【详解】解：(1)平分，，
；
       
             图1                                                                   图2
(2)不变．平分，平分
，



【变式训练1】如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．(本题出现的角均小于平角)
(1)当t=2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；∠MOC的度数为
(2)当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t的值；
(3)当0＜t＜6时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？

【答案】(1)144°，114°，60°；(2)t的值为秒或10秒；(3)当0＜t＜时，的值不是定值；当＜t＜6时，的值是3．
【详解】(1)由题意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，
∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°，∠MOC=∠BOC-∠BOM=90°-2×15°=60°，
故答案为：144°，114°，60°；
(2)当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5(s)，当OM与OA重合时，t=180°÷15=12(s)
①如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°

由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3(90-12t)-60，
解得t=，
 ②如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，

由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3(12t-90)-60，解得t=10，综上，t的值为秒或10秒；
(3)当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=，
①如图所示，当0＜t＜时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，

∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，
∴(不是定值)，
②如图所示，当＜t＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，

∠MON=360°-(∠BOM+∠BOD+∠DON)=360°-(15t°+90°+12t°)=270°-27t°，
∴=3(定值)，
综上所述，当0＜t＜时，的值不是定值；当＜t＜6时，的值是3．
【变式训练2】已知将一副三角板()如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置．

(1)如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，_______度；如图2，若要恰好平分，则_______度；
(2)如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角板在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
(3)当三角板从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线平分、射线平分()，在旋转过程中，(2)中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果(即旋转角度a在什么范围内时的度数是多少)．
【答案】(1)60，75；(2)，理由见详解；(3)①当时，；②当时，或120°，③当时，；④当时，或60°；⑤当时，
【详解】解：(1)由题意得：，∴，
∵恰好平分，∴，∴；故答案为60，75；
(2)的度数不发生变化，理由如下：
∵射线平分，射线平分，∴，
∵，∴，
∴，∴；
(3)设旋转角度为，根据题意可得：，
∵射线平分，射线平分，∴，
①当时，如图所示：

∴，
②当时，即为平角，可分为：
当点M在OB上，如图所示：

∴，
∴；
当点M在BO的延长线时，如图所示：

∴；
③当时，如图所示：

∴，
∴，解得：，
∴；
④当时，则，如图所示：

∴当ON平分在∠BOD的左边时，则，当ON平分在∠BOD的右边时，则；
⑤当时，如图所示：

∴，
∴．
类型三、求值问题
例.如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板()的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．(注：本题旋转角度最多．)

(1)将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度(用含的式子表示)，若恰好平分，则______秒(直接写结果)．
(2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度(用含的式子表示)若平分，求为多少秒？
(3)若(2)问的条件不变，那么经过秒平分？(直接写结果)
【答案】(1)，5；(2)，；(3)经过秒平分
【解析】(1)，∵，∴
∵平分，，∴，∴
∴，解得：秒
(2)度，∵，平分，∴
∴，∴解得：秒
(3)如图：

∵，
由题可设为，为，
∴
∵，，
解得：秒
答：经过秒平分．

【变式训练1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

(1)若∠DCE＝35°，∠ACB＝　 　；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　 　；
(2)猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；
(3)若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α(0°＜α＜90°)
①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由．
②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？
【答案】(1)∠ACB＝145°；∠DCE＝40°；(2)∠ACB+∠DCE＝180°或互补，理由见解析；(3)①能；理由见解析，α＝54°；②23秒
【详解】解：(1)∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．
∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°，∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：145°，40°；
(2)∠ACB+∠DCE＝180°或互补，理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．
(3)①当∠ACB是∠DCE的4倍，∴设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴4x+x＝180°解得：x＝36°，∴α＝90°﹣36°＝54°；
②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒，∵∠BCD+∠DCE＝90°，∴3t+21＝90，t＝23°，
答：当∠DCE＝21°时，转动了23秒．
【变式训练2】如图(1)，∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．(本题所涉及的角都是小于180°的角)

(1)如图(2)，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当，时，______，______，______；
②______(用含有或的代数式表示)．
(2)如图(3)，P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
(∠MON的度数用含有或的代数式表示)
(3)如图(4)，当，时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？
【答案】(1)；(2)，；(3)分钟时，∠MON的度数是40°
【解析】(1)① OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
当，时，，，
②，故答案为：
(2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA，
②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，
故答案为：，
(3)根据题意
OM平分∠POQ，，如图，当在的外部时，

MON的度数是40°

ON平分∠POA，，，则旋转了
分，即分钟时，∠MON的度数是40°

如图，在的内部时，
，即，
此情况不存在，综上所述，分钟时，∠MON的度数是40°
【变式训练3】如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为．

(1)用含t的代数式表示：_______，_______．
(2)在运动过程中，当时，求t的值．
(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角(大于而小于)？
【答案】(1)，；(2)当时，或40或80；(3)存在，当直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角时，或36或54或72．
【解析】(1)由题意得：射线的运动路程为，射线的运动路程为，∴，
当时，，当时，，
∴；故答案为，；
(2)由题意可得射线与射线相遇的时间为：，解得：，
∴当射线与射线相遇前，时，如图所示：

∴，解得：，
当射线与射线相遇后，且射线还没有过直线时，，如图所示：

，解得：，
当射线过了直线时，，如图所示：

，解得：，
综上所述：当时，或40或80；
(3)存在，理由如下：
由，，，则可分：
①若直线平分时，如图所示：

∴，，∴，解得：；
若直线平分时，如图所示：

∴，∴，解得：；
②若直线平分时，如图所示：

∴，∴，解得：；
若直线平分时，如图所示：

∴，，
∴，解得：；
综上所述：当直线平分由射线、射线、射线中的任意两条射线组成的角时，或36或54或72．
课后训练
1．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方．

(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在的内部，且恰好平分．问：此时直线ON是否平分？请说明理由．
(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分，则n的值为______(点接写结果)
(3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在的内部时，的度数是多少？
【答案】(1)平分，理由见解析；(2)10或40；(3)30°
【解析】(1)解：(1)直线ON平分∠AOC．理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，
又∵OM⊥ON，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON，
又∵∠AOD＝∠BON(对顶角相等)，
∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；

(2)解：由(1)得，∠BOM＝60°时，直线ON恰好平分，
即旋转60°时，ON平分∠AOC，
再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC，
由题意得，6n＝60°或6n＝240°，
∴n＝10或40；
故答案为：10或40；
(3)解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)＝30°．
2．如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA＝20°，∠AOB＝60°，∠BOC＝10°，以O为端点作射线OP，OQ分别与射线OF，OC重合．射线OP从OF处开始绕点O逆时针匀速旋转，转速为1度/秒，射线OQ从OC处开始绕点O顺时针匀速旋转，(射线OQ旋转至与射线OF重合时停止，射线OP旋转至与射线OE重合时停止)，两条射线同时开始旋转(旋转速度＝旋转角度÷旋转时间)．


(1)直接写出射线OP停止运动时的时间．
(2)当射线OP平分∠AOC时，直接写山它的旋转时间．
(3)若射线OQ的转速为3度/秒，当∠POQ＝70°时，直接写出射线OP的旋转时间．
(4)若∠POA＝2∠POB时，射线OQ旋转到的位置恰好将∠AOB分成度数比为1：2的两个角，直接写出射线OQ的旋转速度．
【答案】(1)180s；(2)55s；(3)3s或70s；(4)或或或．
【解析】(1)∠EOF=180°，射线OP的速度为1°/s，则时间为180÷1=180s；
(2)∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，
当射线OP平分时∠AOC，∠AOP=∠POC=∠AOC=35°，
此时OP旋转的度数为：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55°，∴旋转的时间为：55÷1=55s．
(3)∠FOC=∠FOA+∠AOB+∠BOC=90°，
设射线OP旋转的时间为t秒，
由题意可得：t+3t=90+70或t+3t=90-70，解得：t=5或t=40，
射线OQ旋转至射线OF重合时停止，
∴.射线OQ最多旋转30秒，
当射线OQ旋转30秒与射线OF重合停止，
此时∠POQ=∠FOP=30°，
之后射线OP继续旋转，
则∠POQ=∠FOP=70°，此时t=70s，
故答案为：5s或70s．
(4)①当射线OP在∠AOB内部时，
∠POA=2∠POB，∠AOB=60°，
∴∠POA=40°，∠FOP=60°，
故射线OP旋转的时间为60s，
若，则∠BOQ=40°，∠COQ=50°，
∴此时射线OQ的旋转速度为：50÷60=(°/s)，
若时，则∠BOQ=20°，∠COQ=30°，
此时射线OQ的旋转速度为30÷60=(°/s)；
②当射线OP在∠EOB内部时，
∠PDA=2∠POB，∠AOB=60°，
∠POA=120°，∠FOP=140°，
故射线OP旋转时间为140秒，
若时，则∠BOQ=40°，∠COQ=50°，
∴此时射线OQ的旋转速度为：50÷140=(°/s)，
若时，则∠BOQ=20°，∠COQ=30°，
此时旋转速度为：30÷140=(°/s)，
综上，符合条件的旋转速度为或或或．
3．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

(1)如图1，若∠AOC=48°，求∠DOE的度数；
(2)如图1，若∠AOC=α，则∠DOE的度数为 (用含有α的式子表示)；
(3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
(4)将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC=α，则∠DOE的度数为 (用含有α的式子表示)，不必说明理由．
【答案】(1)24°；(2)；(3)∠DOE=∠AOC，理由见解析；(4)180 °-
【解析】(1)∵∠AOC +∠BOC=∠AOB=180°
∴∠BOC =180°-∠AOC =180°-48° = 132°
∵OE平分∠BOC
∴∠COE =∠BOC= 66°   
又∵∠COD是直角
∴∠COD = 90°
∴∠DOE =∠COD-∠COE= 90°- 66°= 24°
(2)由(1)得，


故答案为：
(3)答：∠DOE=∠AOC．理由如下:   
∵∠AOC +∠BOC=∠AOB=180°
∴∠BOC =180°-∠AOC          
∵OE平分∠BOC
∴∠COE =∠BOC= (180°-∠AOC)= 90°-∠AOC   
又∵∠COD是直角
∴∠COD = 90°
∴∠DOE =∠COD-∠COE= 90°-(90°-∠AOC)= ∠AOC
∴∠DOE=∠AOC
(4)OE平分

是直角


故答案为：；
4．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板()的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．(注：本题旋转角度最多．)

(1)将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度(用含的式子表示)，若恰好平分，则______秒(直接写结果)．
(2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度(用含的式子表示)若平分，求为多少秒？
(3)若(2)问的条件不变，那么经过秒平分？(直接写结果)
【答案】(1)，5；(2)，；(3)经过秒平分
【详解】(1)
∵，∴
∵平分，
∴，∴，∴
解得：秒
(2)度，∵，平分
∴，∴，∴解得：秒
(3)如图：

∵，
由题可设为，为
∴
∵
，解得：秒
答：经过秒平分．

5．已知:和是直角．
(1)如图，当射线在内部时，请探究和之间的关系；

(2)如图2，当射线射线都在外部时，过点作射线，射线，满足，，求的度数．

(3)如图3，在(2)的条件下，在平面内是否存在射线，使得，若不存在，请说明理由，若存在，求出的度数．

【答案】(1)，详见解析；(2)；(3)的度数是或
【详解】解：(1) ，
证明：和是直角，
，
，
，
同理：，
，
；
(2)解：设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：的度数是；
(3)①如图，当射线在内部时，
，
，

如图，当射线在外部时，
，
，

综上所述，的度数是或．
6.已知O为直线AB上的一点，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．
(1)在图1中，当∠COF＝36°时，则∠BOE＝　 　，当∠COF＝m°时，则∠BOE＝　 　；以此判断∠COF和∠BOE之间的数量关系是　 　；
(2)若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试问(1)中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；
(3)若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)72°；2m°；∠BOE=2∠COF；(2)不发生变化，理由见解析；(3)∠BOE+2∠COF=360°，理由见解析
【解析】(1)∵∠COE＝90°，∠COF＝36°，
∴∠EOF=90°-36°=54°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF =108°，
∴∠BOE=180°-108°=72°；同理可求∠BOE=2m°；
由第一和第二空可知：∠BOE=2∠COF．
故答案为：72°；2m°；∠BOE=2∠COF；
（2） ∠BOE=2∠COF不会变化，其证明过程是：
设∠AOC=x°，则∠AOE=(90-x)°，
∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=∠AOF=∠AOE=(45-x)°，
∴∠COF=∠COE-∠EOF=90°-(45-x)°=(45+x)°，
∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90-x)°=(90+x)°，∴∠BOE=2∠COF．
（3） ∠BOE+2∠COF=360°，其理由是：
设∠AOC=x°，则∠AOE=∠AOC-∠COE=(x-90)°．
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=∠AOE=(x-45)°，
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=x°-(x-45)°=(x+45)°，∠BOE=180°-∠AOE=180°-(x-90)°=(270-x)°，
∴∠BOE+2∠COF=(270°-x)°+2(x+45)°=360°．
故答案为：(1)72°；2m°；∠BOE=2∠COF；(2)不发生变化，理由见解析；(3)∠BOE+2∠COF=360°